广义二重积分Word版文档格式.docx

1、（D.O定理0.1定义5中所述的网极限是唯一的.证明：假设3IiI2eR s.t 有|S（d）-V加2 e D, Wl； ，有 |S（d） -厶 | v 由（Dv）上的共尾ft: 3J* e D s.t d；dd；d从而有：|S（/）_/|v且|s（/）-厶|0，于是|/厂厶|2w由的任意性知: = 12即证网极限是唯一的，说明定义5是良好的.定义0.6设集合D匸D且（0,v）中沿用（,）中的半序关系.若MwDmh e ,s.t d 心，则称网S:DiR的限制SDiR为网S的临界子网，称半序集 （9，v）为（D,v）的临界子定向集.定理0.2上述定义6中的（U，v）为定向集首先按照定义，（卩,

2、v）是半序集乂 Vx, y e D, c s.t xz,y3 e D s.t zzill半序关系的传递性:X v 4, y Z即（D，v）为定向集.定义0.7称 : 0 I R为网S的临界子网，若网S:DiR限制在（D, lim S这个定理常用来反证网极限不存在，也就是说我们可以选取一个临界子网使极限 在此子网上极限不存在，从而说明网极限不存在.定义0.8称定向集（D，vJ与（D2,2）是等价的，若日映射 T.RiD?满足:x v y o T（x） T（y），记作（,） = （D2,2）定义0.9称网SgiR与网S2.D2R是等价的，若（辱）三（听）且S严亠。7记作詁定理 0.4 S、三 li

3、m S. = lim S、（M-） （O2.） z不妨设lim 5,存在且lim S】=（Dj.O 1 D（.0 3J/ e D VJ e d 百（）一厶|0 3T（）eD2 WeD2,T（）J由丁为 1 一 1 映射:珂 w D SJ T（d；） |S|（dJ一勾即仪）-即 lim S,存在且 lim S, = /.（d2.） z d,.） - 1下面来说明我们以后证明中使用频率最高的共同临界子网的概念.定义0.10称几与S2存在共同临界子网，若5,的临界子网与二的临界子网等价.至此，我们可以提出我们证明的一般思路了.如我们要证明定义1O定义2:Stepl.对于正函数,在定义1,2下的网收敛

4、O临界子网收敛Step2在定义1,2下,有绝对收敛性，即/收敛O收敛Step3.找出定义1中的网与定义2中的网的一个公共临界子网于是 /?*（） |/|/?*（0） 肿戸（|几。肿）S2（|几 o |/| e，（ o / w 7?2（n）其中第一个和笫五个等价性是山广义二重积分的绝对收敛性得岀的，第二个和 笫四个等价是山正函数的广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出， 而第三个等号是山公共临界子网的等价性得岀。注意在定义四中我们找不到简 单的公共临界子网，不过我们可以转而证有界性的等价性得出我们要的结论。定义1定理1.1设F（0）为区域O中任意可求积的子集的全体集合，赋序Q, v 览=:

5、Q u 览，则（F（Q）,）为一个定向集.先说明F（0）是一个半序集：（i）非自反性:雪v仏（”）传递性:會 昭,亿v昭nG, Q,且满足（/）共尾性:F（Q），记p = sup yjx2 + y2，取PRaN则X2 + y2 0 时,W I = sup jj/（x,y Wy,D e F（Q） .D （1）先证:若1存在，则sup（ 刃加仅D e F（C）存在且两者相等:.D .取 w = 1 戶卩 v F（C），当 D w F（C）, DD 时 JJ/UoWy-/ 1I）即 jj /（x, ydxdy / 4-1VD2 e F（Q）, 3D. eF（Q）,D2D3 且 0 v D37 + 1

6、-JJ/（ydxdy = Jj/（x,yclxdy- JJ f（x,y）dxdy- 0,3D4 e F（Q） sj /*- JJ f（x, y）dxdy0 二当 D w F（O）时,4 v ）时:/ 一 v Jj /（x, y）dxdy 0,3D5eF（Q） s.t当 w F（G）, Q v D 时,/ 一 v jj/（x,ydxdyI+我们取 2=91）2,则 V0dQeD s.l 当 DwFggcD 时有:/ - jj f（x. ydxdy f 且 D/ - v JJ f（x. y）dxdy 0, BDj e F（Q） sJ I - f（x, ydxdy 而 f （x，y） n 0，我们有

7、:D, Jj* /（x, yLxdy j|/（x, ylxdy M D即：0OdDwF（G） s.t 当 DD 时，I - jj /（x, ydxdy 0 时,lim JJ f（x,ydxdy = lim jj/（x,y）dxdy ,其中D w F（G）, F（C）为尺的临界子网.先证明:若liyjj f（x,y）dxdy存在，则linjj fylxdy存在且两者相等yi）im| f（x,y）dxdy = sup 订J/（x, ylxdy, D e F（Q） *单调递增且有上界，则其上确界存在乂 f（x. y） X 0 得打J fyYxdy, Df e Fg）于是山引理 1.2: lim jj

8、/（x,ydxdy存在且等于sup jj/（x, ylxdyDf e F（Q） u r/JJ yxdy, D e Ff（Q） sup Id而 PD e Fg）, 3D, e F（G） s.l D D2，进而有 jj f（x, ylxdy F（G） u F（G）, supI于是 siip JJ /（x, ylxdy. D e F（Q） supId JJ/（%,Wv,Drer（Q）于是 sup.D J lo* -再证明:若limjj/（x, y）dxdy存在，则lim jj/（x, ydxdy存在且二者相等 u u D由引理1: limu| /（x, y）dxdy = sup” Id VD3 eF

9、（Q）,3D4 eFf（O） 57 3 D4 而有 Jj/（x, ylxdy D e F（Q）有上界.D -乂 f（x. y） n 0 得打J/（x, ylxdy, D e F（fl） 单调递增，故有上确界ID再山引理 1.2: lini 存在且等于supc d Id .11!山中证明知：sup = 即得证.定理14在定义1下的广义二重积分是绝对收敛的，即:/（x,y） e/?*（Q） |/（x,y）| eCQ）记厂（X，y） = maxf（x9y）90 广（x, y） = max -/（ y）,0于是/（匕刃二厂也）一广（2）|/（儿 y）| =广（%,刃+广（x, y）要证明f（x9 y）

10、和|/u y）在D上可积等价只需证:广（九刃e R （Q）我们先证明:若/ay）uFg）,则：有界 D -取 = 1, mqe F（G），当 D w F（O）, DtD WjJ/（x,yWy-/ 1 D即 Jf fg ylxdy VZ） s F（Q）, BD2 e F（Q）, D2 且 D】v 0 JJ f（x,y）dxdy = y）dxdy - JJ f（x, y）dxdy I + +D D, DADjf f（x.y）dxdyD.D1 喏 DfD=0i.DlD2D 而有 jj fy）dxdy |/| + 1 DAD2。若DflD =0 工0,则：q 0（DD）从而有：JJ f（xyy）dxd

11、y = d2d/（儿 yclxdy - jj fg y）dxdy6S|/| + l+ JJ y）dxdy而Q为某定区域,/（匕刃在D上有界，则f（x.y）在Q上有界于是我们得到：JJ fx.y）dxdy有界, DAD而 D3 D,，故 Jj jx.y）dxdy jj f（xy y）dxdy综上所述JJ/（x, y）clxdy g 刃1e 丹（:反设厂（x, y） g 左（C），则 V/i,3D e F（Q） sJ JJ/+（x, y）dxdy n取 Dn 的分划 an , an2, an m s.t 其 Darboiix 下和“，m即:2心厂我们将b”J分为以下两类：Vl 在 b 心上，九/（

12、x,y） = O在 b心上,0（此时有 f（x.y） = f（x,y）将第二类b”取出,并记为b；j+,k则九记 = LJb：j，则 JJ/（x，刃加农=Jj*广（x，Mdxdy Q Q而这与f（x,y） e f（Q）矛盾，于是厂（x,y） e疋（C） /（x, y） e Rl （Q） =|/（x, y） e Rl （Q）注意到:0 v /+（x, y） 单调递增且有上界，于是 sup JJ fxy y）dxdy, D e F（Q）存在I D 由引理 1.2 知：r（x,y）e/?（Q）综上所述 /（x, y） e R（C） o（x, y）| e Rl（Q）定义2定理2.1设厶（。）为所有厶割

13、下g部分的全体，赋序00 =：/ ，则（厶g），）是一个定向集，并且以心作为其中每个元素的参数，我们称这种定向集为可参数 化的定向集.先说明（L（Q）,）是一个半序集：0）非自反性:Q J a dL max Jx2 + y2 +11 （x, y） e A, U 那么可求长曲线 L:X cos 0 心j 即型使得 定义2.2在上述定向集上的映射S :厶（I R（sg_） = jj f（x.y）dxdy）称为菲赫金 哥尔茨网。我们先对/（x,y） 0的情况进行分析：注意到（几。）菲赫金哥尔茨网是存在临界子网的比如说中心为原点的圆圈列:x=ncos0 oo 0，则：lim S = supHf f x

14、,y）dxdy e 厶（G） o 证明：若 / = sup jj f（x. y）dxdy |QZ e L（Q） v +s那么由上确界的定义:0卫 s.t I-sfy）dxdyI.5记 Q = max Jx2 + yx = pcosO 092y = psinO那么，山于码为可求长曲线，则Q已厶（。），0筠有:码.0, 由Q的定义有:骑U仏 乂 ill f（x. y） X 0 知:/ 一 jj f（x9 y）dxcly . JJ /（x, ydxdy |QZ e厶（0） 有界即可g（C）,取临界子网厶：x = ncosOy = n sin 0由于/（x，y）-J y）dxdyClL e L（O） 单调上升到/IQ记Q= max yjx2 +y2（x,y 堆 A3N0 s.t pN从而有 fj f（x,y）dxdy jj jx,y）dxdy JJ f（x、y）dxdy Q. 宀如