11勾股定理1讲义教师版Word文档下载推荐.docx

1、5、 12、 13; 7、 24、 25; & 15、 17。例题精讲板块一、勾股定理【例1】下列说法正确的是（ ）2 2 2A.若a ,b 是ABC的三边，则a b二cB.若 a,b,c是 Rt.lABC 的三边，贝U a2 bc2C.若 a, b, c是 Rt. ABC 的三边， A =90，则 a b 二cD.若 a ,b ,c 是 Rt . ：ABC 的三边，=90，贝U a b=c【考点】勾股定理【题型】选择【难度】1星【关键词】【解析】在直角三角形中，才可应用勾股定理其次,要注意边和角的对应选D.【答案】D【例2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长

2、为【题型】填空【难度】2星【解析】可知三边为 3,4,5，所以周长为12【答案】12【巩固】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 【难度】3星【解析】勾股数中只有唯一的一组 ：6,8,10.【答案】6，8,10【例3】已知直角三角形两边 x， y的长满足X? _4 +肘_5y+6=0，则第三边长为 【解析】根据绝对值和平方根的非负性可知： 2 2或 13或5 【答案】2 2或.13或5【巩固】一个直角三角形中，两直角边长分别为 3和4，下列说法正确的是（ ）A .斜边长为25 B .三角形周长为25C.斜边长为5 D .三角形面积为20【解析】在直角三角形中，直接应用勾股定理

3、可得斜边为5选C.【答案】C【例4】 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC_ BC, AC =BC ,当梯子的顶端 A沿AC方向下滑x米时，梯足B 沿CB方向滑动y米，贝U x与y的大小关系是（ ）C【关键词】第18届，江苏省竞赛试题【解析】由勾股定理得 .a2 a2 = . a - x 亠j a y ?，化简得2a y =x2 y2 0， x y【答案】B【巩固】如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为 8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）【难度】2星 【关键词】宁波市中考试题【解析】由勾股定理可知：大于【答案

4、】大于【巩固】三角形的三边长分别为 6,8,10，它的最短边上的高为（ ）A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D.8【解析】本题易错最短边为6，它的高为8选D .【例5】 若 ABC的三边a, b, c满足条件：a2 b2 c2 3310a - 24b - 26c，则这个三角形最长边上的高 为【难度】4星【解析】由a -5 亠ib -12 亠jc-13j； =0 ,得a =5,b =12 ,c =13，得三角形ABC是直角三角形，所以高为6013【答案】60【巩固】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，那么斜边扩大到原来的（ ）A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍【解

5、析】省略【巩固】如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地， 旗杆顶端A触地处到旗杆底部 B的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B的距离为【解析】设BC =x米，则AC = 8x米，因为AB=6米，根据勾股定理可得：62=8，解答, 故折断点C到旗杆底部的距离为 -米4【答案】7【例6】 已知，如图所示，折叠长方形的一边 AD，使点D落在BC边的点F处，？如果AB=8cm，BC =10cm，求EC的长.【考点】勾股与全等综合【题型】解答【难度】3星 【关键词】【解析】由题意得， AF =AD =10cm .在ABF中，应用勾股定理得，BF =6 cm所以 FC 二BC -BF =10-6=4.在 CE

6、F中，应用勾股定理，设 EC =xcm，得 j 2 2,28 -x 4亠x .解得 x =3 即 EC =3cm .【答案】3cm【例7】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC = 6cm , BC =8cm，现将直角边 AC沿直线AD折叠,使它落在斜边 AB上，且与AE重合，那么CD的长为多少？【解析】可设 CD =x，那么BD=8x , DE =x , BE =4，所以4+x=（8x），所以x =3.4B如图所示，在.：ABC中，三边a ,b ,c的大小关系是（ ）a7/A【解析】直接计算，只有AC=5,为有理数所以边长为无理数的边数为 2选C. a= 10 ,b= 5 ,c= 13

7、.选 D.【答案】C;D【例9】 设a,b,c,d都是正数。求证： a2 c2 d2 2cd ：h：,jb2 c2 , a2 b2 d2 2ab.【关键词】数形结合思想【解析】如图，构造一个边长为 a b , c d的矩形ABCD .在 Rt. ABE 中，BE = . AE AB . BE = - a2 （c d）2 二 a2 c2 d2 2cd ,在 Rt. ：BCF 中，BF BC2 CF2 = .；（a b）2 d2a2 b2 d2 2ab在 Rt DEF 中，EF = . DE2 DF 2 二 b2 c2在.BEF 中，BE EF BF .即 a2 c2 d2 2cd . b2 c2

8、 . a2 b2 d2 2ab .【答案】见解析其中最大的正方形的边长为 7cm,【例10】 如图，所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形, 则正方形A, B, C , D的面积之和为 cm2.【考点】勾股定理 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】【解析】勾股定理树.49cm2【答案】49cm2【巩固】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为 【考点】勾股定理 【题型】填空【答案】100如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线, 的长【考点】勾股定理 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【

9、解析】设 DE =x .由AE _ BC于点E可知：2 2 2 22AB -BE =AE =AC -CE .又 AB =12, BC=10 , AC =8, BD=CD=5 , 122 （5 x）2 =82 （5 x）2 ,解得x=4，即DE =4 .【答案】4【巩固】张大爷家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为 48m2，其对角线长为10m，为建立栅栏，要计算这个长方形鱼池的周长，你能帮张大爷计算吗？【题型】解答 【难度】4星【关键词】2006年，贵州中考【解析】设长方形的长和宽分别为 am, bm，有a2 b2 =100, ab =48，代入a = a2 b2 2ab，可得a b =14m【

10、答案】14m【例12】 如图，在 ABC中，AB =AC =4，P是BC上异于B,C的一点，求 AP2 - BPLPC的值.【难度】5星 【关键词】重庆市数学竞赛【解析】过点 A作AD _BC，垂足为D ./ AD _ BC, AB=AC BD=CD, AP2 二 AD2 PD2 , AP2 BPJPC=AP2 （BD-PD） （BD+PD）2 2 2 2 2 2 =AP BD -PD 二 AD BD 二 AB .又 I AB =4 , AP BP? PC =4 =16.【答案】16【例13】 某片绿地的形状如图所示， 其中.A = 60； , AB _BC , AD _ CD , AB =

11、200m , CD =100m，求AD、BC的长（精确到1m, 3 1.732 ）.【难度】4星 【关键词】【解析】延长AD、BC交于点E ,在 Rt. ABE 中，.A =60，则.E =30?，由 AB =200m，得 AE =400m，从而 BE = AE2 AB2 = , 4002 -2002 =200 3 m. 在 Rt CDE 中，T . E =30 , CD =100m ,CE 二 200m ,从而 DE =CE2 CD2 =：；2002 -1002 =100 .3 m , AD =AE -DE =400 -100.3 : 227 m ,BC =BE -CE =200 3 -20

12、0 146 m.【答案】 AD =227m, BC =146m【考点】勾股定理 【题型】解答 【难度】5星 【关键词】1【解析】连结AC，过点C作CE AD于E , ABC是直角三角形，面积为3 4 6，且AC =5，在R ACE2和 RtiCDE 中，设 AE =x , 5? _x2=7? _（8_x,，解得 x=,/ CE =竽，S誉cd =10肩,二四边形的面积为6 10 3 .【答案】6 10.3【考点】勾股定理 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】过点 A作AD丄BC于D，设CD =x，利用勾股定理 AD2 =22 x2 =32 -（4x 丫 ,11解得x二一,8点评：这类

13、题目（含锐角三角形） 除了构造直角三角形， 也可以用海伦公式：已知三角形的三边为 a、b、c，令p二- ，三角形的面积为 S= p（p-a）（ p-b）（ p-c）.对于钝角三角形和锐角三角【例15】 如图，M是Rt ABC斜边AB的中点，P , Q分别在AC , BC上，PM _ MQ，判断PQ , AP与BQ的数量关系并证明你的结论.一 jQM【关键词】2009年，西城期末【解析】PQAP2 BQ2.延长QM至U N，使MN =QM，连结AN、 PN . 显然.PMQ 也 PMN , .：AMN 也.：BMQ PN 二 PQ , AN 二 BQ , . MBQ =/MAN . CAB 梟/

14、ABC =90. PAN =/PAM . MAN =90APN为直角三角形.亠2 2 亠2PQ = AP BQ .【巩固】 如图，已知.SBC和.ECD都是等腰直角三角形，.ACB =. DCE = 90，D为AD边上一点，求证:AD2 +AE2 =DE2【难度】3星 【关键词】2006年，常州市中考【解析】因为EC =DC , AC =BC , ACE =/BCD，所以可知.：ACE也厶BCD ,所以 EAD = 90，得证【例16】 如图， Rt ABC中，MCAB =90 , AB =AC , E、F为BC上的点，且 MEAF =45，求证: EF2 =BE2 +FC2 .【关键词】 【

15、解析】过点 A作线段AD，使.CAF二.BAD，且AD =AF .在.ACF和.ABD中，AC 二 ABZCAF ZBAD .：ACF 也.ABDAF =ADCF =BD , . DBA =. FCAZDBE ZDBA /ABE ZFCA EABE =90在ADE和.AFE中，AE =AEZEAF ZEAD =45 ADE 也 AFEAD =AFED 二 EF在 Rt . BDE 中，DE2 二 BD2 BE2, EF2 二 BE2 FC2 .【巩固】 在.ABC中，.A =90,AB二AC,D为斜边上任一点，求证： BD2 CD2AD2 .【考点】勾股与全等综合 【题型】解答 【难度】4星

16、【关键词】【解析】将ABD绕点A逆时针旋转90，得 ACD .AD =AD ；BD =CD :. BAD ZCAD . . A =90： AB =AC ,/B /ACB ./ACD =45；，/DAD =90. DCD =90；,2 2DD =2AD .CD 2 - CD2 二DD 2 =2AD2,即 BD2 CD2 =2AD2.【例 17】 如图，在凸四边形 ABCD 中，也ABC =30：lNADC =60： , AD=DC,证明：BD? = AB? + BC2.【难度】4星 【关键词】1996年，北京竞赛复赛试题【解析】以BC为边作等边三角形 BCE，连接AC，AE.贝U BC 二 EC

17、， ./BCE ./CBE =60 . ADC =60,AD 二 DC,/ ACD为等边三角形， . ACD =60 , AC = DC .又 . ACD ACB 二 BCE . ACB ,. BCD 三.:ECA .BD 二AE. . ABC =30 ,. ABE =90：AE2 =AB2 BE2,即 BD2 二AB2 BC2.【例18】 已知 ABC中，AB =20,AC =15,BC边上的高为12,求.：ABC的面积.【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】设 AD是BC边上的高，由勾股定理得 BD2 =AB2 AD2 =256 , BD =16.CD2 = AC2 AD2 =8

18、1 , CD =9 .（1）若.C为锐角，如图所示，贝U BC 二 BD CD =25.-S abc bc|_Ad =150 .（2 ）若.C为钝角，如图所示，贝U BC 二 BD CD =7 ,-S abc BC|JaD =42 .即 ABC的面积为150或42.【答案】. ABC的面积为150或42【巩固】 在三角形 ABC中，已知 AB =2-.3 , AC =2, BC边上的高 AD二3，求边BC的长【解析】本题有两种情况:【难度】 【关键词】【解析】图2猜想：a2 b2 c2 .证明：过点A作AD _ BC于D设 CD =x , AD2 =b2 x2, c2 二 a - x 亠b2

19、- x2 二a2 - 2ax x2 b2 - x2 ,即 a2 b2 -c2 = 2ax 0，故 a2 b2 c2.图 3 猜想：a2 b2 : c2 .过 B作BD _ AC，交AC的延长线于 D .设 CD 为 x，则有 BD2 =a2 x2根据勾股定理，得 b x i亠a2 -x2 =c2 .即 a2 b2 2bx 二 c2 , / b 0 , x 0 , 2bx 0 , a2 b2 : c2.勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有： a2 bc2的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形 转化为直角三角形来确定三

20、边的关系在初中阶段，有些锐角三角形和钝角三角形的问题，通常殊处理”，即通过作高得到直角三角形，再利用直角三角形的性质解决问题.【解析】设Rt ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则ca2 b2 . Si =S2 S3 .3、（3 3 Si =S2 S3 证明如下：显然， Si c2 , S2 a2 , S3 b2 ,44 4二 S2 =庞22 +b2）=迈c2 =S .4 4分别以直角三角形 ABC三边为一边向外作 相似形”，其面积对应用Si、S2、S3表示，则Si = S2 S3 .【巩固】 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为 6m、8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形

21、，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.【解析】在Rt ABC中，.ACB =90 , AC =8 , BC =6，由勾股定理有： AB =10，扩充部分为 RL ：ACD扩充成等腰CABD应分以下三种情况： 如图1，当AB =AD =10时，可求CD =CB =6，得 ABD的 周长为32m .如图2，当AB =BD =10时，可求CD =4，由勾股定理得： AD =4.5，得：ABD的253周长为20 4 5 m，如图3,当AB为底时，设AD =BD =x，则CD冶一6，由勾股定理得:从而三角形的周长为 5 6 cm .1 1由三角形的面积公式可得 一ab

22、=- ABJCD，2 2 解得 CD = 6 cm .5【答案】CD【例21】 如图，已知Rt ABC的周长为2-6，其中斜边 AB=2，求这个三角形的面积【考点】勾股定理 【题型】解答【难度】3星 【关键词】 【解析】在Rt ABC中，根据勾股定理，得 a2 b2 =22 ,即（a b） -2ab =4。又由已知得ab=B6,所以（.6）2-2ab=4。解得ab=1 .所以S二丄ab=丄.【答案】S）AEDF，已知剩余的两直【巩固】如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池角三角形（阴影部分）的斜边长分别为20 cm和30 cm，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积

23、禾廿为 cm2 .【解析】 AE =xcm , BE =acm , CF =bcm ,在 Rt BDE 中，a2 x2 =302 =900 在 Rt CDF 中，b x =20 =400 在 Rt 也ABC 中，（a +x f +（b +x j =502 =2500 , 即 a2 2ax x2 b2 2bx x2 =2500 -得，2ax 2bx =1200, ax b300最简单的方法为两个小的直角三角形旋转合并成一个大的直角三角形（正方形的边重合）故30 20 =300 .【答案】300版块二、勾股定理与实际问题的综合【例22】 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走 捷径”

24、在花铺内走出了一条 路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.【解析】直接应用勾股定理可知 ，少走了 5m.又知2步为1米，所以少走了 10步.【答案】10【例23】 蚂蚁沿图中的折线从 A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为 1厘米）【解析】把折线从 A到D,分三段计算第1段长为5,第2段长为13,第3段长为10,进行加法计算，所以蚂蚁一 共爬了 28cm .【答案】28 cm【巩固】一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7分米如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ）A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米【考点】勾股定理 【题型】选择 【难度】3星 【关键词】【解析】在初始和结束两个状态下，选定直角三角形，应用勾股定理 初始时，经计算，可知,梯顶距墙底端24分米.结束时，经计算，可知,梯足距离墙底端15分米选D.【例24】 如图，ON是垂直于地面0M的前面，AB是一根斜靠在墙面上长为 a的木条，当木条端点 A沿墙 面下滑时，B沿地面向右滑行设木条AB的中点为P，试判断木条滑行过程中，墙角处点 0到P的距离怎样变化？说明理由木条在什么位置时， AABO的面积最大？最大面积为多少？【解析】木