二次函数经典例题及解答.docx

1、 二次函数经典例题及解答二次函数经典例题及解答 二次函数 一、中考导航图 1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a0)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)5.二次函数与一元二次方程的关系。6.抛物线 y=ax2+bx+c的图象与 a、b、c之间的关系。三、中考知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象时通常先通过配方配成 y=a(x+)2+的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐

2、标.2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a的符号来确定,当 a0时,在对称轴左侧 y随 x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随 x的增大而增大;简记左减右增,这时当 x=-时,y最小值=;反之当 a0时,抛物线开口向上;当 a0时,抛物线交 y轴于正半轴;当c0.bc0.点 M(a,bc)在第一象限.答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a、b、c的符号.例 3(2003 岳阳)已知一次函数 y=ax+c二次函数 y=ax2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a0时,图象过一、三象限;当 a0时,直线交 y轴于正半轴;当 c

3、0时,二次函数 y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除 C;当 a0即可.(2)根据二次函数的图象与 x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k的值,可确定抛物线解析式;由 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由 n1=m12+m1,n2=m22+m2 得 m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0 可求得 m1+m2=-1.解:(1)证明:=(2k+1)2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.8k2+10,即0,抛物线与 x轴总有两个不同的交点.(2)由题意得 x1+x2=

4、-(2k+1),x1 x2=-k2+k.x12+x22=-2k2+2k+1,(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.8k2=0,k=0,抛物线的解析式是 y=x2+x.点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称,n1=n2.又 n1=m12+m1,n2=m22+m2.m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.P、Q 是抛物上不同的点,m1m2,即 m1-m20.m1+m2+1=0 即 m1+m2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x轴交点的坐标

5、与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.基础达标验收卷 一、选择题:1.(2003 大连)抛物线 y=(x-2)2+3的对称轴是().A.直线 x=-3 B.直线 x=3 C.直线 x=-2 D.直线 x=2 2.(2004 重庆)二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图,则点 M(b,)在().A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限 3.(2004 天津)已知二次函数 y=ax2+bx+c,且 a0,则一定有().A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac4,那么 AB 的长是().A.4+m B.m C.2m-8

6、 D.8-2m 二、填空题 1.(2004 河北)若将二次函数 y=x2-2x+3配方为 y=(x-h)2+k的形式,则 y=_.2.(2003 新疆)请你写出函数 y=(x+1)2与 y=x2+1具有的一个共同性质_.3.(2003 天津)已知抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴为 x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_.4.(2004 武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与 y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_.5.(2003 黑龙江)已知抛物线 y=ax2+x+c与 x轴交点的横坐标为-1,则 a+c=_.6.(2002 北京东城)有一个

7、二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线 x=4;乙:与 x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与 y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题 1.已知函数 y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当 x0时,求使 y2的 x取值范围.2.已知抛物线 y=-x2+(6-)x+m-3与 x轴有 A、B 两个交点,且 A、B 两点关于y轴对称.(1)求 m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方

8、程的关系将此题的条件换一种说法写出来.一、学科内综合题 1.如图,二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于 B、C 两点,与 y轴交于 A 点.(1)根据图象确定 a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点 A 的坐标为(0,-3),ABC=45,ACB=60,求这个二次函数的解析式.二、实际应用题 3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和 s与 t 之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的

9、三点坐标,求累积利润 s(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30万元;(3)求第 8个月公司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB 的宽为 20m,如果水位上升 3m时,水面 CD 的宽是 10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时 40km的速度开往乙地,当行驶 1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时 0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在 CD 处,

10、当水位达到桥拱最高点 O 时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?答案:基础达标验收卷 一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)3.y=-x2+2x+4.如 y=-x2+1 5.1 6.y=x2-x+3或 y=-x2+x-3或 y=-x2-x+1或 y=-x2+x-1 三、1.解:(1)函数 y=x2+bx-1的图象经过点(3,2),9+3b-1=2,解得 b=-2.函数解析式为 y=x2-2x-1.(2

11、)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.图象略.图象的顶点坐标为(1,-2).(3)当 x=3时,y=2,根据图象知,当 x3时,y2.当 x0时,使 y2的 x的取值范围是 x3.2.(1)设 A(x1,0)B(x2,0).A、B 两点关于 y轴对称.解得 m=6.(2)求得 y=-x2+3.顶点坐标是(0,3)(3)方程-x2+(6-)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).3.解:(1)符合条件的抛物线还有 5条,分别如下:抛物线 AEC;抛物线 CBE;抛物线 DEB;抛物线 DEC;抛物线 DBC.(2)在(1)中存在抛物线 DBC,它与直线 AE 不相交.设抛物线 DB

12、C 的解析式为 y=ax2+bx+c.将 D(-2,),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得 解这个方程组,得 a=,b=-,c=1.抛物线 DBC 的解析式为 y=x2-x+1.【另法:设抛物线为 y=a(x-1)(x-4),代入 D(-2,),得 a=也可.】又将直线 AE 的解析式为 y=mx+n.将 A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得 解这个方程组,得 m=-3,n=-6.直线 AE 的解析式为 y=-3x-6.能力提高练习 一、1.解:(1)抛物线开口向上,a0.又对称轴在 y轴的左侧,-0.又抛物线交于 y轴的负半轴.c0.(2)如图,连结 AB、AC.在

13、 RtAOB 中,ABO=45,OAB=45.OB=OA.B(-3,0).又在 RtACO 中,ACO=60,OC=OA cot60=,C(,0).设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a0).由题意 所求二次函数的解析式为 y=x2+(-1)x-3.3.解:(1)设 s与 t 的函数关系式为 s=at2+bt+c 由题意得 或 解得 s=t2-2t.(2)把 s=30代入 s=t2-2t,得 30=t2-2t.解得 t1=0,t2=-6(舍).答:截止到 10月末公司累积利润可达到 30万元.(3)把 t=7代入,得 s=72-2 7=10.5;把 t=8代入,得 s=82-2 8=16.16-10.5=5.5.答:第 8个月公司获利润 5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2,桥拱最高点 O 到水面 CD 的距离为 hm,则 D(5,-h),B(10,-h-3).解得 抛物线的解析式为 y=-x2.(2)水位由 CD 处涨到点 O 的时间为:1 0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40 1+40 4=200280,货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到 xkm/h.当 4x+40 1=280时,x=60.要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过 60km/h.