矩阵分解的研究及应用.docx

1、矩阵分解的研究及应用矩阵分解的研究及应用摘要：将一矩阵分解为若干个矩阵的和或积，是解决某些线性问题的重要方法，其技巧性、实用性强。本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解。最后举例说明矩阵分解的应用。关键词：特征值分解 秩分解 三角分解 和分解关于矩阵分解的形式的文献已有很多，但对于这个问题的分析各不相同。本文从四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。一、特征值分解性质1：任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其中为矩阵的特征值。称形如这样的分解叫做矩阵的特征值分解。 性质：任意阶矩阵，存在酉矩阵，使得，其中，且为矩阵的特征值。对于对称

2、矩阵有如下结论：定理1.1：若为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得，其中为矩阵的特征值。证明 由性质1,知 存在酉矩阵，使得又由于为阶实对称矩阵，因此从而，得 因此 得证。定理1.2：矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵，使得。证明 必要性 因为为正定矩阵，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩阵，使得，且， 令，则从而有 充分性 因为， 则 因此为对称矩阵。又任意不为零的向量，有 令，又为非奇异矩阵， 从而知 因此 所以为正定矩阵。 得证。定理1.3：设是阶实对称矩阵，则是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵，使得，为任意正整数。证明 必要性 因为为正定矩阵，由定理1.1，得 存在可逆的

3、正交矩阵，使得，且， 对任意的正整数，令，则有必要性 由于为正定矩阵，因此对任意的非零向量，有。又，则有 即为对称矩阵且有 当为奇数时， 又为正定矩阵，因此，即有 当为偶数时， 又为正定矩阵，因此，即有 从而，知对任意不为零的向量，有。因此是正定矩阵。 得证。定理1.4：设为一个阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵和一个正交矩阵，使得或。证明 由定理1.2，知 为正定矩阵由定理1.3,得 存在正定矩阵，使得令，则 从而有 因此为正交矩阵。且又 同理可证的结论。 得证。定理1.5：设是阶实对称矩阵，是的个单位正交特征向量，对应的特征值为。则。证明 因为为阶实对称矩阵，由定理1.1,知 存在正交矩阵，使

4、得 设，其中为的的第个行向量，则，于是有 因的行向量是的特征向量，且为正交矩阵，故为的单位正交特征向量。 得证。定理1.5：为正定矩阵的充分必要条件是存在个线性无关的向量，使得。证明 因为为正定矩阵，由定理1.2，知 存在可逆的矩阵，使得令，又由于为可逆矩阵，因此线性无关。又 得证。定理1.6：秩为的阶实对称矩阵可表示成个秩为小于等于1的对称矩阵之和。其组合系数为的特征值。证明 由定理1.1，知 存在正交矩阵，使得 令，且设的秩为，则不妨令 有 由于秩秩， 从而有 秩秩， 且组合系数为的特征值。 得证。二、矩阵的秩分解性质2：任一矩阵，都存在可逆矩阵、，使得，其中为矩阵的秩。称形如这样的分解为

5、矩阵的秩分解。定理2.1：秩为的实矩阵都可分解成。证明 由性质2，知 存在可逆矩阵、，使得 因此，得 得证。定理2.2：秩为的实矩阵可分解成个秩为1的矩阵之和。证明 由性质2，知 存在可逆矩阵、，使得因此，得 而秩秩， 得证。三、三角分解性质3：设为阶实可逆矩阵，则可分解为，其中为正交矩阵，为一个对角线上全为正数的上三角形矩阵。称形如这样的分解为矩阵的三角分解。定理3.1：实矩阵可以分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵及一个正交矩阵的积。即，其中、为正交矩阵，为的秩且，。证明 由性质2，知 存在可逆矩阵、，使得由性质3，对、作三角分解，使得，其中、为正交矩阵，、为上三角矩阵，从而有 将、分块成与等

6、价标准形能积的形式：、，、为阶方阵。记，由定理1.2，得 为实对称的正定矩阵。且有 （1）由定理1.1，得 存在阶正交矩阵，使得 ，其中， 记， 可得，从而知为正交矩阵。现令、显然、为正交矩阵。由（1）式，得其中、为正交矩阵，现令，则，且。 得证。四、和分解性质4：任一阶矩阵都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。证明 令、，则知 为对称矩阵，为反对称矩阵。且有。 得证。五、矩阵分解的应用例1：设矩阵，求。（东南大学06）解 对矩阵作如下的初等变换 所以的初等因子为，。所以的标准形为 从而得 即例2：设为阶实矩阵，为阶单位矩阵。证明：，其中为虚数单位。（清华大学06）解 由定理1,知 存在

7、可逆的酉矩阵，使得从而有 由于为阶实矩阵，所以的特征多项式为次实多项式，又实多项式的复根是成对共轭出现的，因此的复特征值出是成对共轭出现的。当的所有特征值都不是（或），则的特征值不存在（或）。 则此时 ， 且有 ， 而此时 从而得 当的特征值中存在有（或），则一定有一特征值（或）存在。并且有几个（或）存在相应的就有几个（或）存在。又由于 ， 从而 知 （）中不为零的个数（）中不为零的个数从而可得得证。例3：设为阶矩阵，且，证明：秩+秩。（厦门大学06）解 由于，则因此 为的化零多项式从而有 所以的最小多项式的根只能为-1或1又的特征多项式与最小多项式有相同的根，因此的特征值为-1或1假设的特征

8、值中有个-1（或1），则的另外的个特征值必为-1（或1）。由性质1，知 存在正交矩阵，使得 则有 因此 同理可得 则有 从而有 秩+秩 得证。例4：设是秩为的级矩阵。 证明: 存在秩为的方阵和使得。证明 因为是秩为的级矩阵，由性质2,得 存在可逆矩阵、，使得现令、，则有得证。例5：设，求。解 由于，则由性质2，知 其中，则有所以 例6：设为级矩阵, 求证: (1) 存在正整数使得秩()秩(); (2) 若存在正整数使得秩()秩(), 则对于任意正整数, 秩()秩()。证明 由性质,知 存在酉矩阵，使得 ，其中，且为矩阵的特征值。不妨假设 、，则可得，为可逆矩阵，因此对任意的正整数，有， （2）

9、又对任意，且， （3）因此可令，则由（3）式，知 （4）由（4），得 对任意的，有 从而由（2）、（4），得秩秩且对任意的正整数，也有秩秩 得证。 通过上述的讨论，对矩阵的分解有了一定的认识。参考文献：1 王岩,王爱青.矩阵分解的应用J.青岛建筑工程学院学报,2005,26（2）:90-93.2 屈立新.关于矩阵的分解形式J.邵阳学院学报(自然科学版),2005,2(3):4-5.3 曲茹,王淑华.正交矩阵的正交分解J.高师理科学刊,2001,21(2):19-22.4 史秀英.对称矩阵的分解及其应用J.内蒙古大学报(自然科学(汉文)版),1999,28(4):1-2.5 章朝庆.矩阵QR分解的一种简便求法J.泰州职业技术学院学报,2005,5(4):41-43.6 周再禹.实数域内矩阵的特殊分解J.甘肃科学学报,2006,18(4):19-21.7 李师正.高等代数解题方法现技巧M.北京:高等教育出版社,2006.8 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.第二版.高等教育出版社,2003.