数学建模B题球队排名问题答案详解docWord文档格式.docx

1、何一种对抗型比赛的排名 1 问题的提出及分析本题的表 1 给出的是我国 12 支足球队在 1988-1989 年全国甲级联赛中的成绩 , 要求通过建立数学模型 , 对各队进行排名次按照通常的理解 , 排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的一个顺序为达到这一点 , 一个好的排名算法应满足下面一些基本要求：（1）保序性；（ 2）稳定性；（3）能够处理不同场比赛的权重； （ 4）能够判断成绩表的可约性；（ 5）能够准确地进行补残；（6）容忍不一致现象；（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述可以想象 , 各队的真实实力水平在成绩表中反映出来 （见 3 假定）, 所以根据排名目的 , 我们

2、要求排名顺序与成绩表反映的各队实力水平的顺序是一致的 , 这就是要求（ 1）也就是说 , 如果 a 比 b 表现出色 ,a 的名次就应排在 b 前面但 a 比 b 出色不能只是由 a 对 b 这一场比赛所决定 , 必须参考 a,b 相对于其他队的成绩 , 像 a 平 c,c 胜 d,d 平 b 这组比赛对 a,b 的相对表现是有影响的 为使一个算法满足保序性 , 就必须充分考虑到将 a,b 连结起来的所有场比赛下面的例子表明积分法布满足保序性例 1 a 平 c,c 胜 d,d 平 b,a 平 b在上述比赛中 a 表现应比 b 出色 , 但按积分法计算 a,b 都积 2 分其原因就在于积分法没有

3、把 a 平 c,c 胜 d,d 平 b 这组比赛中所体现的 a,b 实力对比情况考虑进去；要求（ 2）就是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响这是由于球队发挥水平存在正常波动而必须提供的 , 如果这种正常的小波动引起名次的巨大变化 , 那么排名就不令人信服；要求（ 3）使得不同场比赛在排名中的地位不同 , 这是因为在实际比赛中 , 往往会有的队不幸遇到较强的队而输掉 为了避免由于对手的强弱不同造成的不公平 , 要求（ 3）是必须的但现在的排名制度大都满足不了要求（ 3）, 以至于许多时候“运气”对名次起了重要作用；要求（ 4）（ 7）是为了适应实际比赛中可能会出现在一些复杂情况而提出的首

4、先是可能某两个队之间没有打比赛 , 我们称之为数据（成绩）残缺对于两队成绩残缺 , 只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力比较如果残缺元素过多 , 就有可能导致参赛队分成两组 , 组与组之间没有比赛 , 称这种情况为成绩表可约 , 这时显然是不应该排名次的这样就有要求（ 4）, （5）；其次是前后比赛成绩矛盾 , 比如说 a 胜 b,b 胜 c,c 平 a, 称这种情况为数据不一致如果不一致的情况过于严重 , 说明比赛偶然因素太大 , 数据的可依赖程度太低 , 应该考虑放弃比赛成绩所以排名算法还应满足（ 6）, （7）本文使用的层次分析法的特征根方法已满足了上述要求 , 下面将在出具体

5、算法 3 中给出算发满足上述要求的解释和论证2 中给 2 模型设计及其算法一、基本假设和名词约定假设 参赛各队存在客观的真实实力（见名词约定1）这是任何一种排名算法的基础假设 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相对立的正态分布 （见名词约定 2）,这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名另外它在很大程度上反映了球队水平发挥的不稳定性名词约定1称 w =（ w1, w2 , wn ） 为真实实力向量 , 如果 wi 的大小表现了 Ti 的实力强弱当 wi 的大小表现了 Ti 在比赛中出色程度时 , 称 w 为排名向量由假设 , 两

6、者应是近似相同的 , 以后就把它们当成同一个2 称 Ti 对 Tj 这场比赛中体现出来的 Ti 对 Tj 的相对强弱程度为 Ti 对 Tj 的表面实力对比 , 一般记作 aij , 当 Ti 对 Tj 成绩残缺是约定 aij 显然地有（i ）aij 0,（ ii ） a ji1 ,（ iii ） aii 1.aij（2.1 ）矩阵 （aij ） n n 就称为比赛成绩的判断矩阵 , 它是可以通过各种方法（见）从比赛成绩中求出来的由假设 , 若 Ti 对 Tj 成绩不残缺且 wi w j 1时有aij N （wi wj , ij2 ）（2.2 ）这里 w 是真实实力向量3称方阵 Ann 为正互反

7、对称的 , 若（1）aij 0,（ 2） aji1, 1 i, j n 显然一个无残缺的比赛成绩的判断矩阵是正互反对称的4称矩阵 An nA1是可约的 , 若 A 能用行列同时调换化, 这里 A1, A4都A2A4是方阵 , 在1 的 227 页证明了一个判断矩阵可约当且仅当成绩表可约5 称判断矩阵 A是一致的 , 若对任意 1 i, k, j n 满足 aij a jk aik 一致则存在 w , 使得wiA （ ）n n显然地 ,A（2.3 ）6 称矩阵 A 的最大正特征根max 为主特征根；对应于max 的右特征向量 w称为主特征向量 , 若nwi 1且 wi 0i 1由非负矩阵的 Pe

8、rron-Frobenius定理 , 一个判断矩阵 A的 max 存在唯一且可的每个分量都大于零 , 令 ww 1以让对应于 max 的特征向量 w即得主特征向量二、模型设计与算法我们的模型的主要部分是一个算法 , 模型的输入是一张成绩表 , 输出是关于是否可约的判断、数据可依赖程度值和排名次的结果算法（一）根据比赛成绩表构造判断矩阵 Ai从 1 到 n,j 从 1 到 n 的循环1）若 Ti 与 Tj 互胜场次相等 , 则1o 净胜球 =0 时令 aij aji 1；跳出作下一步循环；2o Ti 净胜球多时以 Ti 净胜 Tj 一场作后续处理2）若 Ti 净胜 Tj k 场且 k0, 则2o

9、 mij Ti 胜 Tj 平均每场净胜球数；3oaij bij dij , a ji 1/ aij 3）若 Ti 与 Tj 无比赛成绩 , 则 aij aji 0 （二）检测 A 的可约性 , 如果可约则输出可约信息后退出（三）构造辅助矩阵 i从 1 到 n,j 从 1 到 n 循环（四）计算 的主特征根 max 和住特征向量 w , 任取初始正向量 x 00 , xnT1）允许误差x1, x2m0max xi；i n, 令 k=0, 计算y 0y1 0 , yn01 x0 2）迭代计算x k 1 y kmkmax xik 1y kx kk1 ；直到 | mkmk |3） max mk ; w

10、 n yi（五）按 w 各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次（六）计算2hwi / w jwjw j wi / w jijYn（n 1）mi ；其中 mi 为 A的第 i 行 0 的个数根据 2h 查 x2 表得到可依赖程度 aP（x22h） 关于算法的几点说明算法的第 （ 一） 步可以有多种不同的方法 , 这在 5 还将讨论第（ 二） 步实际上是把 A 看作有向图的邻接矩阵表示求图是否连通 算法是标准的 , 可参阅任何一本有关于算法的书 , 这里省略它在可约时作的退出处理保证了以后各步处理的是一个不可约阵第 （ 三 ） 步使用的是幂法 , 其整个算法收敛性和正确性的证明可参阅 1 的103页

11、第 （ 四 ） 步是一个排序 , 可参阅任何一本有关算法的书第 （ 五 ） 步我们举了一个例子 , 若算出 2h=47.56,r=48, 则在 x2 表的自由度为48 一行找到 47.56, 它所在的列的 a 值为 65%左右 3 算法的理论分析一、排名的合理性和保序性要求关于为什么无残缺的判断矩阵 A 的主特征向量就是排名向量是层次分析法中特征根发的基础 , 可以在 1 的 211 页找到详细证明 , 这里只作简单说明先假定比赛无残缺, 此时算法中A=A先看一下A 为一致矩阵时, 有（ 2.3 ）式存 w 使得 A（wi/ w j ）n n , 显然向量w就是排名向量而我们有（ wi/ w

12、j ） w jn wi, i1,2, n即Awnw（3.1 ）在 1的 109 页证明了下述定理：定理阶互反矩阵是一致的, 当且仅当maxn 再由（3.1 ）可见 w 还是 A 的主特征向量 , 这样 , 对于一个一致矩阵 A, 求排名向量就是求 A 的主特征向量对于一个不一致的判断矩阵 A（注意：无残缺） , 令|A |（3.2 ）i , j naij / | A |,1 i n ；（3.3 ）由于 wi 是 A 的第 i列元素（即 Ti 与其他队的表面实力对比）的和被 |A|除 , 可以猜测它给出了 Ti 的排序权重但正如问题分析中所提到的 , Ti 与 Tj 的实力对比必须考虑到将 Ti

13、 与 Tj 连结起来的所有场比赛 , 反应到判断矩阵 A 上就是所有 aii 1 ai1i 2 aik 1 j 都要考虑进去令 aij k 是 A k 的第 i 行 j 列元素 , 不难看出aiiai iaik-1（3.4 ）i11 i2 1ik11而 aij（k ） 就是考虑了所有经过场比赛将 Ti , Tj连结起来的路径后反映的Ti , Tj 的相对强弱 , 称其为 Ti 对 Tj 的 k 步优势 .当 ik 1 j 时 ai k 1 j 1, 所以（ 3.4 ）式成为aij（ k ）ai aik 2i1 1ik 1 1i k 2 1ik 1 i注意到等式右端一项正是aij（k1）, 所以

14、 k步优势就隐含了k-1 步以及k-2, ,1.同（ 3.3 ）式 , 令 w（k ）aij（ k） / | A k|,i1, n ；再令 w（ k ）（w1（ k ） , , wn（k ） ）T, 可以想象 , 当 k足够大时 , w（ k）就给出了 A 所反映的排名向量 . 在1 的 104页正证明了等式limA kew , 其中 e（1,1,1）e A ew 是 A 的主特征向量 .lim w（ k）w ；所以在充分考虑了足够步优势后得到的排名向量w（ ） 就是 A 的主特征向量w ., 我们的排名是合理的和保序的, 下面来看上面的讨论表明在比赛无残缺时看残缺的情况 .二、残缺的处理对于

15、一个残缺的判断矩阵A, 可以通过下述方法转化成一中讨论的情形如果这样得到得矩阵 C=（cij ）n的主特征向量为 w , 那么当 dijwi / w j 时 , 我们认为补残是准确的 . 如果令C（cij ）n n ；Aij）nn ；（ a则有下面命题成立：命题 Cw w 等价于 A w w .证cij wiwi ,i1, n.j 1由上述命题还可知,C 的最大特征根也是A 的主特征根,C 的主特征向量也是A 的主特征向量. 这样 , 我们只需解A wmax w 即可 , 这正是算法（三）、（四）步作的工作 .从上面讨论可知 , 本模型对于残缺的处理是非常准确的 , 满足了要求（ 1） ,（5

16、） . 另外算法第（二）步对成绩表的可约性作出了判断 , 这也满足了因为残缺而提出的要求（ 4）.下面继续讨论其余四个要求三、对手的强弱对自己名次的影响max w , 即排名向量满足 A w如果 Ti 对 Tk 成绩不残缺 , 则 aik aik0 , 固定 aik , 令 wk 变大 , 则 aik wk 就会变大 , 从而引起 wi 变大 . 这实际上是排名结果对每场比赛权重的反馈影响 .这样的话 , 若 Ti 对 Tk 战线固定 , Ti 排名靠前 , Tk 也会因此受益 . 这就满足了要求（ 3）.四、模型稳定性的分析不加证明地引用下面定理（ 1103 页） .定理 则 A 为 n n

17、 复矩阵 , 1 是 A 的单特征根 ,B 是 nn 矩阵 , 则一定可以从A+ Be （其中 | | 足够小）的特征根中找到一个特征根满足1 O（）.由名词的约定 6 中解释 A 的最大特征根是单的 , 由上述定理可知 , 只要判断矩阵的变动微小 , 主特征根的变动是微小的 , 进一步容易证明线性方程组 n（Amax E ）w0的满足w11的解的变动是微小的, 即主特征向量的变动是微小的 , 排名是稳定的 , 满足了要求（ 2）.五、关于可依赖程度的分析很明显本模型是容忍不一致现象的 , 即满足要求（ 6）.当 A 是一个残缺的不一致矩阵时 , 由它得到的排名向量设为 w , 由名词约定（1

18、）我们认为这既是真实实力向量 , 令（3.5 ）1,i , j 1, n.则由（ 2.2 ）式可知 wi / w j1时,wi / wj N（0,）.（3.6 ）wi / wj/ wj为计算方便 , 我们进一步假定 wi / w j1时 ,2为常数,（3.7 ）令（3.8 ）ij .aij 0,i则 h 可看作 A 的前后矛盾程度 , 再由（ 3.6 ）, （3.7 ）可知h /2 xr2 ,（3.9 ）其中rmi ,（3.10 ）mi 为第 i行零的个数 .那么对某个固定 A 0 , 可以通过（ 3.10 ）求出 r0 , 通过（ 3.8 ）求出 h0, 设随机变量 h / 2 xr2 ,

19、则查 x2 表可得到aP（ h2h02 ）（3.11 ）称 a 为 A 0的可依赖程度 . 则一个判断矩阵 A 0 的可依赖程度为 a 就表示 , 如果与A 0 相同的几个队在同样的比赛程序 （队编号相同 , 残缺元素相同） 下踢大量赛季的比赛（假定各队水平不长进） , 判断矩阵为 A 0 的这次的前后矛盾程度 h0 比大约a 100%的赛季的比赛前后矛盾程度 h 要小 .2的值可以用统计的方法估出 , 在本模型中我们只是简单地取2 = 1 .a 临界值的确定可以很灵活地由比赛组织者决定 , 也可以通过大量好的和坏的比赛成绩比较给出一个值 .这样 , 我们的模型就满足了要求（ 7）. 4 模型运行结果的分析我们在计算机上实现了上述模型 , 并对表 1 中的数据进行了排名 , 结果是令人满意的