1、高中所需平面几何知识补充1. 合比性质与等比性质1. 已知,则=_,=_。2. 已知(b+d+f0).b+2d-3f0。则=_,=_。3. 已知,则k=_。2. 三角形内角与外交平分线定理1)内角平分线定理已知:如图所示,AD是ABC的内角BAC的平分线。 求证: BA/AC=BD/DC; 思路1:过C作角平分线AD的平行线。 证明1:过C作CEDA与BA的延长线交于E。 则: BA/AE=BD/DC; BAD=AEC;(两线平行,同位角相等) CAD=ACE;(两线平行,内错角相等) BAD=CAD;(已知) AEC=ACE;(等量代换) AE=AC; BA/AC=BD/DC 。 结论1:该
2、证法具有普遍的意义。 引出三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。思路2:利用面积法来证明。 已知:如图8-4乙所示,AD是ABC的内角BAC的平分线。 求证: BA/AC=BD/DC 证明2:过D作DEAB于E,DFAC于F; BAD=CAD;(已知) DE=DF; BA/AC=SBAD/SDAC; (等高时,三角形面积之比等于底之比) BD/DC=SBAD/SABCDAC;(同高时,三角形面积之比等于底之比) BA/AC=BD/DC 结论2:遇到角平分线,首先要想到往角的两边作平行线,构造等腰三角形或菱形,其次要想到往角的两边作垂线,构造翻转的直角三角形全等
3、,第三,要想到长截短补法。2)*外角平分线定理已知:如图所示,AD是ABC中BAC的外角CAF的平分线。 求证: BA/AC=BD/DC 思路1:作角平分线AD的平行线。 证明1:过C作CEDA与BA交于E。则: BA/AE=BD/DC DAF=CEA;(两线平行,同位角相等) DAC=ECA;(两线平行,内错角相等) DAF=DAC;(已知) CEA=ECA;(等量代换) AE=AC; BA/AC=BD/DC 。 结论1:该证法具有普遍的意义。 引出三角形外角平分线定理:如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段,那么这两条线段和相邻的两边应成比例思路2:利用面积法来证明。 已知:如图8-5乙
4、所示,AD是ABC内角BAC的外角CAF的平分线。 求证: BA/AC=BD/DC. 证明2:过D作DEAC于E,DFBA的延长线于F; DAC=DAF;(已知) DE=DF; BA/AC=SBAD/DAC;(等高时,三角形面积之比等于底之比) BD/DC=SBAD/DAC ;(同高时,三角形面积之比等于底之比) BA/AC=BD/DC 结论2:使用面积法时,要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中,我们看BAD和DAC的面积时,先以BA和AC作底,而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底,而高是同高3如图,在ABC中,AD是角BAC的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm
5、,求BD的长.图3.1-82. 圆心角与圆周角 圆心角如图所示,AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 (学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题:如图所示的O中,分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? =,AB=AB 理由:半径OA与OA重合,且AOB=AOB 半径OB与OB重合 点A与点A重合,点B与点B重合 与重合,弦AB与弦AB重合 =,AB=AB 因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?请同学们现在动手作一作(学生活动)老师点
6、评:如图1,在O和O中,分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图2,滚动一个圆,使O与O重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与OA重合 (1) (2) 你能发现哪些等量关系?说一说你的理由? 我能发现:=,AB=A/B/ 现在它的证明方法就转化为前面的说明了,这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 1如图,在
7、O中,AB、CD是两条弦,OEAB,OFCD,垂足分别为EF (1)如果AOB=COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?(2)如果OE=OF,那么与的大小有什么关系?AB与CD的大小有什么关系?为什么?AOB与COD呢? 2如图3和图4,MN是O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,APM=CPM (1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由(2)若交点P在O的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由 (3) (4)练习题 一、选择题 1如果两个圆心角相等,那么( ) A这两个圆心角所对的弦相等;B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的
8、弦的弦心距相等;D以上说法都不对 2在同圆中,圆心角AOB=2COD,则两条弧AB与CD关系是( ) A=2 B C2 D不能确定 3如图5,O中,如果=2,那么( )AAB=AC BAB=AC CAB2AC (5) (6) 二、填空题 1交通工具上的轮子都是做圆的,这是运用了圆的性质中的_ 2一条弦长恰好为半径长,则此弦所对的弧是半圆的_3如图6,AB和DE是O的直径,弦ACDE,若弦BE=3,则弦CE=_ 三、解答题 1如图,在O中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,MCAB,NDAB,M、N在O上 (1)求证:=;(2)若C、D分别为OA、OB中点,则成立吗?2如图,以ABCD的顶点
9、A为圆心,AB为半径作圆,分别交BC、AD于E、F,若D=50,求的度数和的度数 3如图,AOB=90,C、D是AB三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证:AE=BF=CD圆周角 问题:如图所示的O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在所在的O其它位置射门,如图所示的A、B、C点通过观察,我们可以发现像EAF、EBF、ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? 3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? (学生分组讨论)提问二、三
10、位同学代表发言 老师点评: 1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的 3通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半” (1)设圆周角ABC的一边BC是O的直径,如图所示 AOC是ABO的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC=AOC(2)如图,圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧,那么ABC=AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程 老师点评:连结BO交O于D同理
11、AOD是ABO的外角,COD是BOC的外角,那么就有AOD=2ABO,DOC=2CBO,因此AOC=2ABC(3)如图,圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么ABC=AOC吗?请同学们独立完成证明 老师点评:连结OA、OC,连结BO并延长交O于D,那么AOD=2ABD,COD=2CBO,而ABC=ABD-CBO=AOD-COD=AOC 现在,我如果在画一个任意的圆周角ABC,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的 从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步,我们还可以得到下面的推导: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径1如图,AB是O的直径,BD是O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么? 2如图,已知ABC内接于O,A、B、C的对边分别设为a,b,c,O半径为R,求证:=2R 练习题 一、选择题 1如图1,A、B、C三点在O上,AOC=100,则ABC等于( )A140 B110 C120 D130 (1) (2) (3) 2如图2,1、2、3、4的大小关系是( ) A4123 B41=32C4132 D413=2 3如图3
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