全国高中数学联赛全真模拟卷一试.doc

1、2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1不等式的解集为2过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为_. 三角形 正方形 梯形 五边形 六边形3直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_ _.4复数，使，则的所有可能值为 _ _5所有的满足条件的正整数对的个数为 6设为方程的根（），则 _.7将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为. 则使不等式成立的事件

2、发生的概率等于 8已知A, B, C为ABC三内角, 向量,.如果当C最大时,存在动点M, 使得成等差数列, 则最大值是_ _.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9对正整数，记，求数列an中的最大值10给定正实数k，圆心为()的圆至少与抛物线有三个公共点，一个是原点(0, 0)，另两个点在直线上，求的值（用表示）11已知函数其中为实数，求所有的数对(a, n)(nN*),使得函数在区间内恰好有2011个零点2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)答案1 由得，原不等式可变为解得故原不等式的解集为2答案：，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且可以截

3、得3提示：, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，2），数形结合可得.4答案：0，1， 解：=，当 时，满足条件，当 时，设 ，由(2) 1） 代入(1) 整理得：2），则 代入(1) 得：，经检验复数均满足条件. 的所有可能值为0，1，.5解：显然由条件得，从而有即，再结合条件及以上结果，可得，整理得，从而即，所以当时，不符合；当时，（不符合）综上，满足本题的正整数对只有，故只有1解6答案：，由题意， 由此可得，以及7提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a2b+100得2ba+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、9中

4、每一个值，使不等式成立，则共有95=45种；当b=6时，a可取3、4、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为8解: ,等号成立仅当.令|AB|=2c,因,所以 M是椭圆上的动点.故点C(0,), 设M(x,y), 则|MC|2x2+()2.当y时, |MC|2max=, |MC|max. 即max.9解：经计算知，下面用数学归纳法证明：当时，有假设，则 所以数列an中的最大值是10解：设O: 即抛物线与直线的两个交点坐标为，则，即 , 这两点亦在圆上，即同理 , 即 比较，知：11解：首先，函数以为周期，且以为对称轴，即，其次，关于对称，在及上的零点个数为偶数，要使在区间恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若，则，考虑区间及上的零点个数当时，令则，解得（舍），故在内有两解当时，令，则，解得（舍），（舍），故在内无解因此，在区间内有三个零点同理可得满足条件2012模拟卷（1） 第 4 页 共 4页