1、2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)第一试(考试时间:80分钟 满分:120分)姓名:_考试号:_得分:_一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1不等式的解集为2过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为_. 三角形 正方形 梯形 五边形 六边形3直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是_ _.4复数,使,则的所有可能值为 _ _5所有的满足条件的正整数对的个数为 6设为方程的根(),则 _.7将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球,其号码为,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为. 则使不等式成立的事件
2、发生的概率等于 8已知A, B, C为ABC三内角, 向量,.如果当C最大时,存在动点M, 使得成等差数列, 则最大值是_ _.二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10、11题20分,共56分)9对正整数,记,求数列an中的最大值10给定正实数k,圆心为()的圆至少与抛物线有三个公共点,一个是原点(0, 0),另两个点在直线上,求的值(用表示)11已知函数其中为实数,求所有的数对(a, n)(nN*),使得函数在区间内恰好有2011个零点2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)答案1 由得,原不等式可变为解得故原不等式的解集为2答案:,解:由对称性可知,所得图形应为中心对称图形,且可以截
3、得3提示:, 曲线为两个半圆,直线过定点(0,2),数形结合可得.4答案:0,1, 解:=,当 时,满足条件,当 时,设 ,由(2) 1) 代入(1) 整理得:2),则 代入(1) 得:,经检验复数均满足条件. 的所有可能值为0,1,.5解:显然由条件得,从而有即,再结合条件及以上结果,可得,整理得,从而即,所以当时,不符合;当时,(不符合)综上,满足本题的正整数对只有,故只有1解6答案:,由题意, 由此可得,以及7提示:甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个,由不等式a2b+100得2ba+10,于是,当b=1、2、3、4、5时,每种情形a可取1、2、9中
4、每一个值,使不等式成立,则共有95=45种;当b=6时,a可取3、4、9中每一个值,有7种;当b=7时,a可取5、6、7、8、9中每一个值,有5种;当b=8时,a可取7、8、9中每一个值,有3种;当b=9时,a只能取9,有1种。于是,所求事件的概率为8解: ,等号成立仅当.令|AB|=2c,因,所以 M是椭圆上的动点.故点C(0,), 设M(x,y), 则|MC|2x2+()2.当y时, |MC|2max=, |MC|max. 即max.9解:经计算知,下面用数学归纳法证明:当时,有假设,则 所以数列an中的最大值是10解:设O: 即抛物线与直线的两个交点坐标为,则,即 , 这两点亦在圆上,即同理 , 即 比较,知:11解:首先,函数以为周期,且以为对称轴,即,其次,关于对称,在及上的零点个数为偶数,要使在区间恰有2011个零点,则上述区间端点必有零点(1)若,则,考虑区间及上的零点个数当时,令则,解得(舍),故在内有两解当时,令,则,解得(舍),(舍),故在内无解因此,在区间内有三个零点同理可得满足条件2012模拟卷(1) 第 4 页 共 4页