1、2012年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)1、设集合,则=( ) A、 B、 C、 D 、 2、正方体中与截面所成的角是( ) A、 B、 C、 D、 3、已知,则“”是“在上恒成立”的( )A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形的面积为,作的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为,面积为,如此下去作一系列的正三角形,其面积相应为,设,,则=( )A 、 B 、 C、 D 、25、设抛物线的焦点为,顶点为,是抛物线上的动点,则的最大值为( )A 、 B 、 C、 D 、 6、设倒
2、圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为的一个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( )A、 B、 C、 D、二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)7、如图,正方形的边长为3,为的中点,与相交于,则的值是 8、的展开式中的常数项是 (用具体数字作答)9、设等比数列的前项和为,满足,则的值为 10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角满足,则的最大值是 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数,满足条件“”的概率是 三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)13、设函数,
3、(I)求函数在上的最大值与最小值;(II)若实数使得对任意恒成立,求的值14、已知,满足,(I)求的最小值;(II)当取最小值时,求的最大值15、直线与双曲线的左支交于、两点,直线经过点和的中点,求直线在轴的截距的取值范围16、设函数在上的最大值为()(I)求数列的通项公式;(II)求证:对任何正整数,都有成立;(III)设数列的前项和为,求证:对任意正整数,都有成立 2012年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)参考解答一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 7、 8、 9、0 10
4、、14 11、 12、 三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)13、解:(I)由条件知, (5分)由知,于是所以时,有最小值;当时,有最大值 (10分)(II)由条件可知对任意的恒成立, , (15分)由知或。若时,则由知,这与矛盾!若,则(舍去),解得,所以, (20分)14、解:(I)因为 (5分) ,等号成立的条件是,当时,可取最小值2 (10分)(II)当取最小值时,从而,即,令,则 (15分)从而或者(舍去)故在单减,所以在时,有最大值 (20分)15、解:将直线与双曲线方程联立得化简得(5分)由题设知方程有两负根,因此,解得(10分)设,则有,故的中点为,所以直线方程为,其在轴的截距,(15分)当时,其取值范围是所以的取值范围是 (20分)16、解:(I),当时,由知或者, (5分)当时,又,故;当时,又,故;当时,时,;时,;在处取得最大值,即综上所述, (10分) (II)当时,欲证 ,只需证明 所以,当时,都有成立 (15分)(III)当时,结论显然成立;当时,由(II)知 所以,对任意正整数,都有成立 (20分)