精算数学寿险精算学课件.ppt

1、Acturial Mathematics(寿险精算学)第三章Net Single Premium of Life Insurance人寿保险趸缴纯保费的厘定本章结构v人寿保险趸缴纯保费厘定原理vthe principal of net single premiunv死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定vnet single premium paid at the monent of deathv死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定vnet single premium paid at the end of the year of deathv递归方程vrecursion equationsv计算基数v

2、commutation functions第二章中英文单词对照一v趸缴纯保费v精算现时值v死亡即刻赔付保险v死亡年末给付保险v定额受益保险vNet single premiumvActuarial present valuevInsurances payable at the moment of death vInsurances payable at the end of the year of deathvLevel benefit insurance第二章中英文单词对照二v定期人寿保险v终身人寿保险v两全保险v生存保险v延期保险v变额受益保险vTerm life insurancevWh

3、ole life insurancevEndowment insurancevPure endowment insurancevDeferred insurancevVarying benefit insurance第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 1、人寿保险简介v什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。2、人寿保险的分类v受益金额是否恒定定额受益保险 level benefit insuran

4、ce 变额受益保险varying benefit insurancev保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险non-deferred insurance延期保险 deferred insurancev保障标的的不同人寿保险life insurance生存保险pure endowment insurance两全保险 endowment insurancev保障期是否有限 定期寿险 term year insurance 终身寿险whole life insurance3、人寿保险的性质v保障的长期性(long term)这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。v保险赔

5、付金额和赔付时间的不确定性(uncertain of the size and time of payment)人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。v被保障人群的大数性(large number of the insured)这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。4、趸缴纯保费的厘定v4.1假定条件(assumptions)假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生

6、命表进行拟合(fitting)。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。4、趸缴纯保费的厘定v4.2厘定原则保费净均衡原则解释v所谓净均衡原则(it is net because it has not been loaded)，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值(expectation of the present value of the net premium equals expectation of the present value of the payment)。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值

7、 4、趸缴纯保费的厘定v4.3基本符号v 投保年龄 的人。v 人的极限年龄v 保险金给付函数。v 贴现函数。v 保险给付金在保单生效时的现时值4、趸缴纯保费的厘定v趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值 v趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于第二节死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定1、死亡即刻赔付(payable at the moment of death)v死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险

8、人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。2、主要险种的趸缴纯保费的厘定vn年期定期寿险n-year term life insurancev终身寿险whole life insurancev延期m年的终身寿险m-year deferred whole life insurancevn年期生存保险n-year pure endowment vn年期两全保险n-year endowment v延期m年的n年期的两全保险m-year deferred n-year endowmentv递增终身寿险increasing wh

9、ole life insurancev递减n年定期寿险decreasing n-year term insurance2.1、n年定期寿险v定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险(the insurer provides for a payment only if the insured dies within the n-year term)。v假定：岁的人，保额1元n年定期寿险v基本函数关系2.1、n年定期寿险v趸缴纯保费的符号：v厘定：2.1、n年定期寿险v现值随机变量的方差公式v记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费

10、）v所以方差等价为 Example2.1.1vifvshowsolutions2.2、终身寿险v定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种(the insurer provides for a payment following the death of the insured at any time in the future)。v假定：岁的人，保额1元终身寿险v基本函数关系2.2、终身寿险v趸缴纯保费的符号：v厘定：2.2、终身寿险v现值随机变量的方差公式v记v所以方差等价为 Example 2.2.1v设(x)投保终身寿险，保险金额为1元v保险金在死

11、亡即刻赔付v签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为v计算solutionssolutionsExample2.2.2vAssume that each of 100 independent livesis age xis subject to a constant force of mortality,=0.04 and is insured for a death benefit amount of 10 units,payable at the moment of deathvThe benefit payment are to be withdrawn from an investment

12、 fund earing=0.06.Calculate the minimum amount that at t=0 so that the probability is approximately 0.95 that sufficient funds will be on hand to withdraw the benefit payment at the death of each individual2.3、延期终身寿险v定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种(provide for a benefit following the death of

13、 of the insured only if the insured dies at least m years after policy issue)。v假定：岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险v基本函数关系2.3、延期终身寿险v趸缴纯保费的符号：v厘定：2.3、延期终身寿险 v现值随机变量的方差公式v记v所以方差等价于例2.3.1v假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。v保险金在死亡即刻赔付。v已知v求：例2.3.1答案exercisevConsider a 5-year deferred whole life insurance payable at the moment o

14、f the death of(x),the individual is subject to a constant force of mortality=0.04,for the distribution of the present value of the benefit payment,at=0.10,calculateexpectaionvariacemedian2.4、n 年定期生存保险v定义被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险（the insurer provides for a payment at the end of the n years if

15、and only if the insured survives at least n years from the time of policy issue）。v假定：岁的人，保额1元，n年定期生存保险v基本函数关系2.4、n 年定期生存保险v趸缴纯保费的符号：v趸缴纯保费厘定v现值随机变量的方差：2.5、n年定期两全保险v定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。(provide for an amount to be payable either following the death o

16、f the insured or upon the survival of the insured to the end of the n-year term,whichever occurs first)。v假定：岁的人，保额1元，n年定期两全保险v基本函数关系2.5 n年定期两全保险v趸缴纯保费的符号：v厘定记：n年定期寿险现值随机变量为 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为 已知则2.5 n年定期两全保险n年定期两全险现值随机变量的方差可计算为因为所以例2.5.1（例2.1.1续）v设v计算例2.5.1答案2.6、延期m年n年定期两全保险v定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险v假定：岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险v基本函数关系2.6、延期m年n年定期两全保险v趸缴纯保费的符号：v厘定2.6、延期m年n年定期两全保险v记：m年延期n年定期寿险现值随机变量为 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 已知则现值随机变量的方差exercisev例：考虑一个50岁的人，其