全国初中数学联合竞赛试题参考答案Word下载.docx

1、解 容易明白， 4 天之后就能够显现 5 种商品的价格互不相同的情形 .设 5 种商品降价前的价格为 a ，过了 n 天 . n 天后每种商品的价格一定能够表示为D.解 （x x2 2008）（y y2 2008） 2008，x y. 因此 （x x2 2008）2 2008，解得 x2 2008，因此22 22 23x2 2y2 3x 3y 2007 3x2 2x2 3x 3x 2007 x2 2007 1 .应选 D .2 512 3 5 2解 a （ ） 1 a ， a a 1 ，22AD DN AD 1 2因此 ADN MBA，故 ，从而 DN BA 1 .MB BA MB 2 2依照

2、对称性可知，四边形 AMCN 的面积1 1 2 25S 2S MAN 2 MN AO 2 （ 2 2） .2 22 22m ， n ，且 m n 1 .设满足上3 二次函数 y x2 ax b 的图象与 x轴的两个交点的横坐标分不为述要求的 b 的最大值和最小值分不为 p ， q ，那么 p q149162536496481100121144，排在第 1 个位置的数字是 1，排在第 5 个位置的数字是 6，排在第 10 个位置的数字是 4，排在第 2018 个位置的数字是 1解 12 到 32 ，结果都只各占 1 个数位，共占 1 3 3个数位；42到 92，结果都只各占 2 个数位，共占 2

3、 6 12个数位；102到 312，结果都只各占 3个数位，共占 3 22 66个数位；322 到 992，结果都只各占 4个数位，共占 4 68 272个数位；1002到 3162，结果都只各占 5 个数位，共占 5 217 1085个数位；现在还差 2008 （3 12 66 272 1085） 570 个数位 .3172 到 4112，结果都只各占 6 个数位，共占 6 95 570个数位 .因此，排在第 2018 个位置的数字恰好应该是 4112的个位数字，即为 1.第二试 A此题总分值 20 分 a2 b2 1 ，关于满足条件 01 的一切实数 x ，不等式a（1 x）（1 x ax

4、） bx（b x bx） 0恒成立 .当乘积 ab取最小值时，求 a,b的值 .解 整理不等式 1并将 a2 b2 1 代入，得2（1 a b）x2 （2a 1）x a 0在不等式 2中，令 x 0，得 a 0；令 x 1 ，得 b0.2a 1易知 1 a b 0 ， 0 a 1 ，故二次函数 y2（1 a b）（1a b）x2 （2a 1）x a 的图象抛物线0 和 1 之间 .由 题 设 知 ， 不 等 式 2 关 于 满 足 条 件 0 x 1切 实 数 x恒 成 立 ， 因 此 它 的 判 不 式（2a 1）2 4（1 a1b） a 0 ，即 ab4abb2 1, 1 4消去 b ，得

5、 16a416a2 10 ，因此 a22 3或 a2又因为 a 0 ，因此 a2或 a6 2，3的解为62a, b的值有两组，分不为ab 的最小值为 ，现在a 6 2,b 6 2和 a 6 2,bBE AC .设 AC 2y （0 y a） ，二 此题总分值 25 分 如图，圆 O 与圆 D 相交于 A, B 两点，BC 为圆 D 的切线，点 C 在圆 O上，且 AB BC . 1 证明：点 O 在圆 D 的圆周上 . 2设 ABC的面积为 S，求圆 D 的的半径 r 的最小值 .解 1连 OA, OB,OC,AC ，因为 O为圆心， AB BC，因此 OBA OBC ，从而 OBA OBC

6、.因为 OD AB, DB BC ，因此DOB 90 OBA 90 OBC DBO ，因此 DB DO ，因此点 O 在圆 D 的圆周上 . 2设圆 O的半径为 a ， BO的延长线交 AC 于点 E ，易知OE x， AB l ，那么 a2x y ， S y（a x） ，l2（ax）22ax2a 2ax 2a（a x）2aSABCOBAOABBDO , ABBC , DB DO ，因此BDO ABC ，因此BD BOAB ACrla ，故2yalr222 al4y2a2 2aS4y y（a）3y，即 r2S， 其中等号当 ay 时成立， 这时 AC 是圆 O 的直径 .因此圆 D 的的半径

7、r 的最小值为此题总分值 25 分 设 a 为质数， b为正整数，且故 3n 511m 6a 0，又 n m2 ，因此 3m2 511m 6a 01式可知， （2a b）2能被 509 整除，而 509 是质数，因此 2a b能被 509 整除，故 m 为整数，即5112 72a 为完全平方数关于 m 的一元二次方程 3有整数根，因此它的判不式2 2 22不妨设 5112 72a t2 t为自然数 ，那么 72a 5112 t2 （511 t）（511 t） .由于 511 t 和 511 t 的奇偶性相同，且 511 t 511 ，因此只可能有以下几种情形：511 t 36a a,两式相加，

8、得 36a 2 1022，没有整数解 .511 t 2, 511 t 18a, 两式相加，得 18a 4 1022，没有整数解511 t 4, 511 t 12a , 两式相加，得 12a 6 1022，没有整数解511 t 6, 511 t 6a a,两式相加，得 6a 12 1022，没有整数解511 t 12, 511 t 4a ,两式相加，得 4a 18 1022，解得 a 251.511 t 18,511 t 2a a,两式相加，得 2a 36 1022，解得 a 493，而 493 17 29 不是质数，故舍去511 t 36,综合可知 a 251.502现在方程 3的解为 m 3

9、或 m 502舍去 .3509 3 6 251把 a 251， m 3代入 2式，得 b 509 3 6 251 7.第二试 B1ay xy bx 0解 由 x y 1,xy 0 可知 0 x 1,0 y 1 .在 1式中，令 x 0, y 1 ，得 a 0；令 x 1,y 0，得 b 0.将 y 1 x代入 1式，得 a（1 x）2 x（1 x） bx2 0，即易知 1 a b 0， 0 a 1 ，故二次函数 y （1 a b）x2 （2a 1）xa 的图象抛物线由 题 设 知 ， 不 等 式 2 关 于 满 足 条 件 021（2a 1）2 4（1 a b） a 0，即 ab .由方程组a

10、2 b2 1,ab 1x 1的 一 切 实 数 x恒 成 立 ，3此它的判不式消去 b ，得 16a4 16a2 1 0，因此 a223，又因为 a 0，因此 a或a62 62,a ,4 或 4 因此满足条件的 a, b的值有两组，分不为,b .4462 62 62 62a ,b 和 a ,b44 44此题总分值 25 分题目和解答与 A卷第二题相同 .A卷第三题相同此题总分值 25 分题目和解答与第二试 C20 分题目和解答与 B卷第一题相同25 分题目和解答与 A卷第二题相同此题总分值 25 分 设 a 为质数，b, c为正整数，且满足（1）9（2a 2b c）2 509（4a 1022b

11、 511c）（2）bc求 a（b c） 的值 .解 1 式即 （6a 6b 3c 2 4a 1022b 511c5096a 6b 设m2b c4a 1022b 511c509m 6a509n 4a511故 3n 511m 6a 0，又 n m2，因此3m 511m 6a 01式可知， （2a 2b c）2能被 509整除，而 509 是质数，因此 2a 2b c能被 509 整除，故 m 为整数，即关于 m 的一元二次方程 4有整数根，因此它的判不式 5112 72a为完全平方数511 t 2, 511 t 18a a, 两式相加，得 18a 4 1022，没有整数解511 t 6, 511 t 6a, 两式相加，得 6a 12 1022，没有整数解511 t 18, 511 t 2a a,两式相加，得 2a 36 1022，解得 a 493，而 493 17 29 不是质数，故舍去 .综502 合可知 a 251，现在方程 4的解为 m 3或 m 502 舍去 .把a251，m 3 代入 3式，得 2b c6 2517 ，即2b 7 .代入 2式得 b （2b 7） 2，因此 b 5， c 3，因此 a（bc）251 （5 3） 2008.