大学普通物理课件--第20章---振动.ppt

1、第二十章第二十章 振振 动动Vebration本章主要内容本章主要内容20-120-120-120-1 简谐运动的描述简谐运动的描述 20-220-220-220-2 简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程20202020-3 3 3 3 简谐运动的能量简谐运动的能量20-420-420-420-4 阻尼振动阻尼振动20-520-520-520-5 受迫振动受迫振动 共振共振20-20-20-20-6 6 6 6 同一直线上同频率的同一直线上同频率的简谐运动的合成简谐运动的合成20-720-720-720-7 同一直线上不同频率的同一直线上不同频率的简谐运动的合成简谐运动的合成*20-820

2、-820-820-8 谐振分析谐振分析*20-920-920-920-9 两个相互垂直的简谐运动的合成两个相互垂直的简谐运动的合成第二十章第二十章 振振 动动 振振振振动动动动的的一一般般定定义义：任任一一物物理理量量（如如位位移移、电电流流等等）在在某某一数值附近往复变化。一数值附近往复变化。本章重点：本章重点：机械振动中的简谐运动机械振动中的简谐运动，也讨论，也讨论阻尼和受迫振动阻尼和受迫振动 振动的分类：振动的分类：根据根据物理量物理量不同，分为：不同，分为：机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 根据根据动力学动力学特性，分为：特性，分为：自由振动（无阻尼自由振动（无阻尼/有阻尼自有阻尼自

3、由振动）受迫振动由振动）受迫振动根据根据运动学运动学特性，分为：特性，分为：简谐运动简谐运动 非简谐运动非简谐运动 20-1 20-1 简谐运动的描述简谐运动的描述Description of a Simple Harmonic Motion 简谐运动的定义简谐运动的定义简简简简谐谐谐谐运运运运动动动动物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的位位移移按按余余弦弦（或或正正弦弦）函函数数的的规规律律随随时时间间变变化化的的运运动动，即即运运动动函函数可以表为数可以表为（简谐振动）（简谐振动）实例：弹簧振子实例：弹簧振子平衡位置平衡位置(弹簧原长处弹簧原长处)如果满足：如果满足：原点取在平衡位置；原点

4、取在平衡位置；忽略摩擦和空气阻尼；忽略摩擦和空气阻尼；弹簧为理想轻质。弹簧为理想轻质。描述简谐运动的特征量描述简谐运动的特征量，被称为简谐运动的被称为简谐运动的三个特征量三个特征量三个特征量三个特征量。3.相位相位（或位相（或位相/相）相）t 时刻的相位：时刻的相位：t=0时刻的相位时刻的相位 初相初相：phase 1.振幅振幅 A amplitude2.角频率角频率 （或周期（或周期 T/频率频率 v）circular frequency加速度函数加速度函数v和和a都是简谐的。都是简谐的。速度函数速度函数 简谐运动的速度和加速度简谐运动的速度和加速度 简谐运动的表示法简谐运动的表示法1.1.

5、解析法解析法2.2.曲线法曲线法3.3.旋转矢量法旋转矢量法 设设想想：矢矢量量 A 以以角角速速度度逆逆时时针针绕绕O点作作匀匀速速圆圆周周运运动动，设设t=0 时时矢矢量量 A 与与 x 轴轴的的夹夹角角为为 。研研究究端端点点 M 在在 x 轴上投影点的运动轴上投影点的运动。参考圆参考圆1.任意时刻任意时刻 t，M 点在点在 x 轴上轴上 投影点的坐标：投影点的坐标：2.M 点的速度在点的速度在 x 轴上的轴上的 投影：投影：易见在易见在上半圆上半圆 v0。3.M 点的向心加速度在点的向心加速度在 x 轴上的投影：轴上的投影：参考圆参考圆 结论：M 点在点在 x 轴上的投影坐标、及其速度

6、和向心加轴上的投影坐标、及其速度和向心加速度在速度在x 轴上的投影，分别是简谐运动的运动方程、速度和轴上的投影，分别是简谐运动的运动方程、速度和加速度。加速度。优点优点：将简谐运动的特征量将简谐运动的特征量 赋予几何意义：赋予几何意义：振幅振幅 矢量矢量 的大小；的大小；角频率角频率 矢量矢量 的转动角速度；的转动角速度；相位相位 与与 轴的夹角；轴的夹角；初相初相 时的夹角。时的夹角。于是可以用一个旋转于是可以用一个旋转矢量来描述简谐运动，这矢量来描述简谐运动，这一表示法称为一表示法称为旋转矢量法旋转矢量法旋转矢量法旋转矢量法。（相量图法）（相量图法）参考圆参考圆 可直观地研究简谐运动的相位

7、和相差；可直观地研究简谐运动的相位和相差；为研究简谐运动的合成提供方法为研究简谐运动的合成提供方法相（位）相（位）相（位）相（位）一定的相表示简谐运动某时刻的状态。一定的相表示简谐运动某时刻的状态。设两个简谐运动的函数为设两个简谐运动的函数为 相差：相差：如果是如果是同频（同频（），常量常量如果如果不同频（不同频（），随时间变随时间变 相位、相位差相位、相位差相（位）差相（位）差相（位）差相（位）差两个简谐运动相位之差。两个简谐运动相位之差。时刻时刻 t1：运动状态运动状态？时刻时刻 t2：运动状态运动状态？txOA1-A1A2-A2x1x2T同相同相 同相和反相同相和反相 (对于同频的对于同

8、频的)当当 步调相同，称步调相同，称同相同相同相同相；当当 步调相反步调相反，称，称反相反相反相反相。反相反相txOA1-A1A2-A2x1x2T一般超前或落后均以一般超前或落后均以 的值表示。的值表示。超前和落后超前和落后 若若 ，比比 较早达到同方向的最大值，较早达到同方向的最大值，称称 振动超前振动超前 振动振动 ；也称也称 落后落后 ，的相位。的相位。例例 一质点沿一质点沿x轴做简谐振动，振幅轴做简谐振动，振幅 A=0.12m，周期，周期T=2s，当，当 t=0 时，时，质点对平衡位置的位移质点对平衡位置的位移 x00.06m，此时刻质点向，此时刻质点向x正向运动。求：正向运动。求：（

9、1）此简谐振动的表达式；（此简谐振动的表达式；（2）t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度；（时，质点的位置、速度、加速度；（3）从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。于是此简谐运动的表达式为：于是此简谐运动的表达式为：由于由于t0时质点向正方向运动，所以时质点向正方向运动，所以 v00返回解解 （1）取平衡位置为坐标原点，设位移表达式为）取平衡位置为坐标原点，设位移表达式为其中其中，A也已知，只需求出也已知，只需求出 。解解 （1）取平衡位置为坐标原点，设位移表达式为）取平衡位置为坐标原点，设位移表达式为解解 （1）取平衡位置为坐标原点，设位移表达

10、式为）取平衡位置为坐标原点，设位移表达式为，A也已知，只需求出也已知，只需求出 。解解 （1）取平衡位置为坐标原点，设位移表达式为）取平衡位置为坐标原点，设位移表达式为旋转矢量法：旋转矢量法：根据初始条件就可以画出如图所示的振幅矢量的初始根据初始条件就可以画出如图所示的振幅矢量的初始位置，从而得出位置，从而得出 。xMPO返回（2）加速度加速度将将 t=T/4=0.5s 代入以上两式以及位移表达式可以得到代入以上两式以及位移表达式可以得到：（3）通过平衡位置时，）通过平衡位置时，x=0，即，即由此可得由此可得由于是第一次通过，取由于是第一次通过，取 ，速度速度旋转矢量法旋转矢量法：从起始时刻到

11、第一次通过原点，矢量转过的角度为从起始时刻到第一次通过原点，矢量转过的角度为 由于转动角速度是由于转动角速度是角频率角频率，所以得到所以得到xMPO练习练习1:1:两个质点各自做简谐振动，它们的振幅相同，周期相两个质点各自做简谐振动，它们的振幅相同，周期相 同，第一个质点的振动方程为同，第一个质点的振动方程为 ，当第一个质，当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点恰好在正的最大位移处，则第二个质点的振动方程为（点恰好在正的最大位移处，则第二个质点的振动方程为（）练习练习2 2：两个同周期简谐振动曲线如图所示，：两个

12、同周期简谐振动曲线如图所示，x x1 1的相位比的相位比x x2 2的的 相位（相位（）A)落后落后B)超前超前C)落后落后D)超前超前20-2 20-2 简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程Dynamic Equation of a Simple Harmonic Motion1.1.简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程由牛顿运动定律由牛顿运动定律为常量为常量即，合外力与位移成正比而反向。即，合外力与位移成正比而反向。线性回复力线性回复力如果质点所受如果质点所受则则所以说，质点受的合外力为线性回复力时，它作的运动就是所以说，质点受的合外力为线性回复力时，它作的运动就是简简简简谐运动谐

13、运动谐运动谐运动。动力学定义动力学定义此微分方程的解为此微分方程的解为:，和和 为为积分常数积分常数积分常数积分常数。动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程：解此方程组，得解此方程组，得时，有时，有和和 为初始条件确定：为初始条件确定：推导：推导：2.2.固有（角）频率固有（角）频率初始条件决定初始条件决定由谁决定？由谁决定？以弹簧振子为例：以弹簧振子为例：由振动系统本身性质决定。由振动系统本身性质决定。以与初条件无关以与初条件无关简谐运动的角频率由振动系统本身性质决定，故称为简谐运动的角频率由振动系统本身性质决定，故称为固固固固有角频率有角频率有角频率有角频率。同理有。同理有固有频率？固有

14、频率？固有频率？固有频率？和和固有周期？固有周期？固有周期？固有周期？。弹簧振子的固有（角）频率不受系统放置的影响。弹簧振子的固有（角）频率不受系统放置的影响。简谐运动实例简谐运动实例简谐运动实例简谐运动实例 1.1.弹簧振子弹簧振子已介绍已介绍水平水平放置的弹簧振子。放置的弹簧振子。考察考察悬垂悬垂的弹簧振子：的弹簧振子：以平衡位置为坐标原点以平衡位置为坐标原点O，则，则l0为平衡时弹簧的伸长量为平衡时弹簧的伸长量简谐运动实例简谐运动实例简谐运动实例简谐运动实例 2.2.单摆单摆 simple pendulum取角位移取角位移 ，规定逆时针方向为正方向，规定逆时针方向为正方向，。很小时很小时

15、 ，有，有 ，且，且为摆幅为摆幅解得解得结论结论结论结论：单摆在单摆在摆幅很小摆幅很小的情况下为简谐运动。的情况下为简谐运动。小球线度小球线度固有角频率固有角频率固有角频率固有角频率固有周期固有周期固有周期固有周期准弹性力准弹性力准弹性力准弹性力力与位移（或角位移）正比且反向。力与位移（或角位移）正比且反向。铅垂线铅垂线2.2.复摆（物理摆）复摆（物理摆）physical pendulum结论结论结论结论：复摆在复摆在摆幅很小摆幅很小的情况下为简谐运动。的情况下为简谐运动。取角坐标取角坐标 ，规定逆时针方向，规定逆时针方向 。悬挂点悬挂点O与质心与质心C的距离为的距离为小振动小振动由转动定律由

16、转动定律22-3 22-3 简谐振动的能量简谐振动的能量Energy of Simple Harmonic Motion本节以弹簧振子为例，讨论简谐运动的能量。本节以弹簧振子为例，讨论简谐运动的能量。结论结论结论结论：简谐运动的总能量不随时间改变，即机械能守恒。：简谐运动的总能量不随时间改变，即机械能守恒。动能：动能：势能：势能：总机械能：总机械能：能量随时间变化曲线能量随时间变化曲线 势能空间函数的曲线势能空间函数的曲线由于由于 且且这意味着这意味着 被限定在被限定在 区间上。区间上。微观上并非如此微观上并非如此 量子力学中的量子力学中的“隧道效应隧道效应”OxA-AxEpEEk20-4 20-4 阻尼振动阻尼振动Damped Vibration通常阻尼力通常阻尼力简简谐谐运运动动是是忽忽略略阻阻力力的的振振动动，是是理理想想的的运运动动形形式式。实实际际振动都存在阻尼力。振动都存在阻尼力。考虑阻尼力作用的振动称为考虑阻尼力作用的振动称为阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动。由牛顿定律由牛顿定律令令阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数此方程在不同的条件下有不同形式的解：此方程在不同的条件下有