数学物理方程(很好的学习教材).ppt

1、Part 数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社高教出版社 第三版）第三版）参考：数学物理方法学习指导（姚端正参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）科学出版社）授课内容授课内容n n数学物理定解问题（Chap.7）n n分离变数（傅里叶级数）法（Chap.8）n n球函数（Chap.10）n n柱函数（Chap.11）Chap.7 数学物理定解问题数学物理定解问题n n数学物理方程的导出数学物理方程的导出n n定解条件定解条件n n数学物理方程的分类数学物理方程的分类n n达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题n n本章小结本章小结物理量物理

2、量 u(Y,E,B,P)空间分布（空间分布（x,y,z）时间演化（时间演化（t）边界条件边界条件初始条件初始条件物理规律物理规律u(x,y,z,t)分析问题分析问题定解问题定解问题（确定系数）（确定系数）定界条件定界条件7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出n n常见的数学物理方程常见的数学物理方程常见的数学物理方程常见的数学物理方程 1.1.波动方程波动方程波动方程波动方程 2.2.输运方程输运方程输运方程输运方程 3.3.稳定场方程稳定场方程稳定场方程稳定场方程n n导出的步骤导出的步骤导出的步骤导出的步骤 1.1.确定研究对象（物理量）确定研究对象（物理量）确定研究对象（物理量）确

3、定研究对象（物理量）2.2.分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型 3.3.建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广波动方程波动方程n n均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动问题问题问题问题：一根长为：一根长为L L的均匀弹弦，的均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力不计重力，不受外力。其张力为为T T，线密度为，线密度为。求弦的微小。求弦的微小横振动的规律。横振动的规律。分析分析分析分析：设弦平衡时沿：设弦平衡时沿x x轴，考虑轴，考虑弦

4、上从弦上从x x到到x+dxx+dx的一段，其质的一段，其质量为量为dxdx。设弦的横振动位移。设弦的横振动位移为为u(x,t)u(x,t)，则，则由牛顿第二定律由牛顿第二定律dxutt=T2sin2-T1sin10=T2 cos2-T1 cos1微振动条件微振动条件cos1=cos2=1sin1=tan1=ux(x,t)sin2=tan2=ux(x+dx,t)于是有于是有T2=T1=Tuttdx=Tux(x+dx,t)-ux(x,t)化简后得到化简后得到 utt=T uxx utt=a2 uxxBCA12uxxdxa2=T/波动方程波动方程n n推广推广推广推广1 1n n情况：受迫振动（考

5、虑重力或外力）情况：受迫振动（考虑重力或外力）n n分析：设单位长度所受到的横向外力分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)F(x,t)，则，则dxdx段的受力为段的受力为FdxFdxn n方程：方程：uutt tt=T u=T uxxxx+F+Fn n u utt tt=a=a2 2 u uxxxx+f+f，f=F/f=F/波动方程波动方程n n推广推广推广推广2 2n n情况：均匀杆的纵振动问题情况：均匀杆的纵振动问题n n分析：张力分析：张力T T变成杨氏模量变成杨氏模量Y Yn n方程：方程：uutt tt=Y u=Y uxxxx+F+Fn n u utt tt=a=a2 2 u

6、uxxxx+f+fn n推广推广推广推广3 3n n情况：三维情况情况：三维情况n n分析：位移分析：位移u u成为空间变量成为空间变量x,y,zx,y,z和时间和时间t t的函数的函数n n方程：方程：问题问题问题问题：扩散问题中研究的是浓度：扩散问题中研究的是浓度u u在空间的分布和在时间中的在空间的分布和在时间中的变化。变化。分析分析分析分析：扩散现象遵循扩散定律，即：扩散现象遵循扩散定律，即q=-Dq=-D u u，q q是扩散流强是扩散流强度，度，D D是扩散系数，是扩散系数，u u是浓度梯度。对于三维扩散问题，是浓度梯度。对于三维扩散问题，考察单位时间内小体积元考察单位时间内小体积

7、元dxdydzdxdydz的净流入量。的净流入量。扩散方程扩散方程zyxdxdydzo扩散方程扩散方程n n在在x x，y y，z z方向上，单位时间内净流入量为方向上，单位时间内净流入量为n n如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数输运方程输运方程n n一维热传导一维热传导一维热传导一维热传导问题问题问题问题：一根长为：一根长为L L的均匀导热细杆，的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为系数为

8、k k，比热为，比热为c c，线密度为，线密度为。求杆内温度变化的规律。求杆内温度变化的规律。分析分析分析分析：设杆长方向为：设杆长方向为x x轴，考虑杆上轴，考虑杆上从从x x到到x+dxx+dx的一段，其质量为的一段，其质量为dxdx，热容量为热容量为cdxcdx 。设杆中的热流沿。设杆中的热流沿x x轴正向，强度为轴正向，强度为q(x,t)q(x,t)，温度分布为，温度分布为 u(x,t)u(x,t)，则，则由能量守恒定律 c dxdx du=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut=-qx由热传导定律q(x,t)=-k ux(x,t)代入前面的

9、式子，得到c ut=k uxxut=a2 uxxa2=k/(c)扩散方程和输运方程扩散方程和输运方程n n扩散和输运方程具有共同的形式：扩散和输运方程具有共同的形式：n n对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：则方程的形式变化为：源的强度源的强度稳定场方程稳定场方程n n概念概念n n产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。定状态，对应的方程称为稳定场方程。n n形式：在对应的演化方程中取消时间变量形式：在对应的演化方程中取消时间变

10、量t t，对，对t t的导数为的导数为零。零。n n分类分类n n无外界作用情况无外界作用情况n n拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：u=uu=uxxxx+u+uyyyy+u+uzzzz=0=0n n有外界作用情况有外界作用情况n n泊松方程：泊松方程：u=uu=uxxxx+u+uyyyy+u+uzzzz=f(x,y,z)=f(x,y,z)n n典型应用典型应用n n静电场方程：静电场方程：u=-/u=-/n n稳定温度分布：稳定温度分布：u=-F/ku=-F/k小小 结结n n波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作业：作业：P15

11、2 3,47.2 定解条件定解条件n方程 ut(t)=0n能不能求解？解是什么？n能不能定解？该怎么办？n方程 uxx(x)=0n能不能求解？解是什么？n能不能定解？该怎么办？n由此可归纳出n数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。一、定解问题的提出一、定解问题的提出二、初始条件二、初始条件n意义意义n反映系统的特定历史n分类分类n初始状态（位置），用 u|t=0=(x,y,x)表示；n初始变化（速度），用 ut|t=0=(x,y,z)表示。n典型例子典型例子n一维热传导n未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件n一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bnu|t=0=a+(

12、b-a)x/L初始条件初始条件n一维弦振动一维弦振动n未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件n初始位移初始位移n处于平衡位置：u|t=0=0n两端固定，在c点拉开距离h：u|t=0=hx/c，0 xc;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，cx 0 0 为双曲型，如波动方程；为双曲型，如波动方程；=0=0 为抛物线型，如热传导为抛物线型，如热传导方程；方程；0 0 为椭圆型，如稳定场方为椭圆型，如稳定场方程。程。判断：判断：推导过程推导过程n关于自变量 x，y的二阶线性偏微分方程（系数都是x，y的函数）作自变量代换于是，方程化为：n取特解做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。特解满

13、足的方程为：把z(x,y)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dy/dx=-zx/zy，于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：三、叠加原理三、叠加原理n原理原理：n线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程n如：L u1=f1n L u2=f2n则：L(au1+bu2)=af1+bf2n应用应用：n齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；n非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；n两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解

14、问题定解问题n定解问题的求解思路定解问题的求解思路n原则：由已知猜未知n方法：类比法n步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。n泛定方程的求解泛定方程的求解n达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的推导n达朗贝尔公式的应用达朗贝尔公式的应用一、泛定方程的求解一、泛定方程的求解n常微分方程常微分方程n方程方程：u=2a x n通解：u=a x2+Cn偏微分方程偏微分方程n方程方程：ux=2y x n通解：u=y x2+C(y)n二阶方程二阶方程：uxy=0n对y偏积分：ux=C(x)n通解：u=C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)二、达朗贝尔二、达朗贝尔(D Alembert)公式公式n以均匀弦的横

15、振动为例来推导达朗贝尔公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式方程形式：方程形式：定解条件：定解条件：推导步骤：推导步骤：1）由方程求通解2）由初始条件确定通解中的待定系数1）达朗贝尔公式的推导（求通解）达朗贝尔公式的推导（求通解）通解的物理意义：以速度通解的物理意义：以速度a沿沿x轴正负方向移动的行波。轴正负方向移动的行波。达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式达朗贝尔公式2）达朗贝尔公式的物理意义）达朗贝尔公式的物理意义n若初始条件为：若初始条件为：初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度a移动。移动。这两个行波的

16、和给出各个时刻的波形这两个行波的和给出各个时刻的波形n若初始条件为：若初始条件为：3）达朗贝尔公式的应用）达朗贝尔公式的应用a)半无限长弦的自由振动：半无限长弦的自由振动：初始条件只是在x0才有意义，在x0的区域上弦并不存在。因此，若时间增加到x-at0，达朗贝尔公式中(x-at)和积分项就失去了意义，公式也不能应用了。方法方法：把半无限长弦当做无限长弦的x0的部分。无限长弦在振动过程中，点x=0保持不动。因此，无限长弦的位移u(x,t)应当是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，这样，通过奇“延拓”的方式，把方程和初始条件从半无界区间延拓到整个无界区间现在就可以应用达朗贝尔公式进行求解。和无界区间的解相比，端点的影响表现为反射波反射波，即存在半波损失半波损失。b)无限长自由振动无限长自由振动解：将初始条件代入达朗贝尔公式c)边界条件举例边界条件举例n任意给定初始条件 u|t=0=2 exp(-x2),ut|t=0=0n附加边界条件1.u|x=0=02.ux|x=0=03.u|x=0=u04.u|x=0=0,u|x=L=05.三、定解问题是一个整体三、定解问题是一个整体 一般情