复数域加权最小二乘法在基于相量量测的状态估计中的应用0Word格式.docx

1、 相量测量单元； 相量误差特性； 线性状态估计；权重； 改进标准化残差 0 引言 自从上世纪 70 年代 F.C.Schweppe 等人提出电力系统状态估计以来1-3， 经过四十多年的发展和应用， 状态估计在可观测性分析、 估计算法、 不良数据及拓扑错误的检测和辨识等方面取得了 很大的进展4-8， 状态估计的实用化进程也不断得以推进。 传 统 状 态 估 计 基 于 数 据 采 集 与 监 控（ Supervisory Control and Data Acquisition，SCADA） 系统提供的数据进行估计。 近年来， PMU 及建立在 PMU 基础上的广域测量系统（Wide Area

2、Measurement System， WAMS） 不断发展， 从而为状态估计提供了 新的数据源。 PMU 有较高的采样速率和精度， 能够直接测量电压和电流的相角， 且采样数据都打上了高精度的时标， 因此数据的精度和速度相比 SCADA 系统有着巨大的提升。 自 PMU 装备电力系统以来， 如何将 PMU量测数据应用到状态估计中是一个比较热点的研究方向， 国内外一大批科研工作者对此进行了大量的研究， 取得了丰富的成果9-13。 这些研究大多是将 PMU 数据和 SCADA 数据进行混合，从而建立基于混合量测的估计模型， 但 PMU 和SCADA 量测的采样周期不同， 且 SCADA 采样没有时

3、标， 难以保证两个系统采样数据的同步性， 从而大大影响了估计结果的精度。 目前基于全 PMU 数据进行状态估计的研究还不太多。 文献14首次建立了全部节点电压相量和部分支路电流相量可量测情况下的状态估计模型， 并利用加权最小二乘法（Weighted Least Square， WLS） 求解该模型， 但没有讨论 WLS法应用于复数域的特殊性， 也没有考虑权重的选取问题。 文献15提出只要网络中 PMU 的配置满足可观性， 即可建立线性状态估计模型。 文献16将电压相量和电流相量分别用实部和虚部来表示， 从而建立了基于直角坐标系的实数形式的线性状态估计模型， 但这使得模型中系数矩阵的维数相比相量

4、模型扩大了一倍， 增加了计算规模，同时对实部和虚部间不相关的假设也不成立。 目前， PMU 在国内电网中的配置已经超过1100 台， 500kV 及以上电压等级已基本完成配置， 正在向 220kV 电压等级推进， 海南电网已率先实现了 220kV 厂站的全 PMU 覆盖。 PMU的大量配置为进行全 PMU 状态估计奠定了的基础。 在这种情况下， 研究基于全 PMU 数据的状态估计建模方法以及相应的不良数据检测和辨识方法， 具有十分重要的意义。 本文建立了 PMU 配置满足可观性条件下的电力系统状态估计模型， 包括直角坐标形式、 极坐标形式和相量形式。 从数值稳定性和效率方面考虑， 推荐使用相量

5、形式的量测方程， 并建立复数域加权最小二乘法（Complex Field Weighted Least Square， CWLS） 对该模型进行求解， 得到了状态量的无需迭代的、 线性的估计公式。 文章还对 PMU 相量的误差特性、 CWLS 法中权重的选取以及 CWLS 法的抗差性进行了研究， 并用改 进 标 准 化 残 差 法 （ Improved Normlized Residual， INR） 对不良数据进行辨识。 仿真验证了本文方法的正确性和有效性。 1 基于全 PMU 数据的线性量测方程 对于一个由 n 个节点、 b 条支路构成的电力网络， 当 PMU 量测使网络可观测时， 即可建

6、立全 PMU 估计模型， 并可利用 PMU 量测的冗余度， 提高状态变量的估计精度。 若 PMU 的量测精度很高， 则可直接将节点电压相量量测作为该节点的状态， 从而实现在线状态测量。 然而 PMU量测的误差不可避免， 且可能存在不良数据， 因而将 PMU 电压相量量测直接作为系统的状态并不合适。 充分利用 PMU 节点电压以及支路电流相量量测数据， 建立相应的状态估计模型， 并采用合适的算法求解模型， 是构建全 PMU 状态估计模型的基础。 设网络中共配置了 k 个 PMU（）kn， 这些PMU 可给出 k 个节点电压相量量测以及 l条支路的电流相量量测 （2 ）bl。 PMU 的量测量分别

7、为电压幅值、 相角以及电流幅值、 相角。 将电压幅值U 和电压相角 组合构成电压复相量j， 将电流幅值 I 和电流相Ue角 组合构成电流复相量j。 则可得到如下形Ie式的量测方程： UmTmeamTI =+ UUZII （1） 式中，mU 、m I 是节点电压相量量测和支路电流相量量测构成的矢量， 其中 1212kTjjjmkU e = U eU e U ， 1212lTjjjmlI eI eI e = I ；TU 、TI 是电压相量真值和电流相量真值构成的矢量； U 、I 是相应的误差矢量， 上述矢量中的元素均为复数。 将支路电流相量TI 用节点电压相量U 来表示， 其中TcT = UUU，

8、cTU 表示未配置 PMU 节点的电压相量真值。 考虑TI 的一个分量pqI ， 对应于从节点 p 流向节点 q 的电流相量。 对于支路pq， 不管其是否含有变压器、 移相器， 均可用如图 1 所示的 型等值电路表示。 不妨假设其包含变压器和移相器， 变压器的变比为 1:K， 移相器的移相角度为 ， 线路的电阻、 电抗和充电电纳分别为 r、 x、 b， 由基本电路定律可得： 图 1 支路的 型等值电路 （）（）00pqppqppqqqpqppqqpqIyyVy VIy VyyV =+= + （2） 其中，02pjby=，（）1pqjyrjx Ke=+，022qjbKy=，（）（）*1qpjyr

9、jxKe=+。 由（2）式可知， 可以通过支路导纳矩阵将支路电流相量TI 用节点电压相量U表出。 设支路导纳矩阵为b Y ， 则b Y 的维数为 l n ， 且是一个稀疏矩阵， 其中的非零元素定义如下： （） （,）（）0,-biijbijY i iyyY i jy =+= 当ijI 有电流量测 （3） 因此有T=IbY U （4）将等式（4）代入到等式（1）得量测方程： 12UmeaI =+=+bbI0ZUA U YY （5） 式中 ，I 表示 k k阶单位矩阵，0 表示（）knk阶零矩阵，12=bbbYY Y，1 b Y 表示l k阶矩阵，2b Y 表示（）lnk阶矩阵。 式（5）建立了

10、量测量meaZ和状态量U 间的关系， 其中meaZ和U均是复矢量。 在网络结构和量测配置不变的情况下， 系数矩阵 A 为常稀疏复矩阵， 维数为 （）lkn+。 因此meaZ和U间是线性关系， （5）即为基于 PMU 数据的量测方程。 （5）的直角坐标形式和极坐标形式分别如式（6）和（7）所示： ,11mea rZrirrmea iirii = =+AUZAAUB U （6） 222mmeaa =+ =+IUmmammmamUI0U0IUUZIUIC U HHH （7） 其中,mea rZ、,mea iZ分别表示meaZ的实部和虚部，r A 、iA 分别表示 A 的实部和虚部，rU 、iU分别表

11、示U的实部和虚部，r 、i 分别表示的实部和虚部。 mmU 、amU 表示mU 的幅值和相角，mmI 、amI 表示m I 的幅值和相角，mU 、aU 表示U的幅值和相角，IUH、 、UH、H 表示电流幅值、 相角对电压幅值、 相角的雅克比矩阵，是非常数矩阵。 2 复相量的误差特性 2.1 误差定义 一般来说 PMU 量测数据的幅值和相角是相互独立的， 且一般假设误差均值为 0。 若 PMU电压幅值量测的标准差为 uv， 相角量测的标准差为 uV， 电流幅值量测的标准差为 uI， 相角量测的标准差为 uI。 则误差复相量如图 2 所示 图 2 电压量测复相量和真值复相量间的关系 对量测方程（5

12、）中meaZ的任一电压分量kU有 （）（）21kTkjjkkkTkTUkUU eUeU+=+=+ （8） 其中，kTU 表示电压kU幅值的真值，kT 表示电压kU相角的真值。 化简（8）得： （）221eeekTjjjUkkTkTUU=+ （9） （9）即是量测方程中任一电压量测量kU的量测误差。 在复数领域， 一般用距离来表征两个相量间的差别， 对图 2 所示的量测量kU和真值kTU， 两者间的距离为： 212kT2121（,）（）e2（）（1cos）jkkTUkkTkTkTd U UUUUU=+=+ （10） 因此可以用式（10）来用来表征复相量间的绝对误差。 2.2 正常量测情况下的期望

13、和方差 假设幅值和相角服从相互独立的零均值高斯分布， 则对某个量测绝对误差Uk， 可求其期望和方差。 （U）（）2221eeeee1kTkTjjjUkkTkTjj kTEE U UE =+ = （11） 令（）222e（cossin）jEEjajb=+=+， 则 上式可简化为（）e（1）kTjUkkTEUajb= +， 从而可以得到Uk的期望和方差： （）22（1）UkkTEUab=+ （12） （2）（）（2）2222kT2v222v2kT2（）（1）（1）（1）UkUkUkkTDEEUauUabuUab = =+=+ （13） 由（12）和（13）可知， 量测误差的期望和相角的误差有关，

14、与幅值误差无关； 而方差同幅值和相角的量测误差均有关。 由于a和 b 的值无法用解析方法求得， 在实际应用中可用统计分析方法来估计 （）UkE 和（）UkD 的值。 假设 PMU 电压相角量测的标准差 uV分别为 0.02o、 0.1o、 0.5o、 1o、 3o， 对每种标准差 uV分别对2 进行 10000000 次蒙特卡洛采样， 对得到的2 值分别计算 （）UkE 和（）UkD ， 然后求其平均值， 得到的结果如表 1 所示。 PMU 相角量测的误差标准差一般可以达到0.02o， 最差的情况下误差也不会超过 1o。 从表 1中对 （）UkE 和（）UkD 进行的仿真统计分析可以得出在 P

15、MU 量测的误差范围内， 误差随机变量的平均值约为 0， 方差基本为2V2V2kTuu U+。 因此 在 实 际 应 用 中 ，可 以 认 为（）0UkE ，（）2V2V2kTU kDuu U+。 表 1 （）UkE 和（）UkD 的数值计算值 测量误差 （）UkE （）UkD 2Vu kTU 2V2kT+uU 0.02o 0.1o 0.5o 1o 3o 1.4021*10-7 1.7326*10-6 3.8675*10-5 1.5230*10-4 1.3703*10-3 1.2188*10-7 3.0458*10-6 7.6128*10-5 3.0444*10-4 2.7385*10-3 1

16、.2185*10-73.0462*10-67.6154*10-53.0462*10-42.7416*10-3对电流相量量测误差可做类似的分析， 可得（）0IkE ，（）2I2I2kTIkDuu I+。 2.3 有不良数据时的特性 研究表明， PMU 量测数据中， 幅值的精度一般较高， 而相角的精度相对差一点。 在准稳态情况下， 电压幅值的波动远低于 1%， 一般不超过 0.4%， 而相角的波动相对较大， 出现错误数据的概率也相对大些。 不妨设某次采样的数据中幅值是准确的， 而此时的相角数据是错误的， 错误幅度为 1o， 即21o =。 此时可得绝对误差Uk为： （）1e11.75%ojUkkT

17、kTUU= （14） 可见即使只有 1o的相角误差， 就使得绝对误差高达幅值的 1.75 %， 大大超过幅值的正常量测误差， 因此绝对误差对相角误差的灵敏度非常高。 3 复数域加权最小二乘法 WLS是电力系统状态估计的实用方法之一，但WLS没有抗差性， 在实际应用时， 在WLS估计之后需要加上一个不良数据辨识环节。 WLS 是应用在量测方程中的各量为实数的基础上的。 而建立的方程（5）是基于向量的复数线性方程； 基于直角坐标的方程（6）虽是实数线性 方 程 ，但 其 关 系 矩 阵 B 的 维 数 为（）222lkn+， 比矩阵 A 大一倍， 由于计算中涉及关系矩阵的求逆， 将增加计算量， 另

18、外将 PMU量测转换为实部和虚部时， 还将引入转换误差，同时实部和虚部之间是相关的， 不再相互独立；基于极坐标的方程（7）是实数非线性方程， 需要进行迭代计算， 存在收敛性问题。 因此本文选择方程（5）作为全 PMU 状态估计的量测方程， 并将WLS 引入复数域建立复数域加权最小二乘法CWLS 求解之。 当量测方程中的各量是复数时， 由于量测误差矢量 是一个复矢量， 基于极大似然估计原则， CWLS 的目标函数是使得的模的加权平方和最小， 即： （ ）U*T*TminTmeameaJ= W W ZAU W Z AU （15） （15）式中W 是权重矩阵， 为 （）lk+阶实对角方阵。 推导后可

19、以得到状态量U 的估计结果如下： *T*T1estmeamea = =UA W A A W Z D Z （16） 模型（15）是一个二次规划问题， 可保证得到全局最优解， 而（16）式不需要迭代， 通过一次运算就可以得到状态量的估计值。 因此不存在迭代计算中常见的收敛性和快速性等问题。 实际上， 在网络结构和量测配置不变的情况下， 式中的 D为常量， 因此状态量的估计结果可以通过直接计算得到。 实际计算中只需先形成支路导纳矩阵b Y ， 然后形成矩阵 A ， 之后得到权重矩阵W ， 即可完成估计计算。 由于 CWLS 法是以绝对误差的加权平方和最小为目标的， 因此 CWLS 法对相角错误数据有

20、较大的抗差性， 仿真算例的结果也证明了这一点。 4 权重矩阵 W 的选取 权重矩阵一般是对角矩阵， 其对角线元素同量测误差的方差有关， 在用 CWLS 进行估计的过程中， 可以通过 2 种方法获取权重矩阵W ： 定权重法和自适应调整权重法。 定权重一般是通过对量测误差的先验知识以及一定的误差分布假设（通常假设为高斯分布）， 给相应的量测一个固定的权重， 一般取量测误差方差的倒数作为相应量测的权重。 根据第2 节中关于误差特性的介绍， 可以得到定权重情况下， 权重矩阵的各元素如下： （）（）（）（）12V2v2kT112I2I2kT,uu UW i iR i iuu I += + （17） 实际

21、应用时， 可以用测量值代替式（17）中的真值。 自 适应调整权重主要是依据量测残差和量测误差间的关系来完成的。 利用 CWLS 完成估计计算后， 可得量测残差 r为： *1meaestTT= =rZZIA A W AA W S （18） 其中 S 为残差灵敏度矩阵， 是实数矩阵。 在网络结构和量测配置不变的情况下， S 矩阵为定常矩阵。 残差 r的协方差为： *（）TTE=S S*（）（）TTTTEE=r RrrSSSRSSR （19） R 为误差协方差矩阵， 是实对角矩阵。 式（19）通过灵敏度矩阵 S 建立起了 残差协方差r R 和误差协方差 R 之间的关系， 因此通过r R 和 S ，

22、经式（20）可以求得 R 中的元素： （ , ）（ , ）S i i（ , ）R i ir R i i= （20） 对 R 中的元素求倒数， 即可得到相应的权重， 从而可以对权重矩阵中的元素进行自适应的调整， 使权重同实际的量测误差相匹配。 5 不良数据的检测和辨识 最大标准残差（Largest Normlized Residual，LNR） 法是应用 WLS 方法进行状态估计后， 一种实用的不良数据检测、 辨识方法。 针对 CWLS方法的特性， 对 LNR 法进行改进， 可以将其用于 CWLS 法估计后的不良数据检测和辨识中。 据式（18）， 可以将复误差矢量写作： （）（）= + r+=I

23、S SIS （21） 两边取模值， 可得绝对误差 （）+=+S IS rt （22） 矢量 所在的向量空间为l k+， 定义Rl k+上R的内积为,T= W。 据此定义， CWLS 的目标函数即为矢量 在l k+上的内积。 由式（22）R可知绝对误差矢量 可以分解为两个分量， 即残差的模矢量=rS 和矢量（）=tIS ， 可以证明这两个矢量的内积为零， 这两个矢量在l k+R空间上是相互正交的。 因此残差的模矢量 r 只是绝对误差矢量 的一部分。 假设第i个量测数据是不良数据， 即ic=，其余分量为零。 此时有ic=rS ，（）ic=tIS ，其中iS 、 （）iIS 表示矩阵的第 i 列构成

24、的列矢量， 对第i个量测， 定义指标： （）（）,iiiiiccKcc=ISISSS （23） 定义改进残差（Improved Residual， IR） ir来更好的表征误差矢量 ： 2i1iiK=+irr （24） 其中ir 表示残差模矢量的第i个分量，iir表示改进残差的第i个分量， 并用 ir 进行不良数据的检测和辨识。 6 仿真研究 这一节将在 IEEE 节点系统上， 对前面提出的全 PMU状态估计的 CWLS 方法进行仿真研究和验证。 6.1 估计结果评价 在电力系统状态估计的仿真研究中， 可用状态估计值与真值之差的绝对值均值来表征状态估计结果的优劣， 其表征式如下所示： ,111

25、1M Naverageij estimatexjijxMN= = （25） 其中， average表示 M 次蒙特卡洛分析中，估计误差绝对值的平均值， N表示系统状态变量的个数， xij,estimate表示第 i 次蒙特卡洛分析中第 j个状态量的估计值， xj表示第 j 个状态量的真值。 对每一次蒙特卡洛分析， 量测值是通过在真值基础上加随机白噪声得到的， 白噪声的分布由量测量的误差分布来确定。 6.2 测量误差 PMU 测量的误差来源主要有： PT、 CT 测量误差、 光缆通道传输误差、 A/D 转换误差和算法误差。 PT、 CT 测量误差在工频下一般是固定的，通道传输误差与通道的长度有关

26、， 这两种误差一般可以通过外部校准设备进行补偿。 本文主要考虑由 A/D 转换误差和算法误差造成的量测不确定度。 本文的量测误差是根据国标对 PMU 量测的最低标准来设定的， 如表 2 所示。 表 2 最大量测误差 PMU 量测 电压幅值 0.4% 电压相角 0.5o 电流幅值 0.4% 电流相角 1o 6.3 无不良数据时估计结果 对 IEEE300 节点系统， 选节点 257 为相角参考节点， 在全部 300 个节点上均装设 PMU，可以测量 300 个电压相量和 822 个电流相量。 对该标准系统， 进行 1000 次蒙特卡洛试验， 对每一次蒙特卡洛试验得到的量测数据， 分别进行估计计算

27、， 得到状态量的估计值。 其中电压幅值单位是标幺值， 相角单位是度。 表3 列出了 IEEE300节点系统在给定误差下的 average及完成状态估计的计算时间， 仿真的硬件条件是 Intel Core i5 2.27GHz CPU， 内存为 2GB。 表 4 列出了 用该方法对 IEEE14 节点系统、 IEEE118 节点系统、IEEE300 节点系统和波兰 3012 节点系统进行1000 次仿真所用的平均时间。 分析表 3 和表 4的仿真结果可以得出以下几点结论： （1） 本文提出的模型和方法能快速有效的提高测量值的准确度， 较好的完成状态估计计算， 尤其是大幅度的提高了相角的精度。 （2） 完成状态估计所需时间同系统规模大致为线性关系； 这是因为全 PMU 状态估计模型为线性模型， 估计算法不需要经过迭代即可完成。 表 3 给定误差下估计的 average和时间 average 幅值误差/10-3 角度误差/度 时间/ms量测 估计 1.77 0.30 0.18 1.58 0.06 表 4 不同规模系统估计所需时间 系统 时间/ms IEEE14 节点 IEEE118 节点 IEEE300 节点 波兰 3012 节点 0.22 1.09 2.38 29.10 表 5 假设及实际的误差水平 PMU 量测 电压幅值