数学之 特殊化与一般化.docx

1、数学之 特殊化与一般化第十九讲 特殊化与一般化特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地1特殊化、一般化和类比推广命题1 在ABC中，C=90，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD2=ADBD这是大家所熟知的直角三角形射影定理类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2命题2 在ABC中，C=90， CD是斜边上的中线(图2-103)，则有CD=AD=BD这便是大家

2、已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=ADBD)再类比，如果CD是C的平分线，将怎样？于是得到命题3命题3 在ABC中，C=90，CD是C的平分线(图2-104)，则有这是一个新命题，证明如下.引DEBC于E，DFAC于F因为所以我们把命题1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题命题4 在ABC中，C=90，D是斜边AB上的任一内分点(图2-105)，则有证 引DFAC于F，DEBC于E因为CD2-BD2CE2-BE2=(CE-BE)BC，而所以所以即命题5 在ABC中，C=90，D是斜边AB上的任一外分点(图2106)，则有证 只要令命题

3、4之结论中AD为-AD，则有我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即AD=0)，那么无论是式或式都有AB2=BC2+AC2.这就是我们熟知的勾股定理命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理下面用命题4或命题5来证明以下定理定理 在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，时，取“-”号，B为钝角时，取“”号)证 我们仅利用命题4证图2-107中的情况(B90)为此，我们作图2-109，其中DBA=90，CD=x，CEDB于E，并设CE=n由命题4，立得得所以b2=a2+c2-2cn同理可证图2-108(B90)的相应结论2特殊化、

4、一般化在解题中的应用例1 设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且求证：x2y2z2w2=1分析与解 我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了事实上，因为又因为到原命题，由容易想到变形去分母变形为，并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到x2y2z2w2=1.例2 设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度(图2-110)解(1)先解一个特例(图2-111)设只有两个圆轮O1，O2，2O1O2=l显然，带动两轮

5、转动的皮带长度为s=l+2R(2)再回到原题，我们猜想：s=l2R以下证实这个猜想是正确的为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可事实上，引O1A3O2A3，由于O1A1O2A2，所以A1O1AO1为圆心，以R为半径的圆因此，四圆弧之长为2R又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以lA1A2A3A4A5A6A7A8所以，所求皮带长为s=l2R例3 设a1，a2，an都是正数试证：证 欲证成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证把变形为即证由于中左边有(a1-a2)，(a2-a3)，(a3

6、-a1)，其和为零，因此，我们猜想：若式左边相加，其和不小于(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)之和即可为此，我们证更简单的事实设a，b是任意正整数，则有事实上，由(a-b)20有a2-abab-b2，根据，显然成立，因为(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1)0，从而式成立，式成立剩下来的工作是把式推到一般情形，这是很容易的因为根据，式必然成立，因为练习十九1如图2-112已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A，B，C，D求证：ABB=CCDD2在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A，或l交AB，B

7、C等)，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明3在题1中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA，BB，CC，DD只保持平行等)，那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明4如果ABC的周长为40米(m)，以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的长度第十九讲 特殊化与一般化特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题另外，特殊化、一般化和类比联想结合起来，更可以由此

8、及彼地发现新命题、开拓新天地1特殊化、一般化和类比推广命题1 在ABC中，C=90，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD2=ADBD这是大家所熟知的直角三角形射影定理类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2命题2 在ABC中，C=90， CD是斜边上的中线(图2-103)，则有CD=AD=BD这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD2=ADBD)再类比，如果CD是C的平分线，将怎样？于是得到命题3命题3 在ABC中，C=90，CD是C的平分线(图2-104)，则有这是一个新命题，证明如下.引DEBC于E，DFAC于F因为所以我们把命题1、命题

9、2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题命题4 在ABC中，C=90，D是斜边AB上的任一内分点(图2-105)，则有证 引DFAC于F，DEBC于E因为CD2-BD2CE2-BE2=(CE-BE)BC，而所以所以即命题5 在ABC中，C=90，D是斜边AB上的任一外分点(图2106)，则有证 只要令命题4之结论中AD为-AD，则有我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即AD=0)，那么无论是式或式都有AB2=BC2+AC2.这就是我们熟知的勾股定理命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理下面用命题4或命题5来证明以下定理定理

10、 在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，时，取“-”号，B为钝角时，取“”号)证 我们仅利用命题4证图2-107中的情况(B90)为此，我们作图2-109，其中DBA=90，CD=x，CEDB于E，并设CE=n由命题4，立得得所以b2=a2+c2-2cn同理可证图2-108(B90)的相应结论2特殊化、一般化在解题中的应用例1 设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且求证：x2y2z2w2=1分析与解 我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了事实上，因为又因为到原命题，由容易想到变形去分母变形为，并约去(x-y)(y-z

11、)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到x2y2z2w2=1.例2 设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆轮如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度(图2-110)解(1)先解一个特例(图2-111)设只有两个圆轮O1，O2，2O1O2=l显然，带动两轮转动的皮带长度为s=l+2R(2)再回到原题，我们猜想：s=l2R以下证实这个猜想是正确的为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可事实上，引O1A3O2A3，由于O1A1O2A2，所以A1O1AO1为圆心，以R为半

12、径的圆因此，四圆弧之长为2R又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以lA1A2A3A4A5A6A7A8所以，所求皮带长为s=l2R例3 设a1，a2，an都是正数试证：证 欲证成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证把变形为即证由于中左边有(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)，其和为零，因此，我们猜想：若式左边相加，其和不小于(a1-a2)，(a2-a3)，(a3-a1)之和即可为此，我们证更简单的事实设a，b是任意正整数，则有事实上，由(a-b)20有a2-abab-b2，根据，显然成立，因为(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-

13、a1)0，从而式成立，式成立剩下来的工作是把式推到一般情形，这是很容易的因为根据，式必然成立，因为练习十九1如图2-112已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A，B，C，D求证：ABB=CCDD2在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A，或l交AB，BC等)，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明3在题1中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA，BB，CC，DD只保持平行等)，那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明4如果ABC的周长为40米(m)，以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的长度