三角形角平分线专题讲解Word文档格式.docx

1、例3已知：如图1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求证：AB-AC=CD此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC2已知：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE例1例2例3已知：如图3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例4已知：如图3

2、-2，AB=AC，BAC=90，AD为ABC的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。如图3-3在ABC中，AD、AE分别BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。AM=ME。由AD、AE是BAC内外角平分线，可得EAAF，从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例1已知：如图3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延长线于M。AM=（AB+AC）题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作ABD关于AD的对称

3、AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作ACM关于CM的对称FCM，然后只需证DF=CF即可。练习：1已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是BAC的平分线，且CEAE于E，连接DE，求DE。2已知BE、BF分别是ABC的ABC的内角与外角的平分线，AFBF于F，AEBE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角

4、形。如图4-1和图4-2所示。例4 如图，ABAC, 1=2，求证：ABACBDCD。例5 如图，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求证：A+C=180。例6 如图，ABCD，AE、DE分别平分BAD各ADE，求证：AD=AB+CD。1. 已知，如图，C=2A，AC=2BC。ABC是直角三角形。如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCAC 3已知CE、AD是ABC的角平分线，B=60，求证：AC=AE+CD4已知：如图在ABC中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分线，求证：BC=AB+AD三 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到

5、同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：

6、（法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM中，MB+MDBD；（2）在CEN中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（法二：图1-2）延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FCGE+CE（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEBD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于

7、任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。因为BDC与BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E，这时BDC是EDC的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时BDF是ABD的外角，BDFBAD，同理，CDFCAD，BDF+CDFBAD+CAD，即：注意：利用

8、三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：如图3-1：已知AD为ABC的中线，且1=2,3=4,求证：BE+CFEF。要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（辅助线作法）1=2（已知）ED=ED（公共边）

9、DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在EFN中EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE+CF当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、截长补短法作辅助线。已知如图6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点AB-ACPB-PC。要证：PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNBN，即：（截长法

10、）在AB上截取AN=AC连接PN,在APN和APC中AN=AC（辅助线作法）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC（三角形两边之差小于第三边）AB-AC例1如图，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180AE=AD+BE。例2如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，ADC+B=180例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。BC=AB+DC。例4如图，已知RtABC中，ACB=90，AD是CAB的平分线，DMA

11、B于M，且AM=MB。CD=DB。1如图，ABCD，AE、DE分别平分BAD各ADE，求证：2.如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E。BD=DE+CE四 由中点想到的辅助线 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ABC的中线，则SABD

12、=SACD=SABC（因为ABD与ACD是等底同高的）。例1如图2，ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中线。已知ABC的面积为2，求：CDF的面积。解：因为AD是ABC的中线，所以SACD=SABC=2=1，又因CD是ACE的中线，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中线，所以SCDF=SCDE=1=。CDF的面积为（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。BGE=CHE。连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，ME是BCD的中位线，MEC

13、D，MEF=CHE，MF是ABD的中位线，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。（三）、由中线应想到延长中线例3图4，已知ABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=22=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，从而BE=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD=，故BC=2BD=2例4如图5，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。ABC是等腰三角形。延长AD到E，使D

14、E=AD。仿例3可证：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质例5如图6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtABD，RtABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6如图7，

15、ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底边CF的中线。（六）中线延长题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。例一：如图4-1：AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：廷长ED至M，使DM=DE，连接

16、CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD（中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90EDF=90FDM=EDF=90在EDF和MDF中EDF=FDM（已证）DF=DF（公共边）EDFMDF（SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在CMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）EF上题也可加倍FD，证法同上。当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图5-1：AD为ABC的中线，求证：2AD。要证AB+AC2AD，由图

17、想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CEAD为ABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在ACD和EBD中BD=CD（已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）1 如图，AB=6，AC=8，D为BC 的中点，求AD的取值范围。2 如图，AB=CD，E为BC的中点，BAC=BCA，求证：AD=2AE。3 如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，BAC=DAE=90AMDC。4，已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。5已知：如图AD为ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC