垂直平分线+角平分线+综合应用.docx

1、垂直平分线+角平分线+综合应用垂直平分线角平分线综合应用解答题(共30小题)1. 如图，已知/ BAC=90,ADL BC于点D, /仁/ 2,EF/ BC交AC于点F.试说明AE=CF .2如图，四边形 ABCD中, Z B=90, AB/ CD M为BC边上的一点，且 AM平分/ BAD DM平分/ ADC求证：(1) AML DM3. 已知：如图，D是等腰 ABC底边BC上一点，它到两腰AB AC的距离分别为DE DF,当D点在什么 位置时，DE=DF并加以证明.4. 如图，Z B=Z C=90，DE平分Z ADC AE平分Z DAB求证：E是BC的中点.5. 如图在厶 ABC中Z C=

2、9C，AC=BC AD平分Z CAB DEI AB 于 E,若 AB=6cm 求厶 DEB的周长.6. 如图，AD为/ BAC的平分线，DFLAC于 F,Z B=90, DE=DC 试说明：BE=CFAEDCEDEI AB 于点 E, DFL AC 于点 F,且 Smb=7, DE=2 AB=4 求 AC 的长.8. 如图，/ ABC=60,点 D在 AC上，ED=6 DEL BC, DF丄 AB,且 DE=DF 求:(1) Z ABD的度数；(2) DB的长度.9. 如图.已知 AD/ BC, DCLAD, / BAD的平分线交CD于点E ,且点E是CD的中点.问:(1) 点E在/ ABC的

3、平分线上吗？(2) AD+B(与 AB的大小关系怎样？请证明.10. 如图,四边形 ABC中, / B=Z C=90, E是BC的中点,DE平分/ ADC(1) 求证：AE平分/ BAD(2) 判断AB CD AD之间的数量关系，并证明；(3) 若 AD=10 CB=8 求压ade.11. 如图，BD平分/ ABC交 AC 于点 D, DEL AB 于 E, DF丄 BC 于 F, AB=6 BC=8 若 Sb=28,求 DE 的长.12. 如图，在 ABC中，/ ACB=90 , BE平分/ ABC交AC于E, DE垂直平分 AB于D,13. 已知：如图，人。是厶ABC的角平分线，DEIAB

4、于点E, DFLAC于点F, BE=CF求证：AD是BC的中/ C=90, AB边的垂直平分线 DE交BC于点E,垂足为D.求证：/ CAB AED15.如图，在 ABC中, DM EN分别垂直平分 AC和BC,交AB于M N两点，DM与 EN相交于点F.(1) 若厶CMN的周长为15cm 求AB的长；(2) 若/ MFN=7Q求/ MCN勺度数.16如图， ABC中，BD平分/ ABC BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.(1) 若/ A=60, / ABD=24,求/ ACF的度数；(2) 若 BC=5 BF: FD=5 3, SbcF=10，求点 D到 AB的距离.17.

5、已知：如图，在 ABC中，/ BAC=120,若PM QN分别垂直平分 AB AC(1) 求/ PAQ的度数；(2) 如果BC=10cm求厶APQ的周长.18. 电信部门要修建一座电视信号发射塔 P,按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等, 到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔 P的位置.(尺规作图，不写作法，保19. 如图：。丘是厶ABC中 AC边的垂直平分线，若 BC=8米，AB=10厘米，求 EBC的周长.20如图， ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGL CE点G为垂足.(1) 说明：DC=BE(2) 若/ AEC=72,求/ BCE的

6、度数.21 如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC(1) 若/ BAC=105,求/ PAQ的度数;(2) 若/ PAQ=25,求/ BAC的度数.AE! BE于点 E，且 BE丄二.41求证：AB平分/ EAD/ BDF2 ADE24. 如图，在 ABC中, AB=AC点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC，AD，AB于点E，O, F.(1) 求证：点O在AB的垂直平分线上；(2) 若/ CAD=20,求/ BOF的度数.25. 如图1, Rt ABC中AB=AC点D E是线段AC上两动点，且 AD=EC AM垂直BD 垂足为 M AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交

7、于点F.试判断 DEF的形状，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要 求至少写3步）;（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知 条件，完成你的证明.1、画出将 BAD召BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形;2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC/ KN如图2）.试判断 DEF勺形状，并说明理由.B N C附加题：如图3,若点D E是直线AC上两动点，其他条件不变,馴 圉226. 如图，以 ABC的边AB AC为直角边向外作等腰直角 ABEft ACD M是BC的中点，请你

8、探究线段DE与AM之间的关系.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要 求至少写3步）;（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证 明.画出将厶ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形;/ BAC=90 （如图）附加题：如图，若以 ABC的边AB AC为直角边，向内作等腰直角 ABE和 ACD其它条件不变，试 探究线段DE与 AM之间的关系.B E27. 如图，在 Rt ABC中，/ C=90, / A=60, AB=12cm若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运 动，点Q从A点出发以1cm/秒

9、的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒.解 答下列问题：(1) 用含t的代数式表示线段AP, AQ的长；(2) 当t为何值时厶APC是以PQ为底的等腰三角形？(3) 当t为何值时PQ/ BC?C28. 如图， ABC中，/ C=RtZ, AC=8cm BC=6cm若动点P从点C开始，按CABC的路径运动, 且速度为每秒2cm设运动的时间为t秒.(1) 当t为何值时，。卩把厶ABC的周长分成相等的两部分.(2) 当t为何值时，。卩把厶ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时 CP的长；(3) 当t为何值时， BCP为等腰三角形？29. 如图，在 ABC中，/ ACB=90

10、, AC=6cm BC=8cm动点P从点C出发，按C BA的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒.(2) t为何值时，线段AP是/ CAB勺平分线？(3) 请利用备用图2继续探索：当t为何值时， ACP是以AC为腰的等腰三角形？(直接写出结论)30. 如图， ABC中, AB=ACZ BZ C的平分线交于 O点，过O点作EF/ BC交AB AC于E、F.试 回答：(1) 图中等腰三角形是 .猜想：EF与BE、CF之间的关系是 .理由：(2) 如图，若A盼AC,图中等腰三角形是 .在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？(3) 如图，若厶ABC中/ B的平分线BO与三角形外角

11、平分线CO交于O,过O点作OE/ BC交AB于E， 交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗？ EF与BE CF关系又如何？说明你的理由.垂直平分线 角平分线 综合应用_2017年03月11日的初中数学组卷参考答案与试题解析一 解答题（共30小题）1. （2016?海淀区校级模拟）如图，已知/ BAC=90, AD丄BC于点D,Z仁/ 2, EF/ BC交AC于点F.试说明AE=CF BD C【分析】作EFU AB于H,作FGL BC于 G,根据角平分线的性质可得 EH=ED再证ED=FG则EH=FG通过证明 AEH CFG即卩可.【解答】解：作EH! AB于 H,作FG1BC于G,vZ 仁/ 2

12、, ADLBC, EH=E（角平分线的性质）v EF/ BC, ADL BC, FG丄 BC,四边形EFGD!矩形, ED=FG EH=FGvZ BADZ CAD=90, Z C+Z CAD=90,Z BADZ C,又vZ AHEZ FGC=90, AEHm CFG（ AAS AE=CF【点评】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判 定等知识点.2. （2016秋？宁江区期末）如图,四边形 ABC冲,Z B=90 , AB/ CD M为BC边上的一点,且 AM平分Z BAD DM平分Z ADC求证：(1) AML DM【分析】（1）根据平行线的性质得

13、到/ BAD# ADC=18Q根据角平分线的定义得到/ MAD乂 ADM=9Q根 据垂直的定义得到答案；（2）作NMLAD，根据角平分线的性质得到 BM=MNMN=CM等量代换得到答案.【解答】解：（1）v AB/CD/ BAD# ADC=180, AM平分# BAD DM平分# ADC 2# MAD+# ADM=18Q# MAD#ADM=9Q# AMD=9即 AML DM（2）作 NML AD交 AD于 N,# B=90 , AB/ CD BML AB, CML CD AM平分# BAD DM平分# ADC bm=mnmn=cm BM=CM即M为BC的中点.【点评】本题考查的是角平分线的性质

14、，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等 是解题的关键.3. （2016春?济南校级期末）已知：如图,D是等腰 ABC底边BC上一点,它到两腰AB AC的距离分别为DE DF,当D点在什么位置时，DE=DF并加以证明.【分析】当D为AB的中点时，AD为等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形的 / A的平分线，又DEL AB, DF丄AC根据角平分线的性质可证 DE=DF【解答】解：当D为BC的中点时，DE=DF理由： AD为等腰三角形底边上的中线， AD平分/ BACXv DEL Ab DFL AC三线合一 ”可知AD为 DE=DF【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性

15、质关键是运用等腰三角形的 三线合一”解题.（2016春？沐阳县期末）如图，/ B=Z C=90, DE平分/ ADC AE平分/ DAB求证：E是BC的中点.【分析】过点E作EFLAD根据角平分线上的点到角的两边距离相等即刻得到结论.【解答】证明：过点E作EFLAD于 F，v/ B=Z C=90，CD! BC, AB丄 BCv DE平分/ ADC AE平分/ DAB CE=DF EF=BE CE=BE E是BC的中点.D C【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质， 熟记性质并作出辅助线是解题的关键.5. （2016春?潜江校级期中）如图在 ABC中/C=90, AC=BC A

16、D平分/ CAB DEI AB于E,若AB=6cm 求厶DEB的周长.【分析】利用角平分线的性质求得 AE=AC CD=DE然后利用线段中的等长来计算厶 DEB的周长.【解答】 解：I/ C=90, AD 平分/ CAB 交 BC于 D, DEL AB于 E, AC=AE CD=DE AC=BC/ B=45, BE=DE DEB的 周长=BE+DE+BD=BE+AC=AB=6cm【点评】本题考查了三角形的全等的性质；解题的关键是利用角平分线的性质求得 AE=AC CD=DE要学会进行线段的等效转移.6. （2016秋？监利县校级期中）如图， AD为/ BAC的平分线，DFLAC于F,/ B=9

17、0, DE=DC试说明：BE=CFA【分析】先由角平分线的性质就可以得出 DB=DF再证明 BDEA FDC就可以求出结论.【解答】解：B=90, BDL AB. AD为/ BAC勺平分线，且 DF丄AC, DB=DF在 Rt BDE和 Rt FDC中, fDE=DC DE=EF Rt BD專 Rt FDC（ HL）, BE=CF【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.7. （2016秋？红安县期中）如图，人。是厶ABC的角平分线，DEIAB于点E, DF丄AC于点F,且 &ab=7,DE=2 AB=4 求 AC的长.【分析】根据角平分

18、线性质求出DF,根据三角形面积公式求出 ABD的面积，求出 ADC面积，即可求 出答案.【解答】解：ABC的角平分线,DEL AB DF丄AC于点F , DE=DF=2 ADC的面积为 7-4=3,丄ACX DF=3riJ -ACX 2=3, AC=3【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.8. （2016 春?毕节市校级期中）如图，/ ABC=60,点 D在 AC上, ED=6 DELBC, DFLAB,且 DE=DF 求:（1）Z ABD的度数；（2） DB的长度.E C(2)在直角三角形BFD中,vZ DBC丄/ ABC丄X 6030

19、2 2I DE=5 BD=2DE=12【点评】本题考查了角平分线的性质以及含 直角边等于斜边的一半.30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中,含 30角的9. 且点E是CD（2016秋？东胜区校级月考）如图.已知 AD/ BC，DCLAD Z BAD的平分线交CD于点E 的中点问：（1） 点E在Z ABC的平分线上吗？（2） AD+B（与 AB的大小关系怎样？请证明.【分析】(1)连结BE,作EHLAB于H,如图，利用角平分线的性质得 ED=EH而ED=EC则EC=EH然 后根据角平分线的判定方法即可得到 BE平分/ ABC(2)利用 HL可证明 Rt ADERt AHE得至U AD=AH

20、同样可证明 Rt BCERt BHE得至U BC=BH 于是 有 AD+BC=AH+BH=AB【解答】解：(1)连结BE作EHL AB于H,如图， AE平分/ BAD EDLAD, EH! AB ED=EH点E是CD的中点， ED=EC EC=EH而 AD/ BC, DCL AD ECL BC, BE平分/ ABC即点E在/ABC的平分线上；(2) AD+BC=AB理由如下：在 Rt ADE和 Rt AHE中AE=AEI. EWEH Rt ADE Rt AHE AD=AH同样可证明Rt BCERt BHE BC=BH AD+BC=AH+BH=AB【点评】本题考查了角平分线：角的平分线上的点到角

21、的两边的距离相等；至蛹的两边的距离相等的点 在这个角的角平分线上也考查了全等三角形的判定与性质.10. (2016秋？襄城区月考)如图，四边形 ABCD中，/ B=Z C=90, E是BC的中点，DE平分/ ADC(1) 求证：AE平分/ BAD(2) 判断AB CD AD之间的数量关系，并证明；(3) 若 AD=10 CB=8 求压ade.【分析】(1)过点E作EF丄DA于点F,首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CE=EF根据等量代换可得BE=EF再根据角平分线的判定可得AE平分/ BAD(2) 首先证明Rt DFE和 Rt DCE可得DC=DF同理可得AF=AB再由AD=A

22、F+D利用等量代换可得结 论；(3) 根据角平分线的性质可得 EF=CE再利用三角形的面积公式可得答案.【解答】(1)证明：过点E作EF丄DA于点F，vZ C=90, DE平分/ ADCCE=EFv E是BC的中点， BE=CE BE=EF又 vZ B=90，EFAD, AE平分Z BAD(2)证明：AD=CD+AD vZ C=Z DFE=90,在 Rt DFE和 Rt DCE中一八l.EF=CE Rt DFE和 Rt DCE(HL), DC=DF同理AF=ABv AD=AF+D,F-AD=CD+AD(3)解CB=8 E是BC的中点,CE=4 EF=4 AD=10- Sad=10 X 4 X

23、丄=20.【点评】此题主要考查了角平分线的性质和判定，以及全等三角形的性质和判定，关键是掌握角平分线 的性质和判定定理.11. （2016秋？黄冈校级月考）如图,BD平分/ ABC交AC于点D, DEL AB于E, DF丄BC于F, AB=6 BC=8若SmbC=28，求DE的长.【分析】根据角平分线性质得出DE=DF根据三角形的面积公式得出关于 DE的方程，求出即可.【解答】 解：BD平分/ ABC交AC于点D, DEL AB, DFL BC, DE=DF-Sab=28 , AB=6 BC=8 DE=DF=4【点评】本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出 DE=DF是解此题的关

24、键.12. （2016?历下区一模）如图,在厶 ABC中,/ ACB=90 , BE平分/ ABC交AC于E, DE垂直平分 AB于D【分析】根据角平分线性质得出CE=DE根据线段垂直平分线性质得出 AE=BE代入AC=AE+C求出即可.【解答】证明：I/ ACB=9 ACL BC, EDLAB, BE平分/ ABCCE=DE/ DE垂直平分AB AE=BE AC=AE+CE BE+DE=AC【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段 两个端点的距离相等.13. （2016?萧山区二模）已知：如图,人。是厶ABC的角平分线,DEL AB于点E ,

25、 DFL AC于点F, BE=CF求证：AD是BC的中垂线.【分析】由ADg ABC勺角平分线,DEL AB DFL AC,根据角平分线的性质,可得DE=DF/ BED/ CFD=9 继而证得Rt BE医Rt CFD则可得/ B=/ C,证得AB=AC然后由三线合一,证得AD是BC的中垂线.【解答】证明：ADgA ABC的角平分线，DEI AB DFL AC, DE=DF / BED/ CFD=9在 Rt BED和 Rt CFD中 ,ZBED=ZCFD,be=cf Rt BE医 Rt CFD( SAS,/ B=Z C, AB=AC AD是 ABC的角平分线， AD是 BC的中垂线.【点评】此题

26、考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质.注意掌握三线合一性质的应用.14. (2016?怀柔区一模)如图，在Rt ABC中, / C=90, AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求证：/ CAB2 AED【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 AE=BE再由直角三角形的性质即可得出结论.【解答】证明：DE是线段AB的垂直平分线， AE=BEZ ADE=90,/ EABW B.在 Rt ABC中,vZ C=90o,/ CABZ B=90.在 Rt ADE中,vZ ADE=90,Z AED-Z EAB=90,Z CABZ AED【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知

27、线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.15. (2016秋？农安县期末)如图，在 ABC中, DM EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M N两点，DM 与EN相交于点F.(1) 若厶CMN的周长为15cm 求AB的长；(2) 若Z MFN=70,求Z MCN勺度数.【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AM=CMBN=CN然后求出厶CMN的周长=AB（2）根据三角形的内角和定理列式求出/ MNF# NMF再求出/ A+Z B,根据等边对等角可得/ A=Z ACM / B=Z BCN然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【解答】解：

28、（1）v DM EN分别垂直平分AC和 BC, AM=CMBN=CN CMN的 周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB CMN的 周长为 15cm AB=15cm(2)vZ MFN=7Q Z MNFZ NMF=180- 70110 ,vZ AMDZ NMF Z BNEZ MNF Z AMDZ BNEZ MNFZ NMF=11Q Z A+Z B=90 -Z AMD+90-Z BNE=180- 11070 ,vAM=CMBN=CN Z A=Z ACM Z B=Z BCN Z MCN=18 2 (Z A+Z B) =180-2X 7040.【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的

29、距离相等的性质，等边对等角的性质，三角 形的内角和定理，(2)整体思想的利用是解题的关键.16. (2016春?雁塔区校级期末)如图, ABC中 , BD平分Z ABC BC的中垂线交BC于点E,交BD于点 F,连接CF.(1) 若Z A=60, Z ABD=24,求Z ACF的度数；(2) 若 BC=5 BF: FD=5 3 , Sabc=10,求点 D到 AB的距离.【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 FB=FC根据角平分线的定义得到/ CBA=4根据三角形 内角和定理计算即可；（2）根据三角形的面积公式求出 DG根据角平分线的性质解答即可.【解答】解：（1）v BD平分/ ABC/ CBA=Z CBD=Z ABD=48,/ ACB=180- 60 - 4872