国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务16试题及答案Word文件下载.docx

1、A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在1001000字答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟

2、练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂

3、的。至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。形考任务2初等积分法中的方程可积类型的判断（1）题目1答：（一阶线性非齐次微分）方程.题目2答：（可降阶的高阶）方程题目3答：（

4、克莱洛）方程题目4答：（伯努利）方程题目5答：（一阶线性非齐次微分）方程题目6答：（恰当导数）方程题目7答：（变量可分离）方程题目8答：（一阶隐式微分）方程题目9答：（全微分）方程题目10答：（齐次微分）方程形考任务3常微分方程学习活动3第一章初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界

5、面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。一、填空题1微分方程是二阶微分方程2初值问题的解所满足的积分方程是3微分方程是一阶线性非齐次微分方程（就方程可积类型而言）4微分方程是全微分方程（就方程可积类型而言）5微分方程是恰当倒数方程（就方程可积类型而言）6微分方程的所有常数解是7微分方程的常数解是8微分方程的通解为9微分方程的通解是.10一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线二、计算题1指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1）答：一阶，非线性（2）四阶，线性（3）三阶，非线性2用分离变量法求解下列方程：（2）（3）2（1）解通积分为

6、（2）解当时，分离变量，两端取积分得即通积分为另外，是常数解，注:在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。（3）解当时,方程可变为，通积分为或,上式代入初值条件.得.于是初值问题解为.3解下列齐次线性微分方程（1）（1）解显然是方程的解.当时,原方程可化为.令,则原方程可化为,即易于看出,是上面方程的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得（C）将换成,便得到原方程的解,（C）.故原方程的通解为（为任意常数）及.（2）解显然是方程的解.当时,原方程可化为.令,则原方程可化为,即易于看出,是上式的解,从而是原方程的解.当时,分离变量得,.两端积分得（C）.

7、将换成,便得到原方程的解（C）.故原方程的通解为.4解下列一阶线性微分方程：（1）解先解齐次方程.其通解为.用常数变易法,令非齐次方程通解为.代入原方程,化简后可得.积分得到.代回后即得原方程通解为.（2）解先解齐次方程.其通解为.用常数变易法,令非齐次方程通解为.代入原方程,化简后可得.积分得到.代回后即得原方程通解为.5解下列伯努利方程（1）（1）解显然是方程解.当时,两端同除,得.令,代入有它的解为于是原方程的解为，及（2）解显然是方程解.当时,两端同除,得.令,代入有它的解为，于是原方程的解，及6解下列全微分方程：（1）解因为,所以这方程是全微分方程,及在整个平面都连续可微,不妨选取.

8、故方程的通积分为,即.（2）解因为,所以这方程是全微分方程,及在整个平面都连续可微,不妨选取.故方程的通积分为,即.7求下列方程的积分因子和积分：（1）解因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.由公式（1.58）得积分因子，即于是方程为全微分方程.取.于是方程的通积分为.即.（2）解因为,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.解方程由公式（1.58）得积分因子，即于是方程为全微分方程.取.于是通积分为.即.8求解下列一阶隐式微分方程（1）（1）解将方程改写为即或解得通积分为：,又是常数解.（2）解显然是方程的解.当时,方程可变为,令,则上面的式子可变为.解出u得,.即.对上式两端积分得

9、到方程的通解为9求解下列方程（1）（1）解令,则.代入原式得.解出得.这是克莱洛方程，通解为.即.解之得（为任意常数）.（2）解化简得，即求积分得.三、证明题1设函数，在上连续，且，（a,b为常数）求证：方程的一切解在上有界2设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有1证明设y=y（x）是方程任一解，且满足y（x0）=y0,则由于，所以对任意0,存在x0,使得x时有令，则于是得到又在x0，x1上y（x）有界设为M2，现取，则2证明设是方程任一解，满足，该解的表达式为取极限=四、应用题1按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比,已知空气温度为,而物体在15分钟内由冷却到

10、,求物体冷却到所需的时间.2重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：（1）物体运动的微分方程；（2）求5s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度1解设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题其中为常数解得设物体冷却到40所需时间为，于是由得解得52分钟.2解取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设时刻速度为,距离为,由题意满足初值问题解得再由解得于是得到5秒后，,形考任务4常微分方程学习活动4第二章基本定理的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综

11、合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握要求：一、填空题1.方程的任一非零解不能与x轴相交2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分条件3.方程+ysinx=ex的任一解的存在区间必是（-,+）4一阶显式方程解的最大存在区间一定是开区间5方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面6方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面7方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面8方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是-，（或不含x轴的上半平面）9方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面10一个不可延展解的存在在区间一定开区间二

12、、计算题1判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？1解（1）因为及在整个平面上连续,且满足存在唯一性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.（2）因为及在整个平面上连续,且满足存在唯一性定理条件,所以在整个平面上,初值解存在且唯一.2讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件并求通过的一切解2.解因为方程在整个平面上连续,除轴外,在整个平面上有界,所以除轴外在整个平面上都满足定理2.1的条件.而后分离变量并积分可求出方程的通解为其中另外容易验证是方程的特解.因此通过的解有无穷多个,分别是:3判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解（1）3解（1）因为在半平面上连续,当时无界,

13、所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程无奇解.（2）因为在的区域上连续,当时无界,所以如果方程有奇解,则奇解只能是显然是方程的解,是否为奇解还需要进一步讨论.为此先求出方程的通解由此可见对于轴上点存在通过该点的两个解:及故是奇解.三、证明题1试证明：对于任意的及满足条件的，方程的解在上存在2设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程的任一解在区间上有定义3设在区间上连续试证明方程的所有解的存在区间必为4在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为5假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解求证：若，则在区间I上必有成

14、立6设是方程的非零解，其中在上连续求证：当时，必有7设在上连续可微，求证：对任意的，方程满足初值条件的解必在上存在8证明：一阶微分方程的任一解的存在区间必是1证明首先和是方程在的解.易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件.现在考虑过初值（）的解,根据唯一性,该解不能穿过直线和.因此只有可能向左右两侧延展,从而该初值解应在上存在.2证明不妨设过点分别作直线和.设过点的初值解为.因为,故在的某一右邻域内,积分曲线位于之下,之上.下证曲线不能与直线相交.若不然,使得且,但由拉格郎日中值定理,使得.矛盾.此矛盾证明曲线不能与直线相交.同理可证,当时,它也不能与相交.故当时解曲线位于

15、直线,之间.同理可证,当时,解曲线也位于直线,之间.由延展定理,的存在区间为。3证明由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件显然是方程的两个常数解任取初值，其中,记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾故该解的存在区间必为4证明由已知条件可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾因此解的存在区

16、间必为5证明仅证方向，（反之亦然）假设存在，使得（=不可能出现，否则与解惟一矛盾）令=-，那么=-0，=-0由连续函数介值定理，存在，使得=-=0即=这与解惟一矛盾6证明由已知条件知方程存在零解该方程满足解的存在惟一性定理条件设是方程的一个非零解，假如它满足，由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾7证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理又是该方程的两个常数解现取，记过点的解为一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越，否则将破坏解的惟一性因此，该解只能在区域内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是8证明方程在全平面上满

17、足解的存在唯一性定理的条件，又是方程的常数解对平面上任取的若则对应的是常数解其存在区间显然是若）则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是四、应用题1求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在轴上的截距之和为12求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数1解首先,由解析几何知识可知,满足的直线都是所求曲线.设（x,y）为所求曲线上的点，（X,Y）为其切线上的点,则过（x,y）的切线方程为.显然有此处a与b分别为切线在Ox轴与Oy轴上的截距.故.解出y,得到克莱洛方程,通解为所以,即为所求曲线方程.2解设（x,y）为所求曲线上的点,（X,Y

18、）为其切线上的点,则过（x,y）的切线方程为.显然有此处a与b分别为切线在Ox轴与Oy轴上的截距.故,即.解出得故曲线的方程为消去即的曲线方程为.形考任务5题目1方程过点（0,0）的积分曲线（）选择一项：A.有无穷多条B.有惟一一条C.不存在D.只有二条题目2方程在xoy平面上任一点的解都（）选择一项：A.与x轴相交B.是惟一的C.与x轴相切D.不是惟一的题目3方程的所有常数解是（）选择一项：题目4方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是（）.选择一项：A.y0的上半平面B.全平面C.除去x轴的全平面D.y0的下半平面题目5方程过点（0,0）的解为，此解的存在区间是（）.选择一项：题目6若A（x

19、）,F（x）0在（-,+）上连续，那么线性非齐次方程组,的任一非零解（）选择一项：A.不可以与x轴相交B.构成一个n维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.可以与x轴相交题目7n维方程组的任一解的图像是n+1维空间中的（）选择一项：A.n条曲线B.一条曲线C.n个曲面D.一个曲面题目8方程的任一非零解在平面上（）零点选择一项：A.只有一个B.只有两个C.无D.有无穷多个题目9三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间选择一项：A.3维B.2维C.4维D.1维题目10用待定系数法求方程的非齐次特解时，应设为（）选择一项：形考任务6常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方

20、程的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握要求：一、填空题1若A（x）在（-,+）上连续，那么线性齐次方程组，的任一非零解在空间不能与x轴相交2方程组的任何一个解的图象是n+1维空间中的一条积分曲线3向量函数组Y1（x）,Y2（x）,Yn（x）线性相关的必要条件是它们的朗斯期行列式W（x）=04线性齐次微分方程组，的一个基本解组的个数不能多于n+1个5若函数组在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式在区

21、间上恒等于零6函数组的朗斯基行列式是7二阶方程的等价方程组是8若和是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们没有共同零点9二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）10阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N个11在方程y+p（x）y+q（x）y=0中，p（x）,q（x）在（-,+）上连续，则它的任一非零解在xOy平面上可以与x轴横截相交12二阶线性方程的基本解组是13线性方程的基本解组是14方程的所有解构成一个2维线性空间15n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个n维线性空间二、计算题1将下列方程式化为一阶方程组（1）1（1）解，（2）解2求

22、解下列方程组：解方程组的系数阵为特征方程为：det（A-E）=，其特征根为.当时,，其中a,b满足（A-E）=0,则有a+b=0取a=1,b=1,则得一特解同理,当时，所以方程组的解为（2）解方程组的系数阵为.特征方程为:det（A-E）=特征根为.当时,其中a,b满足（A-E）=0,故有即.取，于是方程组对应于=故特征根所对应的实解为=,=所以方程组的解为=3求解下列方程组：（1）解方程组的系数阵为.特征方程为:det（A-E）=特征根为当时,其中a,b满足（=0,即第一个方程有令，则于是由解得通解=.（2）解系数阵为特征方程为:det（A-E）=.特征根为.通解解为.4求解下列方程组：4解

23、方程组的系数阵为，其特征方程为：det（A-E）=.特征根为,方程组有如下形式的解:代入原方程组有消去得令,则令,则所以方程组的解为（2）解首先求出相应齐次线性方程组的通解.对应齐次方程的系数阵为.其特征方程为：det（A-E）=.特征根为当时，其中a,b满足（A-E）=0,则有ab=0取a=b=1,则得一特解同理,当时，所以对应齐次线性方程组的通解为然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.将代入原方程组，得解得.原方程组的特解为所以原方程组的通解为5已知方程的一个解，求其通解5解由通解公式，6试求下列n阶常系数线性齐次方程的通解（1）6（1）解特征方程为:特征根为:。它们对应的解为:方程通

24、解为:.（2）.7试求下述各方程满足给定的初始条件的解：（1），（2），7（1）.特征根为:，方程通解为:由初始条件有:,解得.所以方程的初值解为:.（2）解特征方程为:.8求下列n阶常系数线性非齐次方程的通解：8（1）解由于，故齐次方程的通解为.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.将它代入原方程，得,，所求通解为.（2）解由于，.因为不是特征根，故已知方程有形如的特解将上式代入原方程，可得，所求通解为.三、证明题1设矩阵函数，在（a,b）上连续，试证明，若方程组与有相同的基本解组，则2设在方程中，在区间上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间上严格单调函数3试证

25、明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数1证明设为基本解矩阵,因为基本解矩阵是可逆的,故有于是.2证明设w（x）是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式，则且有，.又因为在区间上连续且恒不为零,从而对,或,所以,在上恒正或恒负,即w（x）为严格单调函数.3证明设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为，且，所以有.四、应用题1一质量为m的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。解设液体的反作用与质点速度的比例系数为则指点的运动满足方程：即则（*）所对应的齐次方程的通解为：又是齐次方程的特征根,故特解形式为：代入（*）式得：所以由得故