动态规划矩阵连乘算法Word文件下载.docx

1、 35*15; 15*5; A4: 5*10; A5:10*20; A6: 20*25递推关系：设计算1 i j,弓所需要的最少数乘次数贝V原问题的最 优值为ml, no当 i=j 时，Ai： j二Ai,因此,二0 , i二 1,2,n当ij时，若Ai: j的最优次序在Ak和Ak+1之间断开9 i=kj,则:mi j二mi k+mk+l j+p /pkpjo由于在计算是并不知道断开点 k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个 位置使计 算量达到最小的那个位置。综上，有递推关系如下:护幺丿二卜甲门删丄幻+觀比+lj+p 口屍卩 /using n amespace

2、 std;const int L = 7;int RecurMatrixChai n（int i, i nt j, i nt *s, i nt *p） ;/ 递归求最优解void Traceback（i nt i, i nt j, i nt *s） ;/ 构造最优解int mai n（）int pL二30, 35, 15, 5, 10, 20, 25;int = new int *L;for（i nt i二0;iL;i+）si = new in tL;coutvv 矩阵的最少计算次数为: /zvvRecurMatrixChain（1, 6, s, p）endl;矩阵最优计算次序为：endl;T

3、raceback（l, 6, s）;return 0;int RecurMatrixChai n（int i, i nt j, i nt *s,i nt *p）if （i=j） return 0;int u = RecurMatrixChain（i, i, s, p）+RecurHatrixChdin（i+l, j, s, p）+piT*pi*pj; sij = i ;for （int k二i+1; kvj; k+）int t = RecurMatrixChai n（ i, k, s, p） + RecurMatrixChai n（k+l, j, s, p） + piT*pk*pj;if（tv

4、u）u二 t;si j=k;）return u;void Traceback（i nt i, i nt j, i nt *s）if（i=j） return;Traceback（i, si j, s）;Traceback（si j+l, j, s）;coutvv/zMultiply Avvivv, vvsi j; and Avv（sij+l）vv, vvjvve ndl;1.用算法RecurMatrixChain（1, 4, s, p）计算al:4的计算递归树女口 下图所示：3.4.从上图可以看出很多子问题被重复运算。可以证明，该算法的计算时间T（n）有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句为常数

5、时间，则由算法的递归部分可得关于 T（n）的递归不等式:RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。3、备忘录递归算法录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解 的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇 至此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以 后查看。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，贝y表示该子 问题已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时从记 录项中取出该子问题的解 答即可，而不必重新计算。 3dl-2矩阵连乘备忘录递归实现 p0-6 = 30,

6、35, 15, 5, 10, 20, 25stdafx. h#in elude int LookupCha in （i nt i,i nt j, i nt *m, i nt *s,i nt *p）;int MemoizedMatrixChai n（int n, i nt *m, i nt *s, i nt *p）;void Traceback（i nt i, i nt j, i nt *s）; 构造最优解in t pL = 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25;int *s = new int * L ; int *m 二 new int *L; for （i nt i=0; i

7、L; i+） si = new in tL ; m_i二 new in t L;cout，z矩阵的最少计算次数为： MemoizedMat:rixChain（6, m, s, p） 矩阵最优计算次序为：z/:int MemoizedMatrixChain（int n,int *m, int *s,int *p）ford nt i=l; i二 n; i+）for（int j二1; j0）return mijj; if （i=j）int u 二 LookupChain（i, i, m, s, p） + LookupChain（i+1, j, m, s, p）+piT*pi*pj ; sij=i;

8、for （int k=i+l; kj;int t = LookupChain（i, k, m, s, p） + LookupChain（k+1, j, m, s, p） + pi一 1*pk*pj; if （tu）u=t;si j = k;mi j = u;void Traceback（int i, int j, int *s）if （i=j） teturn;cout，zMultiply A，i/, j;，? and A，z （s i j +1） z，, /z0,则表不其中存 储的是所耍求子问题0（n八3）,将直接递归算法的计算时间从 2怙降至0（n八3）。3、动态规划迭代实现用动态规划迭代方

9、式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在 后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时 间的算法。 3dl-2矩阵连乘动态规划迭代实现include const int L 二 7;int MatrixChai n（int n,i nt *m， i nt *s,i nt *p）;int *s = new int *L;int *m 二 new int *L;for（int i二0;sij 二 new intL;mi = new int L;，z 矩阵的最少计算次数为:，zMatrixChai

10、n（6, m, s, p） int MatrixChain（int n,int *m, int *s,int *p）for （int i=l;mij Li = 0;for （int r=2; r r+） /r为当前计算的链长（子问题规模）for（int i=l;=n-r+l; i+）/nr+l 为最后一个 r 链的前边界int j = i+r-1;/计算前边界为r ,链长为r的链的后边界mi j = mi+l j + piT*pi*pj ;/ 将链 ij 划分为 A（i）sij = i；for（int k=i+l;将链 ij 划分为（Ai:k ）* （Ak+l:j）int t = mi k +

11、 mk+l j + piT*pk*pj;if （tmi j）mi j二 t;sij = k;return ml LT;Traceback（i, s i Lj, s）;，z and （s i j+1）j上述迭代算法的运行过程如下图所示：Al A2 A3 A4 A5 42R曲员如图所示:当R二2时，先迭代计算出：ml:2=ml:l+m2:2+p0*pl*p2;m2:3=m2:2+m3:3+pl*p2*p3;m3:4=m3:3+m44+p2*p3*p4;m4:5二m4:4+m5 5+p3*p4*p5;m5:6 =m5 5 +m6 +p4*p5*p6的值；当R=3时,迭代计算出：3=mi n（ ml: l+m2:3+p0*pl*p3, ml :3+p0*p2 *p3）；4=mi n（m2:4+pl*p2*p4, m2:3+m4:4+pl*p3*p4）；6二mi n（ m4:4+m5:6+p3*p4*p6, m4:5+m6:6+p3*p5 *p）;依次类推，根据之前计算的Hl值，迭代计算最优解。与备忘录方法 相比，此方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子问题中的部分子问题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结 构可以看出，该方法只解那