线性代数复习提纲Word文件下载.docx

1、写出二次型矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式定义用n2个元素aij组成记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能取自不同行不同列n个元素乘积代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式计算一阶|=行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n=3）行列式计算：降阶法定理：n阶行列式值等于它任意一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积和。方法：选取比较简单一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式值等于主对角线上元素乘积；（2）行列式值为0几种情况：行列式某

2、行（列）元素全为0；行列式某行（列）对应元素相同；行列式某行（列）元素对应成比例；奇数阶反对称行列式。二矩阵1矩阵基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵运算（1）加减、数乘、乘法运算条件、结果；（2）关于乘法几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若ABBA，称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩阵秩（1）定义非零子式最大阶数称为矩阵秩；（2）秩求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵初等变换不改变矩阵秩；阶梯形矩阵秩等于非零行个数（每行第一个非零元所在列，从此元开始往下

3、全为0矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若ABBAI，称A可逆，B是A逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：（AB）-1=（B-1）*（A-1），（A）-1=（A-1）；（A B逆矩阵，你懂）（注意顺序）（3）可逆条件： |A|0；r（A）=n; A-I;（4）逆求解伴随矩阵法A-1=（1/|A|）A*；（A* A伴随矩阵）初等变换法（A:I）-（施行初等变换）（I:A-1） 5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A-1）B；XB=A，则X=B（A-1）；AXB=C，则X=（A-1）C（B-1）三、线性方程组1线性方程组解判定

4、定理：（1） r（A,b）r（A） 无解；（2） r（A,b）=r（A）=n 有唯一解；（3）r（A,b）=r（A）n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0（1） r（A）=n 只有零解；（2） r（A）n 有非零解；再特别，若为方阵，（1）|A|0 只有零解（2）|A|=0 有非零解2齐次线性方程组（1）解情况：r（A）=n，（或系数行列式D0）只有零解；r（A）n，（或系数行列式D0）有无穷多组非零解。（2）解结构：X=c11+c22+Cn-rn-r。（3）求解方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解

5、系；写出通解。3非齐次线性方程组利用判定定理。X=u+c11+c22+Cn-rn-r。（3）无穷多组解求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1N维向量定义注：向量实际上就是特殊矩阵（行矩阵和列矩阵）。2向量运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积=a1b1+a2b2+anbn；（3）向量长度|=（a12+a22+an2） （ 根号）（4）向量单位化（1/|）；（5）向量组正交化（施密特方法）设1， 2，n线性无关，则1=1，2=2-（21/1）*1，3=3-（31/11）*1-（32/22）*2，。3

6、线性组合（1）定义若=k11+k2 2+knn，则称是向量组1， 2，n一个线性组合，或称可以用向量组1， 2，n一个线性表示。（2）判别方法将向量组合成矩阵，记A（1， 2，n），B=（1，2，n,）若r （A）=r （B），则可以用向量组1， 2，n一个线性表示；若r （A）r （B），则不可以用向量组1， 2，n一个线性表示。（3）求线性表示表达式方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示系数。4向量组线性相关性（1）线性相关与线性无关定义设 k11+k22+knn=0，若k1,k2,，kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,，kn全为0，称线性无关。（2）判别方

7、法： r（1， 2，n）n，线性相关；r（1， 2，n）=n，线性无关。若有n个n维向量，可用行列式判别：n阶行列式aij0，线性相关（0无关） （行列式太不好打了）5极大无关组与向量组秩（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组秩（2）求法设A（1， 2，n），将A化为阶梯阵，则A秩即为向量组秩，而每行第一个非零元所在列向量就构成了极大无关组。五、矩阵特征值和特征向量1定义对方阵A，若存在非零向量X和数使AXX，则称是矩阵A特征值，向量X称为矩阵A对应于特征值特征向量。2特征值和特征向量求解：求出特征方程|I-A|=0根即为特征值，将特征值代入对应齐次线性方程组（I-A）X0中求出方程组所有

8、非零解即为特征向量。3重要结论：（1）A可逆充要条件是A特征值不等于0；（2）A与A转置矩阵A有相同特征值；（3）不同特征值对应特征向量线性无关。六、矩阵相似1定义对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称A与B相似。2求A与对角矩阵相似方法与步骤（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为。3求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型n1定义n元二次多项式f（x1,x2,，xn）= aijxixj称为二次型,若aij=0（ij），则称为二交型标准型。i,j=12二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q-1=Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵正定性：（1）定义（略）；（2）正定充要条件：A为正定充要条件是A所有特征值都大于0；A为正定充要条件是A所有顺序主子式都大于0；