实验符号计算基础与符号微积分Word格式.docx

1、）;b=sym（bc=sym（c%定义数值变量x=5;y=-8;z=11;w=a*a+b*b+c*cv=x*x+y*y+z*zwhosw =a2 + b2 + c2v = 210 Name Size Bytes Class Attributes a 1x1 58 sym b 1x1 58 sym c 1x1 58 sym v 1x1 8 double w 1x1 116 sym x 1x1 8 double y 1x1 8 double z 1x1 8 double 例（符号常量与数值常量）p193符号常量与数值常量在代数运算时的差别。（精确与近似）（2） syms命令syms 符号变量名1

2、符号变量名2 定义多个符号变量。 不要在变量名上加字符串分界符（）。 变量间用空格而不用逗号分隔。2. 建立符号表达式含有符号对象的表达式称符号表达式。3种方法：（1） 用单引号。（2） 用sym函数。（3） 用已经定义的符号变量。例（建立符号表达式）p1947.1.2 基本的符号运算 p1941符号表达式的四则运算符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、 运算符实现，运算结果依然是符号表达式。2符号表达式的提取分子和分母运算n,d=numden（s）提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。例（提取分子分母运算）p196 a=sym（0.33）a =33/100

3、n,d=numden（a）n =33d =100 f=sym（a*x2/（b+x）f =（a*x2）/（b + x） s,t=numden（f）s =a*x2t =b + x g=sym（x2+3）/（2*x-1）+3*x/（x-1）g =（3*x）/（x - 1） + （x2 + 3）/（2*x - 1） n,d=numden（g）x3 + 5*x2 - 32*x2 - 3*x + 1 h=sym（3/2,（2*x+1）/3;a/x+a/y,3*x+4h = 3/2, （2*x）/3 + 1/3 a/x + a/y, 3*x + 4 n,d=numden（h） 3, 2*x + 1 a*x

4、+ a*y, 3*x + 4 2, 3 x*y, 13符号表达式s的因式分解与展开 factor（s） 分解因式 expand（s） 展开 collect（s） 合并同类项 collect（s,v） 按变量v合并同类项例（因式分解与展开）p1974符号表达式的化简 simplify（s） 应用函数规则化简。 simple（s） 调用MATLAB的其他函数综合化简，并显示化简过程。例（化简）p197 syms x y a s=log（2*x/y+1/y）; simplify（s）ans =log（2*x + 1）/y） s=（-a2+1）/（1-a）;a + 1 syms x y s=（x2+y

5、2）2+（x2-y2）2; simple（s） %给出多种化简结果供选择simplify:2*x4 + 2*y4radsimp:（x2 + y2）2 + （x2 - y2）2simplify（100）:combine（sincos）:combine（sinhcosh）:combine（ln）:factor:2*（x4 + y4）expand:combine:rewrite（exp）:rewrite（sincos）:rewrite（sinhcosh）:rewrite（tan）:collect（x）:mwcos2sin:5符号表达式与数值表达式之间的转换 sym 数值表达式变换成符号表达式。 ev

6、al 符号表达式变换成数值表达式。例（符号表达式与数值表达式之间的转换）p198 clear all;clc; sym（1.5）3/2 sym（3.14）157/50 phi=（1+sqrt（5）/2phi =（1+sqrt（5）/2 eval（phi） 1.6180 eval（234/5 46.80007.1.3 符号表达式中变量的确定p198findsym（s,n） 查找一个符号表达式s中的n个符号变量。 若没有指定n，返回全部符号变量。应用： 在求极限、导数和积分时，若未指定自变量，则按默认原则确定变量。 可用findsym（s,1）查找系统的默认变量。 按离x最近原则确定默认变量。例（

7、查找符号变量）p199 syms x a y z b; s1=3*x+y; findsym（s1）x,y s2=a*y+b; findsym（s2,2）y,b findsym（5*x+2）x c=sym（3 findsym（a*x+b*y+c） %c不是变量a,b,x,y例（默认变量）p199 syms a b w y z findsym（a*y+b*w,1）y findsym（a*z+b*w,1）w findsym（a*5+b,1）b7.1.4 符号矩阵 p199 transpose（s） 返回s矩阵的转置矩阵。 diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等。例（符号矩阵

8、）p199利用sym函数建立符号矩阵并化简。syms a b x y alpm=sym（a3-b3,sin（alp）2+cos（alp）2;（15*x*y-3*x2）/（x-5*y）,78factor（m）simplify（m）（a-b）*（a2+a*b + b2）,cos（alp）2 + sin（alp）2 （-3）*x, 2*3*13 a3 - b3, 1 （-3）*x, 78例（符号矩阵函数）p200定义一个符号矩阵，并进行各种符号运算。 A=sym（sin（x）,cos（x）;acos（x）,asin（x）A = sin（x）, cos（x） acos（x）, asin（x） B=tr

9、anspose（A）B = sin（x）, acos（x） cos（x）, asin（x） C=det（A）C =asin（x）*sin（x） - acos（x）*cos（x） D=inv（A）D = -asin（x）/（acos（x）*cos（x） - asin（x）*sin（x）, cos（x）/（acos（x）*cos（x） - asin（x）*sin（x） acos（x）/（acos（x）*cos（x） - asin（x）*sin（x）, -sin（x）/（acos（x）*cos（x） - asin（x）*sin（x） E=diag（A,1） %第1条对角线E =cos（x） F=tr

10、iu（A）F = sin（x）, cos（x） 0, asin（x） n=rank（A）2例7.1（符号矩阵）求解齐次线性方程组p200当取何值时，齐次线性方程组：有非零解（系数行列式为0）。syms lamdaA=1-lamda,-2,4;2,3-lamda,1;1,1,1-lamda;D=det（A）;factor（D）-lamda*（lamda - 2）*（lamda - 3）表 符号计算基础函数p192201函数说 明sym建立单个符号量将数值表达式变换成符号表达式syms定义多个符号变量numden提取分子和分母factor分解因式expand展开collect合并同类项simpli

11、fy应用函数规则化简simple综合化简eval将符号表达式变换成数值表达式findsym查找符号表达式中的符号变量transpose符号矩阵的转置7.2 符号函数及其应用 p2017.2.1 符号函数的极限（1） limit（f,x,a）：x趋近于a时的极限。（2） limit（f,a）：系统默认变量趋近于a的极限。（3） limit（f）：系统默认变量趋近于0的极限。（4） limit（f,x,a,right）：x从右边趋近于a的极限。（5） limit（f,x,a,leftx从左边趋近于a的极限。例7.2 求下列极限p201 syms a m x; f=（x（1/m）-a（1/m）/（x

12、-a）; limit（f,x,a）NaN f=（sin（a+x）-sin（a-x）/x; limit（f）2*cos（a） f=x*（sqrt（x2+1）-x）; limit（f,x,inf,1/2 f=（sqrt（x）-sqrt（a）-sqrt（x-a）/sqrt（x*x-a*a）; limit（f,x,a,-1/（2*a）（1/2）7.2.2 符号函数求导及其应用p202（1） diff（s）：默认变量对s求一阶导数。（2） diff（s,vv对s求一阶导数。（3） diff（s,n）：默认变量对s求n阶导数。（4） diff（s,n）：v对s求n阶导数。s为符号表达式。例7.3 求下列函

13、数的导数p202 syms a b t x y z; f=sqrt（1+exp（x）; %（1） diff（f）exp（x）/（2*（exp（x） + 1）（1/2） f=x*cos（x）; %（2） diff（f,x,2）- 2*sin（x） - x*cos（x） diff（f,x,3）x*sin（x） - 3*cos（x） f1=a*cos（t）; f2=b*sin（t）; %（3） diff（f2）/diff（f1）-（b*cos（t）/（a*sin（t） （diff（f1）*diff（f2,2）-diff（f1,2）*diff（f2）/（diff（f1）3-（a*b*cos（t）2 +

14、 a*b*sin（t）2）/（a3*sin（t）3） f=x*exp（y）/y2; %（4） diff（f,x）exp（y）/y2 diff（f,y）（x*exp（y）/y2 - （2*x*exp（y）/y3 f=x2+y2+z2-a2; %（5） zx=-diff（f,x）/diff（f,z）zx =-x/z zy=-diff（f,y）/diff（f,z）zy =-y/z例7.4 在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行p203 x=sym（x y=x3+3*x-2; f=diff（y）; g=f-4; solve（g） %求根 -3（1/2）/3 3（1/2）/3表 符

15、号函数的极限和导数p201204limit求符号函数的极限diff求符号函数的导数7.3 符号积分 p2047.3.1 符号函数的不定积分（1） int（f）：按默认变量对被积函数或符号表达式f求不定积分。（2） int（f,v）：以v为自变量，对被积函数或符号表达式f求不定积分。例7.5 求下列不定积分p204 f=（3-x2）3; int（f）（9*x5）/5 - x7/7 - 9*x3 + 27*x f=sin（x）2;x/2 - sin（2*x）/4 syms alpha t; f=exp（alpha*t）;exp（alpha*t）/alpha f=5*x*t/（1+x2）; int（

16、f,t）（5*t2*x）/（2*（x2 + 1）7.3.2 符号函数的定积分p205int（f,v,a,b）求被积函数f在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf）。 当f关于变量v在a,b上可积时，返回一个定积分结果。 当a,b中有一个是inf时，返回一个广义积分。 当a,b中有一个符号表达式时，返回一个符号函数。例7.6 求下列定积分p205例7.7 求椭球的体积p205用平面Z=z0（z0c）去截取上述椭球时，其相交线是一个椭球，该椭球在xy平面投影的面积是：椭球的体积：例7.8 求空间曲线c从点（0,0,0）到点（3,3,2）的长度p

17、206设曲线c的方程是：求曲线c的长度是曲线一型积分问题。曲线的起点和终点分别对应t=0和t=1。曲线积分转化为定积分的公式是：计算曲线长度时，被积函数f=1。syms t;x=3*t; y=3*t2; z=2*t3;f=diff（x,y,z,t）;%求x,y,z对t的导数g=sqrt（f*f%计算根式部分l=int（g,t,0,1） %有问题！l =57.3.3 积分变换p206积分变换是通过积分运算把一个函数f（原函数）变成另外一个函数F（像函数）。变换过程是：其中K（x,t）称为变换的核，它决定变换的不同名称。 若难从原方程求解f，则对原方程变换； 若从变换后的方程中求解F，则对F逆变换

18、； 得原方程的解f。1. 傅里叶（Fourier）变换当K（x,t）=e-itx（i为虚数单位）时，称为傅里叶变换，其逆变换为（1） fourier（f,x,t）：求f（x）的像函数F（t）。（2） ifourier（F,t,x）：求F（t）的原函数f（x）。例7.9 求函数y=|x|的傅里叶变换及其逆变换p207syms x t;y=abs（x）;Ft=fourier（y,x,t）fx=ifourier（Ft,t,x）Ft =-2/t2fx =x*（2*heaviside（x） - 1）Heaviside为单位跳跃函数，见教材。2. 拉普拉斯（Laplace）变换当K（x,t）=e-tx时，

19、称为拉普拉斯变换，其逆变换为（1） laplace（f,x,t）：（2） ilaplace（F,t,x）例7.10 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换p207x=sym（ t=sym（ty=x2;Ft=laplace（y,x,t）fx=ilaplace（Ft,t,x）2/t3x23. Z变换当f（x）呈现为一个离散数列f（n）时，称为Z变换，其逆变换为（1） ztrans（fn,n,z）：求fn的像函数F（z）。（2） ztrans（Fz,z,n）求Fz的原函数f（n）。例7.11 求数列fn=e-n的Z变换及其逆变换p208syms n z;fn=exp（-n）;Fz=ztrans（fn,n,z）f=iztrans（Fz,z,n）Fz =z/（z - 1/exp（1）kroneckerDelta（n, 0） - （exp（1）*kroneckerDelta（n, 0） - （1/exp（1）n*exp（1）/exp（1）表 符号积分函数p204208int求积分fourier傅里叶（Fourier）变换ifourier傅里叶（Fourier）逆变换laplace拉普拉斯（Laplace）变换ilaplace拉普拉斯（Laplace）逆变换ztransZ变换iztransZ逆变换