算法设计与分析考试复习刚要及习题Word文档下载推荐.docx

1、 25、（最优子结构性质）和（子问题重叠性质）是采用动态规划算法的两个基本要素。 26、（最优子结构性质）和（贪心选择性质）是贪心算法的基本要素。 27、（选择能产生最优解的贪心准则）是设计贪心算法的核心问题。 28、分支限界法常以（广度优先） 或（以最小耗费（最大效益）优先）的方式搜索问题的解空间树。 29、贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列（局部最优）的选择，即贪心选择达到。 30、按照活结点表的组织方式的不同，分支限界法包括（队列式（FIFO）分支限界法）和（优先队列式分支限界法）两种形式。 31、如果对于同一实例，蒙特卡洛算法不会给出两个不同的正确解答，则称该蒙特卡洛算

2、法是（一致的）。 32、哈夫曼编码可利用（贪心法）算法实现。 33概率算法有数值概率算法，蒙特卡罗（Monte Carlo）算法，拉斯维加斯（Las Vegas）算法和舍伍德（Sherwood）算法 34以自顶向下的方式求解最优解的有（贪心算法） 35、下列算法中通常以自顶向下的方式求解最优解的是（贪心法）。 36、在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点有多次机会成为活结点的是（回溯法） 37、旅行售货员问题不能用（）解决 可以用回溯法解决，分支限界法，NP完全性理论与近似算法 38、贪心算法不能解决（0-1背包问题 N皇后问题）。可以解决背包问题 39、投点法是（概率算法）的一种。

3、40、若线性规划问题存在最优解，它一定不在（可行域内部） 二、简答题 1、（8分）写出下列复杂性函数的偏序关系（即按照渐进阶从低到高排序）： nn2n323lognn!nlognnn10 2 32nnn10 logn nlogn n 2 3 n! n参考解答： 2、（8分）现在有8位运动员要进行网球循环赛，要设计一个满足以下要求的比赛日程表： （1） 每个选手必须与其他选手各赛一次； （2） 每个选手一天只能赛一次； （3） 循环赛一共进行n 1天。 请利用分治法的思想，给这8位运动员设计一个合理的比赛日程。 参考解答： 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 3 6 5 8 7 3 4

4、1 2 7 8 5 6 4 3 2 1 8 7 6 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 3 7 8 5 6 3 4 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1 3、（8分）某体育馆有一羽毛球场出租，现在总共有10位客户申请租用此羽毛球场，每个客户所租用的时间单元如下表所示，s（i）表示开始租用时刻，f（i）表示结束租用时刻，10个客户的申请如下表所示： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 s（i） 0 3 1 5 3 5 11 8 8 6 f（i） 6 5 4 9 8 7 13 12 11 10 同一时刻，该羽毛球场只能租借给一位客户，请设计一个租用安排方案，

5、在这10位客户里面，使得体育馆能尽可能满足多位客户的需求，并算出针对上表的10个客户申请，最多可以安排几位客户申请。将这10位客户的申请按照结束时间f（i）递增排序，如下表： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 s（i） 1 3 0 5 3 5 6 8 8 11 f（i） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选择申请1（1,4） 依次检查后续客户申请，只要与已选择的申请相容不冲突，则选择该申请。直到所有申请检查完毕。申请4（5,7）、申请8（8,11）、申请10（11,13） 最后，可以满足：申请1（1,4）、申请4（5,7）、申请8（8,11）、申请10（11,13）共

6、4个客户申请。这已经是可以满足的最大客户人数。 3 4、（8分）对于矩阵连乘所需最少数乘次数问题，其递归关系式为： 0i j mi,j minmi,k mk 1,j pppi j i 1kj i k j其中mi，j为计算矩阵连乘AiAj所需的最少数乘次数，p为矩阵Ai的行，i-1为矩阵Ai的列。现有四个矩阵，其中各矩阵维数分别为： pi A A A A 123450 10 10 40 40 30 30 5 p pp p p p p p 0 1 1 2 2 3 3 4请根据以上的递归关系，计算出矩阵连乘积AAAA所需要的最少数乘次数。 1234参考解答： m11 m24 ppp 0 8000 5

7、0 10 5 10500 014 m14 minm12 m34 ppp 20000 6000 50 40 5 36000 024 m13 m44 ppp 27000 0 50 30 5 34500 034 105005、（8分）有这样一类特殊0-1背包问题：可选物品重量越轻的物品价值越高。 n=6，c=20，P=（4，8，15，1，6，3），W=（5，3，2，10，4，8）。 其中n为物品个数，c为背包载重量，P表示物品的价值，W表示物品的重量。请问对于此0-1背包问题，应如何选择放进去的物品，才能使到放进背包的物品总价值最大，能获得的最大总价值多少？因为该01背包问题比较特殊，恰好重量越轻的

8、物品价值越高，所以优先取重量轻的物品放进背包。最终可以把重量分别为2，3，4，5的三个物品放进背包，得到的价值和为15 + 8 + 6 + 4 = 33，为最大值。 6.请用英文写出三种以上能求解0-1背包问题的设计算法策略。 Dynamic Programming Backtrack Branch-and-Bound （每答对一条给一分） 7.请说明动态规划方法为什么需要最优子结构性质。最优子结构性质是指大问题的最优解包含子问题的最优解。 动态规划方法是自底向上计算各个子问题的最优解，即先计算子问题的最优解，然后再利用子问题的最优解构造大问题的最优解，因此需要最优子结构 8.请说明：（1）优

9、先队列可用什么数据结构实现？（2）优先队列插入算法基本思 4 想？（3）优先队列插入算法时间复杂度？（1）堆。（1分） （2）在小根堆中，将元素x插入到堆的末尾， 然后将元素x的关键字与其双亲的关键字比较， 若元素x的关键字小于其双亲的关键字， 则将元素x与其双亲交换，然后再将元素x与其新双亲的关键字相比，直到元素x的关键字大于双亲的关键字，或元素x到根为止。（4分） （3）O（ log n）（1分） 9.设计动态规划算法的主要步骤是怎么的？请简述。（1）找出最优解的性质，并刻划其结构特征。（6分） （2）递归地定义最优值。 （3）以自底向上的方式计算出最优值。 （4）根据计算最优值时得到的信

10、息，构造最优解。 10.分治法所能解决的问题一般具有哪几个特征？（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；（6分） （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质; （3） 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； （4）原问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 11.分支限界法的搜索策略是什么？在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索的进程，在每一个活结点处，计算一个函数值（限界），并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的

11、结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。（6分） 12 算法的要特性是什么？确定性、可实现性、输入、输出、有穷性 13 算法分析的目的是什么？分析算法占用计算机资源的情况，对算法做出比较和评价，设计出额更好的算法。 14 算法的时间复杂性与问题的什么因素相关？算法的时间复杂性与问题的规模相关，是问题大小n的函数。 15 算法的渐进时间复杂性的含义？当问题的规模n趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是T（n）的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度相差常数倍，因此可以用T（n）的数量级 5 （阶）评价算法。时间复杂度T（n）的数量级（阶）称为渐进时间复杂性。

12、 16 最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性考察的是n固定时，不同输入实例下的算法所耗时间。最坏情况下的时间复杂性取的输入实例中最大的时间复杂度： W（n） = max T（n，I） , IDn 平均时间复杂性是所有输入实例的处理时间与各自概率的乘积和： A（n） =P（I）T（n，I） IDn 17 简述二分检索（折半查找）算法的基本过程。设输入是一个按非降次序排列的元素表Ai：j 和x，选取A（i+j）/2与x比较，如果A（i+j）/2=x，则返回（i+j）/2，如果A（i+j）/2x，则Ai：（i+j）/2-1找x，否则在A （i+j）

13、/2+1：j 找x。上述过程被反复递归调用。 18 背包问题的目标函数和贪心算法最优化量度相同吗？不相同。目标函数：获得最大利润。最优量度：最大利润/重量比。 19 采用回溯法求解的问题，其解如何表示？有什么规定？问题的解可以表示为n元组：（x,x,x），xS, S为有穷集合，12niiixS, （x,x,x）具备完备性，即（x,x,x）是合理的，则（x,x,x）ii12n12n12i（in）一定合理。 20 回溯法的搜索特点是什么？在解空间树上跳跃式地深度优先搜索，即用判定函数考察xk的取值，如果xk是合理的就搜索xk为根节点的子树，如果xk取完了所有的值，便回溯到xk-1。 21 n皇后问

14、题回溯算法的判别函数place的基本流程是什么？将第K行的皇后分别与前k-1行的皇后比较，看是否与它们相容，如果不相容就返回false，测试完毕则返回true。 22 为什么用分治法设计的算法一般有递归调用？子问题的规模还很大时，必须继续使用分治法，反复分治，必然要用到递归. 23 为什么要分析最坏情况下的算法时间复杂性？最坏情况下的时间复杂性决定算法的优劣，并且最坏情况下的时间复杂性较平均时间复杂性游可操作性。 24 简述渐进时间复杂性上界的定义。T（n）是某算法的时间复杂性函数，f（n）是一简单函数，存在正整数No和C，nNo，有T（n）f（n），这种关系记作T（n）=O（f（n）。 25

15、 二分检索算法最多的比较次数？二分检索算法的最多的比较次数为 log n 。 26 快速排序算法最坏情况下需要多少次比较运算？ 2参考解答：最坏情况下快速排序退化成冒泡排序，需要比较n次。 6 27 贪心算法的基本思想？是一种依据最优化量度依次选择输入的分级处理方法。基本思路是：首先根据题意，选取一种量度标准；然后按这种量度标准对这n个输入排序，依次选择输入量加入部分解中。如果当前这个输入量的加入，不满足约束条件，则不把此输入加到这部分解中 28 回溯法的解（x,x,x）的隐约束一般指什么？ 12n参考解答：回溯法的解（x,x,x）的隐约束一般指个元素之间应满足的某12n种关系。 29 阐述归

16、并排序的分治思路。讲数组一分为二，分别对每个集合单独排序，然后将已排序的两个序列归并成一个含n个元素的分好类的序列。如果分割后子问题还很大，则继续分治，直到一个元素。 30 快速排序的基本思想是什么。快速排序的基本思想是在待排序的N个记录中任意取一个记录，把该记录放在最终位置后，数据序列被此记录分成两部分。所有关键字比该记录关键字小的放在前一部分，所有比它大的放置在后一部分，并把该记录排在这两部分的中间，这个过程称作一次快速排序。之后重复上述过程，直到每一部分内只有一个记录为止。 31 什么是直接递归和间接递归？消除递归一般要用到什么数据结构？在定义一个过程或者函数的时候又出现了调用本过程或者

17、函数的成分，既调用它自己本身，这称为直接递归。如果过程或者函数P调用过程或者函数Q，Q又调用P，这个称为间接递归。消除递归一般要用到栈这种数据结构。 32 什么是哈密顿环问题？哈密顿环是指一条沿着图G的N条边环行的路径，它的访问每个节点一次并且返回它的开始位置。 33 用回溯法求解哈密顿环，如何定义判定函数？当前选择的节点Xk是从未到过的节点,即XkXi（i=1,2,k-1），且C（Xk-1, Xk），如果k=-1，则C（Xk, X1） 。 34 请写出prim算法的基本思想。思路是：最初生成树T为空，依次向内加入与树有最小邻接边的n-1条边。处理过程：首先加入最小代价的一条边到T，根据各节点

18、到T的邻接边排序，选择最小边加入，新边加入后，修改由于新边所改变的邻接边排序，再选择下一条边加入，直至加入n-1条边。 三、算法设计题 7 1.【最长上升子序列问题】（8分） 提示：此题可采用动态规划算法实现 对于给定的一个序列，。我们可以得到一些递增（a,a, ,a）1 N 100012N上升的子序列，这里。比如，对于序列（1, 7, （a,a, ,a）1 i i i Ni1i2iK12K3, 5, 9, 4, 8），有它的一些上升子序列，如（1, 7）, （3, 4, 8）等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列（1, 3, 5, 8）。你的任务：就是对于给定的序列，求出最长上升子序列

19、的长度。要求写出你设计的算法思想及递推函数的公式表达。. 参考解答：设表示：从左向右扫描过来直到以元素结尾的序列，获得的f（i）ai最长上升子序列的长度，且子序列包含元素（）。 1 i nai1i 1 f（i） maxf（j） 1:当ai aj;1 j ii 1 1i 1; j（1 j i）,都有ai aj 即，是从，到中找最大的一个值，再加1。或者f（i）f（1）f（2）f（i 1）就是1。主要是看ai这个元素能否加入到之前已经获得的最长上升子序列，如果能加入，是之前已获得的最长上升子序列长度加一；如果不能加入，就取这最后一个元素作为一个单独子序列，长度为1。 最后，所要求的整个序列的最长公

20、共子序列长度为maxf（i）: 1=i= 当前最优解代价，则剪枝。2分 （3）见（1）中所画的图。5分 （4）最优解为3，1，2，最优值为25。3分 4.【Gray码构造问题】此题可采用分治递归算法实现 n问题描述：“格雷码”是一个长度为的序列，满足： 2（a）每个元素都是长度为n比特的串 （b）序列中无相同元素 （c）连续的两个元素恰好只有1个比特不同 例如：n=2时，格雷码为00，01，11，10。 Gray码是一种编码，这种编码可以避免在读取时，因各数据位时序上的差异造成的误读。格雷码在工程上有广泛应用。但格雷码不便于运算，请你设计一种构造方法，输入长度序列n，输出格雷码（你只要做出一种

21、构造方案即可，格雷码并不唯一）。此题可用分治法解决。 当n1时，输出格雷码0, 1 nn22当n1时，格雷码的长度为，即共有个码序列。此时，将问题一分为二，即上半部分和下半部分。上半部分最高位设为0，下半部分最高位设为1。剩下n-1位的格雷码的构造采用递归的思路。 评分准则： 答到使用分治算法，并且推导出分治算法的过程，边界设定清晰（即当1） 仅输出1位的格雷码如何处理），本题即可得满分； 说明使用分治算法，但漏边界条件，扣2分以上； 2） 10 其它情况酌情考虑。 .（13分）给定带权有向图（如下图所示）G =（V,E），其中每条边的权是非负5实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要

22、计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。现采用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径。请将此过程填入下表中。 S u dist2 dist3 dist4 dist5 迭代 1 初始 1 2 3 4 参考解答：（13分） S u dist2 dist3 dist4 dist5 迭代 1 - 10 30 100 初始 1，2 2 10 60 30 100 1 1，2，4 4 10 50 30 90 2 1，2，4，3 3 10 50 30 60 3 1，2，3，4，5 5 10 50 30 60 4 6.（13分）有0-1背包问题如下：请问对于此0-1

23、背包问题，应如何选择放进去的物品，才能使到放进背包的物品总价值最大。 P=（15，8，6，4，3，1） W=（2，3，4，5，8，10），单位重量物品价值（7.5，2.67，1.5,0.8,0.375,0.1） 参考解答：（13分） 可知随着物品的重量增加，物品的价值减少；因此可以用贪心算法来求解。以选取单位重量物品价值高为贪心策略。 1.先把重量为2的物品放进背包，此时剩余载重量为17，P为15。 2.把重量为3的物品放进背包，此时剩余载重量为14，P为23； 3.把重量为4的物品放进背包，此时剩余载重量为10，P为29； 11 4.把重量为5的物品放进背包，此时剩余载重量为5，P为33.

24、由于85，所以不能再放进背包。 结果是把重量为2，3，4，5的物品装进背包，总价值最大为33. 7、将所给定序列a1:n分为长度相等的两段a1:n/2和an/2+1:n，分别求出这两段的最大子段和，则a1:n的最大子段和有哪三种情形？（10分） 参考解答：（1）a1:n的最大子段和与a1:n/2的最大子段和相同。 （2）a1:n的最大子段和与的最大子段an/2+1:n和相同。 a1:n的最大子段和为ak（i=k=J）且1=n/2,n/2+1=J=n。 8 写出maxmin算法对下列实例中找最大数和最小数的过程。 数组 A=（48,12,61,3,5,19,32,7） 参考解答：写出maxmin算法对下列实例中找最大数和最小数的过程。 数组 A=（） 1、 48,12,61,3, 5,19,32,7 2、 48,12 61,3 5,19 32,7 3、 4861, 123 1932，57 4、 6132 35 5、 61 3 9 速排序算法对下列实例排序，算法执行过程中，写出数组A第一次被分割的过程。 A=（65,70,75,80,85,55,50,2） 参考解