小组计算方法课程实验Word文件下载.docx

1、 为给定精度，此时x k x* 即为满足要求的近似根。2） 二分法算法1 计算a,b区间的中点存放在变量x0中：x0 （a+b）/22 如果函数值f（x0）=0,则x0是f（x）=0的实根 x* ，输出根x0,终止3 如果函数值f（a）f（x0）eps, x=（a+b）/2; n=n+1; w=fx; IfAbswe1,Print“n=”,n,“ x=”,x,“ fx=”,w;Break; p=fa*w/N; Ifp0,b=x,a=x; Print“n=”,n, “ x=”,x/N, “ eps=”,b-a/N 注：本程序用于求非线性方程f（x）=0在区间a,b内的根，这里要求f（x）在区间a

2、,b连续,且f（a）f（b）0。程序执行后，先通过键盘输入函数f（x）和区间左端点a和右端点b及根的精度要求e，程序即可给出每次二分的次数和对应的点列x k，其中最后输出的结果即为所求的根。4）程序中变量说明x：存放初值x0和二分法中的x ka: 存放含根区间的左端点akb: 存放含根区间的右端点bke1:描述f（xk）=0的微小值,这里用|f（xk）|e1表示f（xk）=0n: 存放二分次数语句Ifp0,b=x,a=x中p的一定要是算出的数值，否则会出现错误。本程序中用“p=fa*w/N”而不用“p=fa*w”就是这个原因。补充Mathematica程序为：二、用Newton法求方程的根 N

3、ewton迭代法也称切线法，是非线性方程求根方法中收敛的最快的方法，其涉及的近似处理方法很有代表性。1） Newton 迭代法构造过程 将方程f（x）=0 线性化处理为近似方程，然后用近似方程获得求根的迭代计算公式。具体为：设xk是f（x） = 0的一个近似根，把f（x）在 xk 处作泰勒展开，得：取前两项来近似代替f（x）（称为f（x）的线性化），则得近似线性方程：设 f（xk ） 0 ,令其解为 xk+1 ,得:上式称为求f（x）=0根的Newton（牛顿）迭代格式。2） Newton迭代法算法1.输入初值x0、迭代精度eps、函数f（x） 和迭代最大次数Nmax2.For k=1,2,N

4、max1.1 如果|f（x0）|eps1,则输出“迭代失败”提示并终止1.2 x x0-f （x0）/f （x0）1.3 如果|x-x0|eps ,则输出根x ，终止1.4 x0 x2.输出迭代失败，终止。3） Newton迭代法程序Clearx,f,g;fx_=Inputfx=;gx_=Dfx,x;x0=Input输入迭代初值eps1=0.00000000001;nmax=500;eps=Input输入精度控制eps=Dou1=gx0; IfAbsu1/Neps1,Print迭代法失效 x=x0-fx0/u1; u1=Absx-x0/N; Printx=,x, n=,n, eps=,u1;

5、Ifu1eps,Print迭代失败 说明：本程序用于求非线性方程f（x）=0在x0附近的根。程序执行后，先通过键盘输入迭代函数f（x）和迭代初值x0及根的精度要求eps，程序即可给出每次迭代的次数和对应的点列x k，其中最后输出的结果即为所求的根。如果迭代超出500次还没有求出满足精度的根则输出迭代失败提示。4）程序中变量说明：x0：存放初值和迭代过程中的x kx: 存放迭代过程中的x k+1 nmax:存放迭代允许的最大次数u1:临时变量迭代最大次数可以修改为其他数字。三、题目解答（Absx（k）-x（k-1）0.001）题1。（x-2）*Expx=1,取x0=2.5.解：用Mathemat

6、ica程序直接迭代结果为：用牛顿不动点迭代法得到的结果为：题2。2*Cosx-3*x+12=0，取x0=4.题3。3*x2-Expx=0，取x0=-1. 用牛顿不动点迭代法得到的结果为：题4. 用Newton迭代法求方程xex 1=0的根，取x0=0.5,要求误差不超过10-3。用二分法求方程xex -1=0 在0，1内的根，要求误差不超过10-3。令f（x）= xex 1，因为f（0）=-10,所以可以用二分法。 执行二分法程序后，在输入的四个窗口中按提示分别输入x*Expx-1、0、1、0.001每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，输出计算结果：a=0 b=1 f（x）=-1 + ex

7、xn=1 x=0.5 e=0.5n=2 x=0.75 e=0.25n=3 x=0.625 e=0.125n=4 x=0.5625 e=0.0625n=5 x=0.59375 e=0.03125n=6 x=0.578125 e=0.015625n=7 x=0.570312 e=0.0078125n=8 x=0.566406 e=0.00390625n=9 x=0.568359 e=0.00195312n=10 x=0.567383 e=0.000976562此结果说明共二分10次，求得的近似根为x=0.567383，其误差为e=0.000976562。执行Newton迭代法程序后在输入的三个窗口

8、中按提示分别输入x*Expx-1、0.5、0.001x=0.57102 n=1 eps=0.0710204x=0.567156 n=2 eps=0.00386487x=0.567143 n=3 eps=0.0000122782x=0.567143 n=4 eps=1.23477 10-10此结果说明迭代4次，求得误差为e=1.2347710-10的近似根，最后显示的近似根结果为x=0.567143，它只是部分表示，要看该近似根更详细的表示（如看其中前10位数）可以再键入命令 Nx,10后有近似根的为0.5671432904。题5。x3-x2-1=0，取x0=1.5.题6。Expx+10*x-2=0，取x0=0.实验小结与分析：观察几道题的计算结果，二分法的迭代次数比牛顿迭代法的多，收敛速度较慢。牛顿法一个主要优点：当初始点充分靠近x*时，牛顿法收敛很快。但是从程序中我们可以发现，牛顿迭代法要求导数，牛顿迭代法的计算量比二分法大。最后，我们发现牛顿法是一个局部方法，仅当初始点x0充分靠近x*时，方法才是有效的，如果初始点x0远离x*，牛顿法将收敛很慢，甚至不收敛。