授课题目 第一章第一节例子与概念 授课类型 理论课 首次授课时间 20文档格式.docx

1、这只要举出科学史上一件大事为证就够了： 在海王星被实际观测到之前，这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的方法推算授课题目 第一章第一节例子与概念 授课类型 理论课 首次授课时间 2019 年 2 月 28 日 学时 2 教学目标 通过实例使学生了解微分方程及简单的求解过程，并能建立简单的微分方程模型; 掌握微分方程、常（偏）微分方程、阶、 n 阶线性常微分方程解、通解、初始条件等概念；了解初值问题、初值问题的解、特解的定义；理解积分曲线（族）、方向场的定义 重点与难点 重点： 简单的微分方程模型; 微分方程、常（偏）微分方程、阶、 n 阶线性常微分方程、解、通解、初始条件等概念的理解和掌握。

2、难点： n 阶线性常微分方程、通解定义的理解；一阶微分方程积分曲线的画法。 教学手段与方法 讲授与实例结合 教学过程： （包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等） 出来了。 时至今日，微分方程仍然是最有生命力的数学分支之一。 在长期不断的发展过程中，它一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力，另一方面又不断以全部数学科学的新旧成就来武装自己，所以它的问题和方法越来越显得丰富多彩。 现今不仅专业研究微分方程的数学工作者愈加众多，而且力学、电子技术、自动控制、星际航行、生物学、经济学、海洋学等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具了。 因此为了使各

3、专业的本科生在我国从计划经济向市场经济转型当中，更具有竞争力，掌握常微分方程方面的知识是十分重要的。 而且该课程的教学内容无论从历史角度，还是从现代数学应用的角度，对数学教育、应用数学、信息与计算数学等专业的学生都很重要，它又是数学分析的继续，和进一步学习泛函分析、数理方程必不可少的基础，对提高我们数学系学生的素质，为使他们更好地适应当前经济建设的需要提供必备的知识基础。 常微分方程是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一。 其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程

4、，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的方法的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种运动过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种运动应该怎样设计必要的装置和条件等等。 例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道。 总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一。 一、常微分方程模型 一、常微分方程模型 例 例 1 人口模型 马尔萨斯（17661834，是英国经济学家和社会学家）在研究百余年的人口统计时发现： 单位时间内人口的增加量与当时人口总数是成正比

5、的。 马尔萨斯于 1798 年提出了著名的人口指数增长模型。 模型的基本假设： 人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比。 以 （ ） N t 表示第 t 年时的人口数， （ ） N t t + 就表示第 t t + 年时的人口数。 （ ） N t 是整数，为了利用微积分这一数学工具，将 （ ） N t 视为连续、可微函数。 这样有 （ ） （ ）（ ）N t t N tkN tt+ = 其中 k 为人口的增长率，当 0 t 时，由上式得 （ ）（ ）dN tkN tdt= 分离变量, 两边积分得1ln N rt C = + , 即 （ ）rtN t Ce = （

6、 C 为任意常数） 设初始条件为 0 t = 时，0（0） N N = ，于是, 可得到满足初始条件的解为 0（ ）0（ ）r t tN t N e= 由以上结论可以看出, 当 0 r 时, 人口是按指数规律无限增长的. 方程称为马尔萨斯人口模型马尔萨斯人口模型。 又称为指数增长模型. 19 世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19 世纪以后的许多国家, 模型遇到了很大的挑战. 注意到,而我们的地球上的资源是有限的, 当人口总数很大时, 环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生存, 故 Malthus 模型对未来人口总数预测非常荒谬, 不合常理, 应该予以修正. 地球上的资源有限

7、, 不妨设为 1; 而一个人的正常生存需要占用资源。 在时刻 t ， 人口增长的速率与当时人口数成正比, 为简单起见也假设与当时剩余资源成正比; 比例系数表示人口的固有增长率; 荷兰数学家威赫尔斯特（Verhulst）引入常数mN , 以mN 记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。 由模型假设, 可将人口数的净增长率视为人口数 （ ） N t 的函数, 由于资源对人口增长的限制, 应是 （ ） N t 的减函数, 特别是当 （ ） N t 达到极限承载人口数时, 应有净增长率,当人口数 （ ） N t超过时, 应当发生负增长.。 Verhulst 提出了一个新的假设： 人口的净增长率随着

8、（ ） N t 的增加而减小，且当 （ ）mN t N 时，净增长率趋于零。 因此人口方程可写成 （ ） （ ）（1 ） （ ）mdN t N tr N tdt N= 其中 r 为常数。 模型（8.2）称为 logistic 人口模型。 马尔萨斯模型对于 1800 年以前的欧洲人口拟合得较好。 而此处的 logistic 模型对于 17901930年间的美国人口拟合较好，但对于 1930 年以后的人口估计不准。 但是 logistic 模型在生物总数分析中还是有其广泛的应用的。 只要某种特定自然环境中该物种是独立生存的，或与其它物种相比它占有绝对优势。 logistic 模型从一定程度上克服了

9、指数增长模型的不足, 可以被用来做相对较长时期的人口预测, 而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用. 不论是指数增长模型曲线,还是阻滞增长模型曲线, 它们有一个共同的特点, 即均为单调曲线. 但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果: 在直到 2030 年这一段时期内, 我国的人口一直将保持增加的势头, 到 2030 年前后我国人口将达到最大峰值 16 亿,之后, 将进入缓慢减少的过程这是一条非单调的曲线, 即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种.还有比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法吗？ 事实上, 人口的预测是一个相当复杂的问

10、题, 影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外, 还和医药卫生条件的改善, 人们生育观念的变化等因素有关, 特别在做中短期预测时, 我们希望得到满足一定预测精度的结果, 比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等, 这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要, 进而需要必须予以考虑. 例 例 2 传染病模型 众所周知, 由于生态环境的污染与破坏以及国际交流的频繁等，使得过去已得到控制甚至几乎绝灭的某些传染病，如霍乱、肺结核、血吸虫病等再次抬头蔓延，同时，艾滋病、SARS 等一些新的传染病也给人类社会带来巨大的威胁。 因而，对于传染病的预防与控

11、制的研究仍显得十分重要和迫切。 在建立模型时，我们假设传染病传播期间总人数不变，为 N 。 在 t 时刻的健康人数为 ） （ t S ，称为易感者（Susceptible）类,也称 S 类,该类人群目前没有患病,但无免疫能力,可以传染而患病,其数量记为 ） （ t S ,指 t 时刻尚未感染但有可能感染成为传染病人者;染病人数记为 ） （ t I ，也称为染病者（Infective）类,也称 I 类,该类人群都已患病,而且可以把疾病传染给 S 类人群,其数量记为） （ t I ,指 t 时刻已被传染成为病人者。 于是有 （ ） （ ） （ ）. S t I t N t + = 假设初始时刻染病

12、者人数为0I ,单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比,比例常数为 k ,称 k 为传染系数,则有 0（ ）（ ） （ ）, （0）dI tkS t I t I Idt= = 或者 0（ ）（ （ ） （ ）, （0）dI tk N I t I t I Idt= = 这个模型称为 SI 模型. 对于某些传染病,患病后一般可以治愈,而治愈后还可能重新受到传染再次得病.设治愈率为 ,则对上述模型修正得 0（ ）（ ） （ ） （ ）, （0）dI tkS t I t I t I Idt = = 这个模型称为 SIS 模型. 而对有些传染病,病人治愈后不会再被感染.设在 t 时刻的愈后

13、免疫人数为 （ ） R t ,称为移出者（Removed）类,也称 R 类,这类人群是恢复的病人且具有免疫能力,不会被传染而再次患病.而治愈率为 l ,即 （ ）（ ）dR tlI tdt= 而此时刻 （ ） （ ） （ ） S t I t R t N + + = , 00（ ）（ ） （ ） （ ）, （0）（ ）（ ） （ ）, （0）dI tkS t I t lI t I IdtdS tkS t I t S N Idt = = = = 这个模型称为 SIR 模型. 这个模型曾用于检验 1906 年发生在孟买的一次瘟疫,其理论曲线与实际数据相当吻合. 二、基本概念 1. 微分方程 一般说来

14、， 微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的导数的关系式. 如果未知函数只与一个自变量有关，则称为 常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为 偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 例如 （1） 22（ ）d y dyb cy f tdt dt+ + = （2） 2（ ） 0 dy dyt ydt dt+ + = （3） 2 2 22 2 20T T Tx y z + + = （4）224 T Tx t = 2. 方程的阶 ： 微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为 方程的阶.观察上面例子的阶。 这样，一阶常微分

15、方程的一般形式可表为 （ , , ） 0 F x y y = （2.1） 如果在（2.1）中能将 y 解出，则得到方程 （ , ） y f x y = （2.2） 或 （ , ） （ , ） 0 M x y dx N x y dy + = （2.3） （2.1）称为一阶隐式方程,（2.2）称为一阶显式方程，（2.3）称为微分形式的一阶方程. n n 阶隐式方程的一般形式为（ ）（ , , . ） 0xF x y y y = （2.4） n n 阶显式方程的一般形式为 （ ） （ 1）（ , , ,., ）x xy f x y y y = 3. 线性与非线性 在方程（2.4）中，如果左端函数 F

16、 对未知函数 y 和它的各阶导数 y , y , y（ n ） 的全体而言是一次的，则称为 n 阶线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程. 一般的，一个以 y 为未知函数，以 x 为自变量的 n 阶线性微分方程具有如下形式： （ ） （ 1）1 1（ ） . （ ） （ ） （ ）x xx xy P x y P x y P x y f x + + + + = （1.13） 显然，方程（1）是二阶线性方程；方程（2）是一阶非线性方程；方程（3）是二阶线性方程；方程（4）是二阶线性方程. 再如22sin 0d gdt l+ = 为二阶非线性方程。 4. 解和隐式解 （1） 解 设函数 （ ）

17、y x = 在区间 I 上连续，且有直到 n 阶的导数.如果把 （ ） y x = 代入方程（1.11），得到在区间 I 上关于 x 的恒等式， （ ）（ , （ ）, （ ）,., （ ） 0xF x x x x 则称 （ ） y x = 为方程（1.11）在区间 I 上的一个解. 可以直接验证函数1 2cos sin x C t C t = + 是方程 0 x x + 在区间（-，+）上的解，其中1C和2C 是独立的任意常数. 函数21 2y C x C = + 是方程20 yy y + = 在区间（-，+）上的解，其中1C 和2C 是独立的任意常数. 注： 1） （ ） y x = 在

18、I 上每一点的 n 阶连续导数必须都存在。 2）一般求微分方程的解，不需要指明解的存在区间。 （2） 隐式解 如果关系式 （ , ） 0 x y = 确定的隐函数 （ ） y x = 是（2.4）的解，我们称 （ , ） 0 x y =为（2.4）的隐式解。 例如 dy ydx x= 有解2 21 1 y - x y - x = = 和 ，而2 21 x y + = 就是方程的隐式解。 为简单起见，我们不把解和隐式解加以区别，统称为方程的解。 5. 通解与特解 （1） 通解 从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，

19、也可以不含任意常数.我们把 n 阶常微分方程（1.11）的含有 n 个独立的任意常数 C 1 ，C 2 ，C n 的解1 2（ , , ,., ）ny x C C C = ，称为该方程的 通解。 所谓独立，就是说，他们不能合并而使得任意常数的个数减少，细而言之是指存在点1（ , , ）nx c c 的某一邻域，使 1 22 2 22 2 21 21 1 11 1 11 20nnn n nn n nnC C CC C CC C C 如果方程（1.11）的解 （ ） y x = 不包含任意常数，则称它为 特解.由隐式表出的通解称为通积分通积分，而由隐式表出的特解称为 特积分. 由上面的定义，不难看

20、出，函数2 ,sin（arcsin ） y x y x C = = + 和1 2cos sin y C t C t = + 分别是 方程 2dyxdx= ,2211y dydxx=, 0 x x + = 的通解，函数21 2y C x C = + 是方程20 yy y + = 的通积分，而函数 y =是特解. （2） 初始条件： 为了确定微分方程一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的 定解条件常见的定解条件是初始条件 对于一个 n 阶方程，初值条件的一般提法是 （ 1） （ 1）0 0 0 0 0 0（ ） , （ ） ,., （ ）x xy x y y x y y x

21、 y = = = （3） 初值问题： 求微分方程满足定解条件的解的问题称为 定解问题 求微分方程满足初值条件的解的问题称为 初值问题. （2.4）的初值问题常记为 （ ） （ 1）（ 1） （ 1）0 0 0 0 0 0（ , , ,., ）（ ） , （ ） ,., （ ）x xx xy f x y y yy x y y x y y x y = = = = 初值问题也常称为 柯西（ Cauchy ） 问题. 方程对于一阶方程，若已求出通解 （ , ） y x C = ，只要把初值条件 0 0（ ） y x y = 代入通解中，得到方程 0 0（ , ） y x C = 从中解出 C ，设为0

22、C ，代入通解，即得满足初值条件的解0（ , ） y x C = . 对于 n 阶方程，若已求出通解1 2（ , , ,., ）ny x C C C = 后，代入初值条件（1.15），得到 n 个方程式 0 0 1 20 0 1 2（ 1） （ 1）0 0 1 2（ , , ,., ）（ , , ,., ）. . .（ , , ,., ）nnn nny x C C Cy x C C Cy x C C C = = = 如果能从上式中确定出0 01 2, ,., ）nC C C ，代回通解，即得所求初值问题的 0 0 01 2（ , , ,., ）ny x C C C = . 例 1 求方程 0

23、x x + = 的满足初值条件 （ ） 1, （ ） 14 4x x = = 的解. 解 方程通解为 1 2sin cos x C t C t = + 求导数后得 1 2cos sin x C t C t = 将初值条件代入，得到方程组 1 21 22 212 22 212 2C CC C= + = 解出1C 和2C 得 1 20, 2 C C = = 故所求特解为 2cos x t = 6. 积分曲线 为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程 （ , ） y f x y = （2.5） 的一个特解 （ ） y x = 的图象是 xoy 平面上的一条曲线，称 为方程（1.9）的

24、 积分曲线，而通解（ , ） y x C = 的图象是平面上的一族曲线，称为 积分曲线族. 例如，方程 2dyxdx= 的通解2y x = +C 是 xoy 平面上的一族抛物曲线.而2y x = 是过点（0，0）的一条积分曲线.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第 4 章详细讨论. 另外，（2.5）的积分曲线的每一点 （ , ） x y 上的切线斜率dydx刚好等于 （ , ） f x y 在这点处的值。 反之，如果在一条曲线上每一点处的切线斜率刚好等于 （ , ） f x y 在这点的值，则这条积分曲线为（2.5）的积分曲

25、线。 例 2 验证22 1 y C x = + （ C 为任意常数）是2（1 ） 2dyx xy xdx + = 的通解，并求出满足初始条件 （0） 3 y = 的解。 例 例 3 求2 2 21 2 3（ ） （ ） x C y C C + = 所满足的微分方程。 解 对上式连续两次求导，得222 2 2 2 0 y yy C y + + = ，从里面解出2 221 1 y yy yC yy y + + += = + ，两边求导得210yyy += 。 思考题、讨论题、作业 P9 1.（2）（3） 2.（1） P9 1.（2）（3） 2.（1） 教学后记 本节内容比较简单，同学们掌握得还是不错。