高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题30圆锥曲线的取值范围解析版Word文档格式.docx

1、例3已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M（2, 1），平行于OM的直线 l在y轴上的截距为 m（m 0）交椭圆于A、B两个不同点（I）求椭圆的方程；（n）求m的取值范围;（川）求证直线MA, MB与x轴始终围成一个等腰三角形 思路探求：（1）椭圆的方程为4F = 1.n ）因为直线I平行于0M，且在y轴上的截距为m,又咯=亍,得直线I的方程为：y = +y =耳十赛1得 一 + 2剧疋一 2 m 4 二 iD. 工+茎=1E 呂 因为直线I与椭圆交于A、B两个不同点，所以 =（2m）2 4（2m2 4）0，解得一2m2，且m0.川）设直线MA , MB的斜率

2、分别为緒念盘，只需证明= 0即可.设（如凫，且利十二-Er壬詁-4,则九=峯雇=翳1）為一2亠（扣詞+悔 巧缶 工）故直线MA, MB与x轴始终围成一个等腰三角形 方法点睛：联立方程不需要直接求出交点坐标，利用韦达定理得到两个交点的横坐标或者纵坐标与动直线变 量（如例2中的斜率k和例3中的截距m）的直接关系，盂1+斑=域上）或h（m）,策拒=g（約或g（m）,最后把 中点问题、弦长或者长度之比问题、垂直问题、斜率问题、面积问题等全部转化为 g（k）关于k或m的等式或不等式来处理，这里尤其要注意利用判别式本身的不等关系对参数的限定 3过已知曲线上定点的弦的问题 有一类问题，直线过已知曲线上某定点

3、，这种问题的解决又必须得求出另外一点的具体坐标，这时就需要过定点的直线的方程和曲线联立，转化为元二次方程 （或类一元二次方程），考察判别式后，由韦达定理结 合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题 例4已知点A, B, C是椭圆E石+話其中点 巒麝是椭圆的右顶点，直线 BC过椭圆的中心 0,且 ，： ，如图.（I）求点C的坐标及椭圆E的方程；（n）若椭圆上存在两点 P, Q使得直线PC与直线QC关于直线垃 f 对称，求直线PQ的斜率.（I）直接求基本量得椭圆E的方程为二亠二n）要求直线PQ的斜率，需要知道 p, Q的具体坐标，而这个坐标可以直接通过设直线去求解 因为直线PC与直线QC

4、关于直线疋三应T对称，则设直线 PC的斜率为k,则直线QC的斜率为一k，从而直线PC的 方程为萼一据二砍一#5）,即yh +為一k）,由/ =to4；vSC1_ft3消去y,整理得U +管）尸十丘冉垃一的寛十9护一 13fc-3 = 0.t. jr3 4- 12由无二 冉是方程的一个根，得 和-也二 晋霁1，即巧 二:;囂:侗理可得:勺二:IM；.丹% +V3C1 -紆+虹罕-谄卩+町=心+叼）-碍二宗刍，_ 曹W+血两4 _ -mi坯_% = 莎五厨 _忑丽两=丽丽冠则直线PQ的斜率为定值T.解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交， 点的坐标是方程组消元后得到的方程的根，因为一个点的

5、坐标已知，往往通过韦达定理来求另一个动点的具体坐标；二是设出直线求出一点的坐标后，要利用变量的关联性去求另外的点的坐标， 如例4利用直线的斜率互为相反数， 求出P的横坐标后直接把 k用一 k替换，就得到了点 Q的横坐标，减少计算量，达到节省时间的目的 4利用 点在曲线上”直接设而不求解决问题设匚恆野声“甘仗加为在二次曲线 mX+ny2=1上，即有 吋f+n疋=!祖兀g +乳対=1 ,两式相减即可得m（x + -x2） + n（yt + %）他-y?） = 0.该式可以看成是I匸+毛1 （監-比），（+盹），-丙）这四个量的组合，- 2如果设AB的中点为 %J, ，由此可以看出与两点坐标的平方差

6、有关的或者与弦的中点、Lr 斜率有关的问题可以采用设点相减来处理例5过点M（1，1）作斜率为-的直线与椭圆： 相交于A，B两点，若M是线段AB的 中点，则椭圆C的离心率等于 思路探求：恰好已知的是弦的中点与斜率，直接由设点法作差所以得: = nJ:，一 .： = J 从而，-一一 一又- = i- .-，y/ 就瑁二-，得- 即椭圆C的离心率：二 此类问题的一般性结论如下 设直线与圆锥曲线相交于 A，B，设弦AB中点为紬齢曲,弦AB的斜率为k,则: 椭圆密吗i金伙沖毎满足：卜、亠.-双曲线一一一二-1 满足一-一 一 = 耐 抛物线泸和瀧加塔满足獅忌：比 例6: A, B为椭圆石4首二1任意两

7、点，A点关于x轴的对称点为 C,若直线BA交x轴于点P,直线BC 交x轴于点Q,探究OP?OQ是否为定值.思路探求：因为A，B是椭圆上任意的点，点 P和点Q的得出是与 AB的具体坐标值有关系的，如果设直线求点，那就太过复杂了，不妨直接设点试试设 ，则心丁说,直线BA的方程为二亍亠： 令y=0 ,得点“ 一-:,同理得点：op.oo = | 空g匹皿皿1 |再切.I |硏力有趣的是同样的 A, BC三点放到圆和双曲线上，也为定值，有兴趣的读者可以一试 方法点睛：我们往往在直接设点还是设直线求点的问题上充满疑惑，究其规律，往往是如果与两个坐标的具 体值无关的情况一般是采用设直线去求解，如果问题的解

8、决是与某点的具体坐标值相关的，我们可以考虑 直接设点然后整体消元最新模拟题强化所以_b_ a2 b2因为2 2 2a b c =16，a 22，1.已知双曲线y2ax2 1（a 0,b 0）的一个焦点与抛物线b2x 16y的焦点重合,的渐近线的距离大于2，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A. 1,2B. 2, C. 1八2D .迈【答案】D【解析】因为抛物线方程x216y的焦点坐标为0,4，所以c 4.2 2因为双曲线笃a2 b21的渐近线为ax by 0,且点0,b到该双曲线所以该双曲线的离心率为2 .已知双曲线b2a 0,b 0的左、右焦点分别为Fi，F2，且右顶点到渐近线的距离与到直线

9、X 距离的比值大于2，则双曲线的离心率范围为（CB. 1, .2C. 1,2d.13【答案】Aab右顶点到渐近线的距离为 d cac a右顶点到直线x 的距离为a由题设条件有一J整理得到所以5a 3c即1 -故选：A.3已知椭圆x2 y_ b21的左焦点为F，左、右顶点分别为 A, C，上顶点为B 过F, B, C作圆P，其中圆心P的坐标为m,n .当m0时，椭圆离心率的取值范围为（oJT音，又 b 1 , 解得卫2 b 0,b 0）的左、右焦点分别为F1,F2 ,若E上点A满足AF1 b22 AF2RAF?的取值范围为，则E的离心率的取值范围是3, 5C. 3,57,9【答案】B由双曲线的定

10、义有AFiAF22a,又 AFi| 2AF2I,故 AF4a, AF22acos F| AF24a +2a 22c 25a2cos F1AF2e .7,3 .B2 4a1,2 即8.已知点F1,F2分别是双曲线C:4a22 y又F1AF2的取值范围为2 n,5 e24e2 9.1（b0）的左、右焦点,O为坐标原点，点 P在双曲线C的右支上，且满足 f1f2Aa . 1,【答案】由 |FiF2PFi2OP , tan PF2F1 3，则双曲线C的离心率的取值范围为（B .肓2 OP 得，OPPF2F1F2C. I,”D.,2c,根据三角形的性质可知,4c .由双曲线的定义可得,PF 3 PF2，

11、可得 PF2, a .所以 PF12c2 PF1F2为直角三角形，且PFi PF2，PF1时22a，又4c2可化为4c，即 PF2a2，而PF2, a,a , 4a ,解得c,109 .已知双曲线y（a0, 00）的离心率为e,过右焦点且斜率为 2e-2的直线与双曲线两个交点分别位于第三象限和第四象限，则双曲线离心率的取值范围是（5、A . （1, 5）B. （ 5, +8）C. （ 1, 2）D . （2 . +8）因为过右焦点且斜率为2e- 2的直线与双曲线两个交点分别位于第三象限和第四象限,故斜率2e 2小于渐近线的斜率0,故0 2eb 2（e 1） .e2 1两边平方有e 1 e 1

12、3e 5e 5 因为e 1故11 a 0,b 0的左、右焦点，点P Xo, yo10.在直角坐标系xOy中，Fp F2分别是双曲线是双曲线右支上的一点，满足LULTPFuuu0，若点P的横坐标取值范围是Xo5 4a, a4 3，则双曲线C的离心率取值范围为（lur 由PFLULUPE 0可得，X。由于X）（5a,4a），所以故选:11.已知R、F2是双曲线167325.2y0X） c2 X02 b2c20 , 2 X0a2（b2 c2）253,22 y b2a2（b2c2）16 2a ,9_91（a 0,b0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M

13、在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 （A. （2, ） B. （ .3,2） C.（迈D. （1r. 2）双曲线X2 -岭=1的渐近线方程为y= -X,a b a不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 拌 （X -C）,b c bc与y= - x联立，可得交点 M（,- ）,a 2 2a点M在以线段F1F2为直径的圆外,|0M| |0F2|,即有 仝+答 c2,4 4a 3,即即 b2 3a2, 2c2 a23a2,即卩 c2a.则 e= 2.双曲线离心率的取值范围是（+s）.12.已知Fi, F2分别为双曲线21（a 0,b 0）的左、右焦点，若在双曲线右支

14、上存在点P，使得点F2到直线PFi的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是1八5D. 、5,双曲线的渐近线为bx,由极限思想，设过F1且与一条渐近线平行的直线 i的方程为ybx ay bc 0,依题意若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PFi的距离为a，则点F2到直线l距离大于a，即d2bc aa b13.已知函数 f （x）= x3+ （a 1）x2+3x+b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物（一3, - 2）.函数f （x）= x3+ （a- 1） x2+3x+b的图象与x轴有三个不同交点，即是方程 x3+ （a- 1） x2+3x+b= 0有三个 不等实根.

15、由题得 1 是方程的根，故有 1+ （a- 1） +3+b = 0? b =- a- 3? x3+ （a - 1） x2+3x+b= x3+ （a - 1） x2+3x- a -3 =（ x - 1） x2+a （x+1） +3 = 0.因为交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率 故方程g （x）= x2+a （x+1） +3 = 0有两个根，且一个根在（0, 1） 上，另一根在（1, +8）上, 由图得, 有 g（ 0） 0 且 g （1）v 0?a- 3且 av- 2,故满足要求的实数 a的取值范围是（-3,- 2）.14.已知椭圆x2 y 1（0b 1）的左焦点为F,左？右顶

16、点分别为 A,C,上顶点为B.过F,B,C作圆P,其中圆心P的坐标为 m, n .当m n 0时，椭圆离心率的取值范围为由题,Fc,0 ,B0,b ,C 1,0，设BC的中点为M,且 kBC b,则BC的中垂线为1,FC的中垂线为b 1 1 1 cy x x2 b 2 2联立 可得 21 c b cx y 2 2bb2 c0,所以 b bc b2 c 0,1 卩 1 b b c 0, 2bc,即 b2b c 2c ,1,则0 ea2 2故答案为:0号Fi、F2，且两条曲线在第一象限的焦15.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为点为P， PF1F2是以PF,为底边的等腰三角形

17、，若PF1 10，椭圆与双曲线的离心率分别为 、e2，则ed 1的取值范围是设PF,设椭圆和双曲线的焦距为 2c c 0，设椭圆的长轴长为 2a，双曲线的实轴长为 2a2，由于PRF2是以PR为底边的等腰三角形，且 PR由椭圆的定义可得 mn 2a1，由双曲线的定义可得10，m 10，2a2，2c，a1 5 c， a2 5由三角形三边关系可得由离心率公式可得ee2a1F1F2 PF1，即 4cc c c ca2 5 c 5 c 25 c25 1 3,2 1 c4 4则eq 1 7 因此，qd 1的取值范围是33故答案为：16 已知点FuF2分别是双曲线x2 2 1 b 0的左、右焦点，0为坐标

18、原点，点P在双曲线C的右 b支上，且满足 F,F22OP，tanPF2R 4，则双曲线C的离心率的取值范围为2OP，可得 |0P|故PFiF 2为直角三角形，且PF1PF2，. 2 2 2- |PF1 | |PF2| |F1F2| 由双曲线定义可得| PFi | PF21 2a / tanPF2F1 PF14 PF2，可得又（2 aPF2）2 |PF2|24c2,整理得 （PF2 a）- （PF2 a）2 2c2/2a 、2a）25a2C2 17a2 9，17 、17e 丁，即双曲线C的离心率的取值范围为（1,三答案：（1,17.已知F1、F2分别是双曲线2 2a b1 0, b0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点 P,UJU使得（OPluur uuLUiOF2 ）?F2P（0为坐标原点），且|PF1| 、3|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是【答案】1e 1 、3uuurUJU UUU（OP OF2） ?F2P 0,即为UUJ UJUJ（OP 0F2）?（ OP 0F2 ）= 0,uuu ujun即为 OP CJFJ2,可得 |OP|= c,即有/ F1 PF2= 90 设