高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题地判定与性质Word文档格式.docx

1、，可以推证BCAE，结合AESB完成AE平面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.【例2】 已知：MN=AB,PQM于Q，PON于O，ORM于R，求证：QRAB.【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）ab,acbc;（2）a,bab;（3）三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线

2、、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】 已知如图（1）所示，矩形纸片AAA1A1,B、C、B1、C1 分别为AA,A1A的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图（2）形状（正三棱柱），若面对角线AB1BC1，求证:A1CAB1.例3题图解（1）【解前点津】 题设主要条件是AB1BC，而结论是AB1A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里

3、要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.例4题图【例4】 空间三条线段AB,BC,CD,ABBC,BCCD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的

4、取值范围是 .【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,AD1的长是AD的最小值,其中AHCD1,AH=BC=4,HD1=3,AD1=5;在直角AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： bM bM.其中正确的命题是 （ ）A. B. C. D.2.下列命题中正确的是 （ ）A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线

5、，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体PDEF中，必有 （ ）第3题图A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 （ ）A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面

6、和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面,满足:l=,l,m和m,那么必有 （ ）A.且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 （ ）A.1 B.2 C. D.7.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直； 异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 （ ）A.0 B.1 C.2 D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面、满足a，b，则下面正确的结

7、论是 （ ）A.与必相交且交线md或m与d重合B.与必相交且交线md但m与d不重合C.与必相交且交线m与d一定不平行D.与不一定相交9.设l、m为直线，为平面，且l，给出下列命题1 若m，则ml；若ml，则m；若m，则ml；若ml，则m，其中真命题的序号是 （ ）A. B. C. D.10.已知直线l平面，直线m平面，给出下列四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则.A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活11.如图所示，ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，则ABC的

8、面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1CB1D1（注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）13.如图所示，在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VCAB.（注：填上你认为正确的一种条件即可）三、能力提高14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH侧面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC边上的高.第14题图（1）求证:VCAB;（2）若二面角EABC的大小为30,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如图所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.第15题图（1）求证

9、：MN平面PAD.（2）求证：MNCD.（3）若PDA45，求证：MN平面PCD.16.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BAD60，AB4，AD2，侧棱PB，PD.BD平面PAD. （2）若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1A1M 18.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，M是AD的中点，N是BD上一点，且DNNB12，MC与BD交于P.NP平面ABCD. 第18题图（2）求平面PNC与平面CCDD所成的角.（

10、3）求点C到平面DMB的距离.第4课 线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 过a上任一点作直线bb,则a，b确定的平面与直线b平行.5.A 依题意,m且m,则必有,又因为l=则有l,而m则lm,故选A.6.D 过P作PDAB于D，连CD，则CDAB，AB=，PD=7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然与不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm11.cm2 设正三

11、角ABC的边长为a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件ACBD（或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等）时,有A1CB1D1（注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）.点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.（1）证明:H为VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE为

12、斜线AB在平面VBC上的射影,ABVC.（2）解:由（1）知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC为二面角EABC的平面角，EDC=30,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.VCD为VC与底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC与面ABC所成角为6015.证明：（1）如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，则有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE为平行四边形.MNAE.第15题图解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.（2）PA平面AB

13、CD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.（3）PA平面ABCD，PAAD.又PDA45，E为PD的中点.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如图（1）证：由已知AB4，AD，BAD60第16题图解故BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-22412.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90即ADBD.在PDB中，PD，PB，BDPB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.（2）由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面A

14、BCD，PDE是PD与底面ABCD所成的角.PDE60，PEPDsin60作EFBC于F，连PF，则PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE故二面角PBCA的大小为arctan17.连结AC1，RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90A1MAC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂线定理知AB1A1M. 要证AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1A1M，而AC1A1M一定会成立18.（1）证明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又已知DNNB12，由平行截割定理的逆定理得NPDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.（2）NPDDCC，NP、CC在同一平面内，CC为平面NPC与平面CCDD所成二面角的棱.又由CC平面ABCD，得CCCD，CCCM，MCD为该二面角的平面角.在RtMCD中可知MCDarctan，即为所求二面角的大小.（3）由已知棱长为a可得，等腰MBC面积S1，等腰MBD面积S2，设所求距离为h，即为三棱锥CDMB的高.三棱锥DBCM体积为