用分离变量法解常微分方程.docx

1、用分离变量法解常微分方程用分离变量法解常微分方程用分离变量法解常微分方程 . 直接可分离变量的微分方程1.1形如 = (1.1)的方程，称为变量分离方程，这里，分别是的连续函数.如果(y)0，我们可将（1.1）改写成= ,这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：= + c. (1.2)其中，c表示该常数，分别理解为，的原函数.常数c的取值必须保证（1.2）有意义.使的是方程(1.1)的解.例1 求解方程的通解.解：(1)变形且分离变量：(2)两边积分： ，得.可以验证也是原方程的解，若视和是平等的，则也是原方程的解.我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.例2 曲线上的点处的

2、法线与轴的交点为，且线段被轴平分.求曲线的方程.分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线的方程，用大写的表示法线上的动点，用小写的表示曲线上的点，为过点的法线的斜率.解：由题意得.从而法线的方程为.又被轴平分，与轴交点的坐标为，代入上式，得.整理后，得，分离变量，解得，其中c为任意正数，如图1. 变量可替换的微分方程通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:2.1齐次方程形如 (1.3)的微分方程，称为齐次微分方程.这里是的连续函数.对方程(1.3)做变量变换 ， (1.4)即，于是 . (1.5)将(1.4),(1.

3、5)代入（1.3），则原方程变为 ，整理后，得到 . (1.6)方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解.例3 求微分方程的通解.解：原方程化为 ，即，于是，令，即，将代入该方程，得，整理，即有，分离变量，得 ，两边积分，得，将代回来，得， ，即，其中为任意常数.另,即也是原方程的解，但此解课包含于通解之中.故,方程的通解为.2.2形如 (1.7)的方程，这里均为常数. 此方程经变量变换可化为变量分离方程.我们分三种情形来讨论：2.2.1 的情形.这时方程化为有通解，其中.2.2.2 的情形.令，这时有是变量分离方程.2.2.3

4、的情形.如果方程中不全为零，方程右端分子、分母都是的一次多项式，因此， . （1.8）代表平面上两条相交直线，设交点.若令，.则（2.2）化为，.从而（2.1）变为 . (1.9)因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解.如果方程（2.1）中可不必求解（2.2），直接取变换即可.上述解题的方法也适用于比方程（2.1）更一般的方程类型.例4 求解方程 （2.0）解： 解方程组 , ,得.于是，令,代入方程（2.4），则有 . 再令,即 ，则化为，两边积分，得，因此，代回原变量，得，即.因此，方程（2.3）的通解为，其中，为任意常数.通过上述的求解，我们发现以上的方法是

5、非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法凑微分进行求解.凑微分当方程满足： （2.2）时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.即：将代入方程中，有即展开，得 （2.3）有条件（2.6）可知， （2.4）将（2.8）代入（2.7）中，得.很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为，其中为任意常数.例5 求解方程.解法一：该方程属于（2.2.2）的情形.于是，令.则所以，原方程可化为.这是一个分离变量方程.整理可得.将代入，可得即，通解为.其中c为任意常数.观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以求解.解法二：原方程变形

6、为.整理得.所以.两边积分，得原方程的通解为=C，其中C为任意常数.以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.2.3形如 的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的均为常数.做变量变换，这时有，即.是变量分离方程.而当时，为其特殊形式.例7 求解方程.解：因为 ， (2.5)可以化为.于是，令 . (2.6)则 , (2.7)将(2.9)代入(2.11)可以知道，这是一个分离变量方程.即.两边同时积分，得 . (2.8)再将(2.10)代入(2.12)，得.所以整理得，其中C为任意常数. 2.4其他几种变量能分离的方程类型2.4.1形如 , (2.

7、9)的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.将(2.13)变形为 (3.0)做变量替换 . 这时有 ， (3.1)将(2.15)代入(2.14)中，得.是变量分离方程.2.4.2形如 ， (3.2)的方程是变量分离方程.做变量替换，则 ， (3.3)代入原方程，得.是变量分离方程.2.4.3形如 ， (3.4)的方程是变量分离方程.做变量替换，则，有 ， (3.5)将(2.19)代入(2.18)中，得，所以，原方程同样是变量可替换方程.2.4.4形如 (3.6)（其中、满足）的方程.可令，方程(2.20)化为齐次方程，事实上，由于，所以，即，再，设，可化为变量分离变量.除此之外，还有一些一般形式，如可以通过变量替换化为变量分离方程求解；形如（其中M、N为齐次函数，次数可以不相同）也可通过变量替换化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用.