A3混沌世界的分形描述Word文档格式.docx

1、这篇论文发表于1890年，长达270页，分三部分，第一部分确立动力学方程的普遍性质；第二部分把结果应用于牛顿万有引力作用下的任意多体运动问题。由于太阳系中有许多天体，它的稳定性问题需要研究这些天体在万有引力作用下的运动规律。此即天体力学中的N体问题。19世纪的数学家已经知道，N体问题属于不可积的难题，只能近似求解。庞加莱考虑的是限制性三体问题。所谓限制性三体问题，是当所讨论的3个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略。庞加莱说，这个问题尽管很简单，但不能用一般的分析方法来解决。他着手去寻找小质量体（考虑另外两个大质量体时被忽略掉的那一个天体）的周期运动。这是在论文的第三

2、部分里，庞加莱试图解决微分方程周期解的存在性问题。他在得出形式上的级数解后，没有直接去证明收敛性，却从另外一个角度审视这个问题，意在严格地证明周期解的存在，同时隐含着级数的收敛。他的这种思想是独一无二的，其实用到了拓扑方法，是一种定性而非定量的方法。系统只要在某个时刻重复先前的特定时刻的状态，运动就一定是周期性的。这由微分方程解的唯一性保证。系统的状态是由相空间中的点的坐标表示的。当系统随时间演化时，这点的运动描出一条曲线。要使状态再次回复，这条曲线必须围成一个环。“曲线何时成为闭合的环？”这问题与环的形状、大小、位置统统无关，它取决于一点在此刻的位置与它在一个周期后的位置之间的关系的拓扑性质

3、。正是在这种拓扑思想的指导下，庞加莱发明了一种像病理切片一样的“庞加莱截面”：抛开相空间的轨道曲线，只记录每次穿过截面时截点的变换情况，从而推知系统的运动特征。如果系统作简单的周期运动，那么轨道每次由同一处穿过截面，截面上只有一个不动点。如果运动是非周期的，截面上将有无穷多个无规则的点。庞加莱还为动力系统理论贡献了一系列的概念和方法，如动力系统、奇异点、极限环、同宿的概念和摄动方法等。他是微分方程定性理论的奠基人之一，他创立的组合拓扑学是当今研究混沌学必不可少的工具。庞加莱证明，三体问题一方面有周期解，另一方面某些周期是不稳定的。他在详细研究周期轨道附近流的结构时，发现在所谓的双曲点附近存在着

4、无限复杂精细的“栅栏结构”。他描述说：“当人们试图画出这两条曲线和它们的无穷次相交（每一次相交都对应于一个双渐近解）构成的图形时，这些相交形成一种网、丝网或无限密集的网状结构；这两条曲线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节，它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身之上。这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想画出来。没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念”。庞加莱的发现表明，即使像限制性三体这样简单的系统，也会产生极其复杂的行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性，这其实就是我们今天所说的混沌。庞加莱没有解决太阳系的稳定性问题。但却回答了一个影响深远的普遍性问题：怎样研究复杂动力学系

5、统中的稳定性问题。他因此成为通过数学推理发现混沌的第一个人。庞加莱并没解决N体问题，这个问题的解决依赖于KAM定理。1954年，前苏联学者柯尔莫果洛夫（Kolmogorov A）在阿姆斯特丹的国际数学家大会上，宣读了在具有小改变量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性。在这篇划时代的科学论文中，他提出了一个重要定理。后来他的学生阿诺德（V.I.Arnold）及瑞士数学家莫泽（J.Moser）分别给出了定理的严格证明。因此，这个定理称为KAM定理。柯尔莫果洛夫研究了解析哈密顿系统的椭圆周期轨道的分类，发现了一个充分接近可积系统的不可积系统，对此系统若把不可积当作可积哈密顿函数的扰动来处理，则在小扰动

6、条件下，系统运动图象与可积系统基本一致；当扰动足够大时，系统图象就发生了性质改变，成了混沌系统。这是19世纪以来，人们用微扰方法处理不可积系统，所取得的最成功的结果，具有极为重要的理论意义。它说明了不可积系统的混沌运动的发生机制。KAM定理被国际混沌学界公认为这一新学科的第一开端。美国气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz）在天气预报中的发现是混沌认识过程中的一个里程碑。洛仑兹本来是学数学的，1938年大学毕业后，由于第二次世界大战，使他成了一名气象学家。战后他继续从事气象研究，在麻省理工学院他操作着一台当时比较的先进工具计算机进行天气模拟。在二十世纪五、六十年代，人们普遍认为气象系统虽然非常复

7、杂，但仍是遵循牛顿定律的确定性对象，只要计算机功能足够强大，天气状况就可以精确预报。冯纽曼（Von Noumann）在设计第一批计算机的时候，就以天气模拟为理想任务。他甚至设想通过使用计算机计算流体运动的方程，人类就可以控制天气。天气变化是一种特殊的流体运动对流。洛仑兹将萨尔茨曼（B.Saltzman）的简化对流模型做了进一步的简化，最后得到3个一阶微分方程，后称为洛仑兹方程。洛仑兹把这个方程作为大气对流模型，用计算机做数值计算，观察这个系统的演化行为。洛仑兹终于得出了一个惊人的发现。这个发现的过程本身也很有趣，是个偶然性的小插曲。1961年冬天有一天，他先算出了一个解，还想观察更长时间的演化

8、情况。这次他没有重新输入初始值，而是把中间值作为初值输入节省运算时间，然后他下楼去喝咖啡。当他回到机房取结果时，却惊奇地发现，新一轮运行未按设想去重复旧运行的后一半。两条曲线渐行渐远，直到完全分道扬镳，毫无相像之处。起初，他以为计算机又出了故障。但他很快意识到，问题出在他记录并敲入的小数是三位的，而机器内存储使用的是六位的。这个不到千分之一的误差导致了截然不同的演化结果，表明最初小小的误差可以产生两种完全不同的天气。这正是混沌对初始条件的敏感依赖性。洛仑兹后来把它称为“蝴蝶效应”，并通俗地比喻为：一只蝴蝶在巴西煽动翅膀会在得克萨斯引起一场龙卷风。洛仑兹的模型是对原型的简化，他把一组对流方程简化

9、到只剩下了骨架。他本质上仍是一位数学家，他的数学思维在这里发挥了根本作用。这完全是一个理想的超现实的模型，除了非线性之外，后来的模型几乎什么也没有剩下。这样的模型更能定性地说明气象的本质。如果采用更能确切地刻划系统特点的高阶微分方程，那么数值结果的无规行为，就会被归咎于方程的复杂，因而不便发现混沌。洛仑兹的简单化数学处理，让人们从最简单的模型观察到奇怪、复杂的行为，并理所当然地承认，这种不确定行为源自确定性系统产生的内在随机性。斯图尔特总结说：“多数科学家对那些削去部分的作用忧心忡忡。他们未理解，洛仑兹根本不在意他的方程是否有物理意义。洛仑兹打开了通往一个新世界的大门”。物理上将动力学系统分为

10、保守系统和耗散系统。如果系统中不存在摩擦、粘滞等因素，运动过程中能量守恒，这类系统称为保守系统；如果系统中有摩擦、黏滞性的扩散或热传守性质或过程，在运动过程中消耗能量，系统的能量不能保持恒定不变，这样的系统称为耗散系统。庞加莱在保守系统中发现了混沌，而洛仑兹则是在耗散系统中第一个发现了混沌。通过长期反复的数值实验和理论思考，洛仑兹以巨大的勇气向传统理论提出了挑战，揭示了计算机模拟结果的真实意义。在耗散系统中首先发现了混沌运动。他提示了一系列混沌运动的基本特征。如确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等，他还发现了第一个奇怪吸引子洛仑兹吸引子，并开辟了用计算机进行数值计算来研究

11、混沌的道路。然而，洛仑兹的重大发现并未在当时引起重视。1963，他把第一篇题为确定性非周期性发表在美国的大气科学杂志。数学家很少有人翻阅气象学刊物，而气象学家们会把这个修剪过的对流方程视为左门歪道。因此，他的论文十年内湮没无闻。直到七十年代掀起混沌研究的热潮时，人们才惊奇地发现了洛仑兹的工作成果并开始理解他超越时代的思想。到20世纪70年代，混沌的数学理论和研究工具均已问世。KAM定理和洛仑兹的工作更把物理学家吸引到这个领域中来。物理学家阐明了混沌的实质，并在实验中证实了它的存在，混沌理论进一步得到确认，混沌研究的高潮来到了。二、混沌的产生及特征混沌理论研究的是具有确定性的非线性系统，混沌可以

12、看作是决定论方程的无规运动。混沌的正常状态不同于通常概念下确定性运动的三种状态：静止（平衡），周期运动和准周期运动。比如，它的轨道永不重复但却囿于有限范围，局部不稳定而整体稳定，无限自相似等等，所有这些复杂性特征及其产生机制都是混沌理论所最关注的核心话题。考察混沌的发生不必寻找很复杂的动力系统，选择一个理想的简单“标本”反而可以收到事半功倍的效果。历史上的探索是从一个非常简单的差分方程Logistic方程开始的，由此洞开的混沌世界令人惊奇不已，一系列混沌的实质内容浮出水面，将人们对其特征和涵义的认识引向深入。郝柏林院士将此方程与二体问题模型、布朗运动模型相并列，用以说明经典自然科学的三次飞跃。

13、研究二体运动揭示了确定论范式，研究布朗运动揭示了随机论范式，研究Logistic方程（映射）则揭示了复杂系统的浑沌论范式确定论与随机论相结合的综合范式。1Logistic方程这是一个种群生物学模型。经典的马尔萨斯模型是无限制增长的线性函数，参数代表种群增长率。显然这种增长不受食物供应或道义约束的限制。而现实的模型中，生态学家需要带有附加项的方程，以期在种群数太大时限制增长。按生态学家的设想，最简单的模型莫过于稍稍修改一下马尔萨斯的模型，令。新的因子把增长限制到一定幅度内，因为当上升时，下降。这个函数被称为逻辑斯蒂映射。20世纪50年代，曾有好几位生态学家考察过这个函数的修正形式。R.梅（Rob

14、ert May）是美国的数学生态学家。他先在家乡悉尼学理论物理，后到哈佛大学做应用数学方面的博士后研究工作。1971年他来到普林斯顿高等研究所进行为期一年的访问，他没有做原本应该做的事，转而致力于逻辑斯蒂方程的研究，试图用它来揭示非线性种群模型的古怪特性。梅对这个初中生就已熟悉的最简单方程的行为，进行了大量的数值探索，意在一举弄清这个简单方程的全部行为，不是局部地，而是整体地看清楚这个非线性方程的动力学演化。1976年，R.梅在自然杂志上发表论文表现非常复杂的动力学的简单数学模型，提请大家对简单模型的复杂状态多加注意。这位美国生物学家知道，在全部科学中，专家们都曾看到和讨论过系统的复杂行为，但

15、每一个学科却为混沌贴上了不同的标签。他正在探索的这些惊奇结构，与生物学并无内在联系。如果这些简单模型可以用于不同领域的复杂行为，该有多少其他领域的科学家会同他一样感到激动。他把自己发表的文章想象为“救世箴言”。他从这样一个简单的生态方程出发，讨论一个系统是怎样走向混沌的。R.梅实际观察的是离散化的逻辑斯蒂差分方程他研究了成百个参数值。对每个参数，他观察这成串的迭代数字是否以及在何处趋向一个不动点。比如时，种群数为0.6292。随着参数增大时，种群数也稍有增加。如果参数表示在横轴上，种群数表示在纵轴上，则当参数限定在0与3之间，这种种群数依赖于参数变化就会形成一条从左向右微微上升的曲线。但当参数

16、超过了3时，曲线突然地一分为二，的值在两个不同数之间振荡。这是周期2循环。此时定态失稳，成为周期性的。当把增大到3.444时，周期2吸引子也失稳，出现周期4循环，即种群数在4个不同值之间跳跃，周期再次加倍。当增大到3.56，周期又加倍到8；到3.567，周期达到16，此后便是更快速的32，64，128周期倍增数列，这种现象叫做倍周期分岔。这种倍周期分岔速度如此之快，以至到3.5699就结束了：倍周期分岔现象突然中断，周期性让位于混沌，表现为一种永不落入定态的涨落。所有这一切看起来是非常简单的，当从0趋向4时，动力学性态的复杂性稳定增长：定态周期性态混沌性态倍周期分岔则是使混沌开始发生的机制。但

17、这并非尽然！R.梅还会更深层的发现！参数值继续上升，非线性对系统的驱动越来越强，稳定的周期又突然地出现，形成有规则性的窗口，倍周期分岔以更快的速度全面展开，很快地经过3,6,12，或7，14，28，这些周期，然后再次中断，进入新的混沌。R.梅把不同参数的迭代结果画在一张图上，得到倍周期分岔图，从中可以了解逻辑斯蒂映射的全部动力学性态。分岔是动力学系统的吸引子定性形式的任何变化；逻辑斯蒂映射恰恰充满着分岔。如此复杂的动力学行为使R.梅深感震惊，他把它描述为“数学草丛中的一条蛇”。进一步的观察还发现，即使在混沌区也还包含着复杂、精细的几何结构。首先，从参数由大到小看混沌区的变化会发现，为4时呈单片

18、混沌。当参数降至3.6786时，混沌区一分为二，迭代数值在两个混沌带来回跳跃。为3.5926时，两个混沌带分成四个，然后八个带，十六个带，直到临界参数3.5699为止。混沌区以与周期区相反的方向从右向左依次分为21，22，2n，个带，叫做混沌区的倒分岔。其次，混沌区的窗口内也非空白。窗口内的演化是周期性的，最大的一个窗口是周期3窗口，位于3.828处。往左还有5，7，9，等周期窗口。在2n带区内有2n3，2n5，2n7等周期窗口。若把周期窗口中某一部分放大，会发现与分岔图相同的精细结构。这种二级结构与一级结构构成奇妙的自相似嵌套结构。进一步把二级结构放大，还会发现嵌套在内的三级结构，四级结构，

19、。可见，混沌区中存在着无穷层次的自相似结构。这确实有点不可思议！这么一个简单的确定性方程，却产生了如此多的随机内容！而且，这么久以来人们还未曾把它产生有序和无序的可能性研究穷尽。事实上就是没有穷尽，梅的计划只是一个开端。美国物理学家费根鲍姆（Mitchell， Feigenbaum）从中发现了更多的东西。2费根鲍姆的普适常数费根鲍姆在美国的洛斯阿拉莫斯实验室工作。他同事谁也搞不清他在从事什么工作，包括他本人。他的雇主卡拉瑟斯是一位和蔼的但雄心勃勃的物理学家兼科学管理工作者，他知道，好的科学工作往往不出自计划。他认为“费根鲍姆具有正确的背景。他在正确的时候做正确的事，而且做得很出色。他不是做局部

20、的事情。他把整个问题弄清楚了”。费根鲍姆有一个信念，物理科学未能理解艰难的非线性问题。当他开始在洛斯阿拉莫斯思考非线性时，他意识到正规教育中没有任何有用的东西。除了教科书中专门设计的特例，求解非线性微分方程组是不可能的。通过微扰技术求解，希望它与真正问题相接近，看来是愚蠢的。费根鲍姆最终确定从简单的类似于R.梅研究过的映射开始。他同时进行数值工作和理论分析，但迟迟看不到方程的整体图象，但能够看出，各种可能性非常复杂，分析起来会极其困难。他知道洛斯阿拉莫斯的三位数学家1971年已经研究过这类映射，其中的P.斯坦还提请他注意：这类映射甚至比任何人想象的还要复杂。于是，问题曾一度被束之高阁。然而，1

21、975年夏天，他去科罗拉多的山间小镇参加了一次会议，会上他听了拓扑学和动力学专家斯梅尔（S.Smale）有关动力学系统的介绍。斯梅尔先介绍了逻辑斯蒂映射和倍周期分岔走向混沌。斯梅尔指出，某些有意义的现象可能就发生在周期转为混沌的临界处。同以往一样，斯梅尔对重要问题有敏锐的直觉。费根鲍姆又一次受到鼓舞，他决定重新研究逻辑斯蒂方程。费根鲍姆决定先精确算出分岔点的参数值。由于计算器太慢，每一次周期倍分的精确参数值要用好几分钟才能算出来，而且越往前走，时间越长。为了节省时间，他试图猜测下一个参数会在何处。忽然他发现一个出乎意料的规律：这些数字是几何收敛的。也就是说，相邻两分岔点的间距是几何收敛的。如果

22、将2n周期点分岔处对应参数记为，表示和之间的距离，且记.费根鲍姆发现当n逐渐增大时，趋于一个固定的极限值，即有费根鲍姆还发现，周期轨道之间的距离也是收敛，这个极限值R.梅从逻辑斯蒂方程得到丰富的定性信息，他也曾看到过这个几何收敛，但很快就忘记了。他为方程的整体行为而激动，但没有意识这些数值细节会证明是重要的。费根鲍姆知道这些定量信息的重要性，因为几何收敛意味着方程中有些标度变换性质。在这样不守规矩的系统中，蕴含着某些标度变换下能保持下来的性质。在方程的湍流表面之下，藏着某种规律性。现在需要进一步确证这两个常数的普适性。费根鲍姆想起了他的同事斯坦等人还观察过其他方程，并发现了同样的周期倍增现象。

23、发现一个多月之后，他终于下定决心把超越函数拿来做迭代试验。这一次，计算器算得更慢。但他还是很快发现，这个超越函数的迭代，其分岔间距比也是几何收敛的，更令他激动的是收敛速度（每次缩小的倍数）也是4.669。后来人们进一步发现，一维单峰映射都有相同的收敛速率和标度因子而且，在许多包含耗散的高维非线性系统中，只要出现倍周期分岔序列，就会有同样的普适常数。当然，对于明显不同的峰形（如扁平峰或尖峰）和多峰来说，就不是这两个数值了。对于保守系统，与一维单峰映射对应的普适常数因此，根据普适常数的不同可以划分不同的普适类，每一类内的映射的普适常数相同。同类映射中，我们只要研究一个最简单的典型实例即可。斯图尔特

24、说：“费根鲍姆像一个魔术师，他从混沌大礼帽中抓出了普适性的兔子”。普适性的重要意义不仅在于他是一个伟大的思想结果，而且在于由此可以找到定量上完全相同的性质、可以预言的性质。1977年物理学家利布沙伯（ A.Libchaber）设计了一个理想化的但却真实的对流实验。随着温度的升高，他观察到了周期振荡的周期倍增效应，并验证了标度比4.669。费根鲍姆的普适常数从数学理想变成了物理现实，可以测量，可以再生。此后几年，世界各地进行的一大批实验证实了费根鲍姆的预言。不仅仅在湍流中，而且在电子学、光学，甚至生物学中。费根鲍姆的发现，改变了人类对宇宙的认识。3奇怪吸引子为了描述动力学系统的演化，要用到物理学

25、中的相图。在物理学中，把表示动力学系统在任一时刻所处的状态（即速度和位置）叫做相，用相空间中一个点表示；这个点就是该时刻的动力系统；动力学系统的演化用相空间的一条曲线表示。系统的时间史全部包含在这条相空间中的轨道上，这有利于观察系统的变化。相空间是庞加莱发明，并由美国拓扑学家斯梅尔（Stephen Smale,1930-）继承和发展的定性方法，这是现代科学最强有力的发明之一。斯梅尔的思想非常独特。他对动力学作出过非常重要的贡献，包括1906年证明庞加莱猜想五维以上情形（他为此获菲尔兹奖）。他研究动力学系统时依据的是相图的拓扑特性，而不是定义他们的公式。为强调新的观点，斯梅尔用术语“动力学系统”

26、来代替“微分方程系统”。在他看来，动力学系统最重要的属性是它的长期性态。吸引子作为它稳定下来成为的任何东西，即系统的稳定态，无疑是最值得的关注的。系统的运动只有到达吸引子上，才能稳定下来并保持下去。就平面内的结构稳定系统而言，吸引子只有两种：不动点和根限环。这就是说，系统的长期运动状态只能是静正和周期性重复某种运动系列。比如单摆运动，无摩擦力时，相图是一个闭环，这说明吸引子为极限环。当考虑摩擦时，摩擦会使摆的运动慢下来，最后停在一个定点，即中心点上。即系统趋于相空间中一个特定的点不动点。另外，逻辑斯蒂映射即有不动点，也有极限环（2周期点，4周期点等等都是极限环）。在经典动力学系统中还有第三种吸

27、引子二维环面，它表示准周期运动。在这种运动中，质点同时作两种周期运动，是两重周期运动的叠加运动。那么这两种运动的合成还是周期运动吗？事实上，当两周期之比为有理数时，合成运动依然是周期运动；当两周期之比为无理数时，合成运动不再是周期运动。但可以证明，在经过足够长的时间之后，质点总可以转回到与其出发点任意接近的地方。也就是说，运动从不重复却又“几乎重复”，故称为准周期运动。这种运动常常出现在经典动力学中，因为天体力学中存在许多叠加现象。湍流是困扰物理学家的一个古老难题，同时也是促发混沌发现的一个重要因素。法国的数学物理学家吕埃勒（D.Ruelle）和荷兰数学家塔肯斯（F.Takens）正是在解释湍

28、流的形成机理时，提出奇怪吸引子的概念。湍流究竟是什么？它是各种尺度上的一堆无序，大涡流中套着小涡流。它是不稳定的。它是高度耗散的，是一种变得随机的运动。然而，流体怎么越过从平滑层流到湍流的分野的呢？20世纪40年代，俄国科学家朗道（Landa L D）提出了一个假说。他认为，湍流是许许多多互不相容的频率叠加在一起的结果。后经德国数学家霍普夫（Hopf E）补充，形成了流行三四十年之久的朗道一霍普夫理论。吕埃勒其实并不精通流体流动，但他认为，新事物总是非专家发现的，况且湍流还没有深奥的理论，只有一些非专家就可以理解的性质。他听过斯梅尔的报告，知道斯梅尔的通过伸缩和折叠进行马蹄变换的拓扑思想。基于

29、斯梅尔的语言，他和来访的塔肯斯合作，于1971年发表了论湍流的本质一文，提出用混沌来说明湍流形成机制的新观点。他们认为，湍流中的能量消耗必然要导致相空间的收缩，从而收向某种其他类型的吸引子。这种吸引子应该具有稳定性、低维性和非周期性。它是相空间中有限区域中的一条无限长轨道。两位数学家是靠数学推论作出这个断言的，他们自己从来没有见过，也没在文章里给出示意图。但是仅有这个论断就足以奠定他们在混沌研究中的历史地位了，他们提出了一个完全不同的通往湍流的道路。其实，吕埃勒和塔肯斯设想的图像早在十年前就已经存在了。1963年，洛仑兹在自己的论文中附了一张图，图中画了一条十分复杂的曲线，正是奇怪吸引子，后称为洛仑兹吸引子。这条曲线分