函数与数列极限的定义区别Word格式.docx

1、读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列an为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，为半径的开区间（A-,A+），总可以在数列an中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有an的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着而存在的，一般来讲，N随着的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数即可.2性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列an收敛

2、，则an为有界数列；（3）若数列an有极限A，则其任一子列ank也有极限A；（4）保号性，即若极限A0，则存在正整数N1，nN1时an0；（5）保序性，即若，且AN1时an0，总存在着正数，使得对于适合不等式|x|的一切x，对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-A|0，使得f（x）在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；（3）局部保号性若，则存在10，使得时，f（x）0，当x趋于无穷大时，亦成立；（4）局部保序性若，且A0，使得时f（x）M）时，有2（或），则（或）（3）一个重要不等式时，2单调有界数列必有极限3xx（Cauchy）极限存在准则数列an收敛的充分必要条件是：对于任

3、意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m，nN时，有|xn-xm|.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为an=f（n）；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f（x）存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。数列an的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。计算极限的常用方法1.利用xx法则三这是最常用的方法，主要针对未定型

4、极限：注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限3.利用xx公式4.利用迫敛性5.利用定积分求和式极限6.利用数列的递推关系计算极限7.利用级数的收敛性计算极限8.利用积分中值定理计算极限计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出- 数列极限的-N定义是极限理论的重点与核心.都成立，那么就称常数A是数列an 的极限，或者称数列an收敛于A，记作大全，函数。（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f（x）都满足不等式，则常数A为函数f（x）在xx0时的极限，记作上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为1对：（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.极限存在准则（1）-