圆锥曲线定义及应用精文档格式.docx

1、=4x , x 0, 0, x AO ,所以点 Q 的轨迹是 以 A 和 O 为焦点半径 r 为长轴长的椭圆。 A 是圆 O 点,点 Q 的轨迹是双曲线。8.已知动圆 A 和圆 B :（x+32 +y2=81（x-32+y2=1外切,求动圆圆心 A 的轨迹方程。 解:设动圆A的半径为R,则动圆 A 和圆 B 内切,所以|AB |=|PB |-R,动圆 A 和圆 C 外切 , 所以 |AC |=|CQ |+R, 所以|AB |+ |AC | =|PB |+|CQ |=9+1=10由椭圆定义知,动圆圆心 A 的轨迹为B,C为焦点的椭圆,方程为: 3. 已知动圆 A 和圆 B :（x+32+y2=9

2、及圆 C :（x-32+y2=1都内切,求动圆圆心 A 的轨迹方程。动圆 A 和圆 B 内切,所以|AB |=R-|PB |, 动圆 A 和圆 C 外切 , 所以 |AC |=R-|CQ |, 所以|AC |-|AB | =|PB |-|CQ | =3-1=2由双曲线定义知,动圆圆心 A 的轨迹为B,C为焦点的双曲线的一支,方程为:（118-=+x y x9. 如图, ABCD 是一张矩形纸片, AB=4,AD=8,按图形所示方法进行折叠,使折叠后的 B 点都落在 AD 上,此时 B 记为 B ,（注:折痕 EF 中,点 F 也可落在边 CD 上。过 B 作 B T CD 交EF 于 T 点,

3、求 T 点的轨迹方程 .分析:本题是有关折叠问题的一道题,应注意折叠前后的图形联系。就本题而言,连结 TB 后,有 |TB|=|TB|,即 T 到定点 B 的距离与到直线 AD 距离相等,所以 T 的轨迹为抛物线, 剩下的工作就是建系,求方程及范围,同样应注意应用图形的几何性质 .解:连结 TB ,由 EBT 与 EB T 全等可知, |TB|=|TB|即动点 T 到定点 B 与到定直线AD 距离相等,所以 T 的轨迹为抛物线的一部分, B 为焦点, AD为准线,以 AB 的中垂线为 x 轴,以 BA 为 y 轴建立直角坐标系, AB 中点为 O ,设其方程为 x 2=-2py,则 |OB|=

4、2p=2,所求方程为 x 2=-8y. 当沿 x 轴为折痕时, T 在原点 O ;当沿 A 与 BC 中点连线为折痕时, T 在 BC 的中点,所以 T 点横坐标范围是 0 x 4. T 点的轨迹方程为 x 2=-8y（0 x 4.二、定义应用（注意变化中的不变性,注意焦点与焦点、焦点与准线间的转化1.M 是椭圆 14922=+y x 上的任意一点, F 1、 F 2是椭圆的左右焦点, 12MF MF 则 的最大值是 . 分析:621=+MF MF ,21MF MF 2212+MF MF =9 答案是 92. 如图, M 是以 A 、 B 为焦点的双曲线 222x y -=右支上任一点, 若点

5、 M 到点 C （3, 1与点 B 的距离之和为 S ,则 S 的取值范围是（ A、 + B、 + C、 -+ D+此题的得分率很低, 用函数观点求解困难重重。 若能利用双曲线的第一定义,则势如破竹。解法如下:连结 MA ,由双曲线的第一定义可得:2MB MC MA a MC +=-+MA MC =+-=- 当且仅当 A 、 M 、 C 三点共线时 取得最小值。 如果此题就到此为止, 未免太可惜了! 于是笔者进一步引导学生作 如下的探究:变式 （1 如果 M 点在左支上, 则点 M 到点 C （3, 1 与点 B 的距离之和为 S , 则 S 的取值范围是多少?变式（2如果 M 是以 A 、

6、B 为焦点的椭圆 22143x y +=上任一点,若点 M 到点 1,12C 与点 B 的距离之差为 S ,则 S 的最大值是多少?变式（3如果 M 是以 A 、 B 为焦点的椭圆 22x y +=上任一点,若点 M 到点1,12C 与点 B 的距离之和为 S ,则 S 的取值范围是多少?连结 MA ,由椭圆的第一定义可得:（22MB MC a MA MC a MA MC +=-+=-,当且仅当 A 、 M 、 C 三点共线时取得最大、最小值,如上图所示。对于抛物线,也有类似的结论,由于较简 单,在此就不一一列举了。3. 已知定点 M （3, 2 , F 是抛物线 y2=2x的焦点,在此抛物线

7、上求一点 P , 使 |PM|+|PF|取得最小值,求点 P 的坐标 分析:如图,由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离 相等。 即 |PF| = |PN| |PM|+|PF|= |PM|+|PN|当 M、 P 、 N 三点共线时距离之和最小。例 2、 2008年福建省高考数学试题选择题 文科第 12题、理科的第 11题:双曲线 22221x y a b -=（a 0,b 0的两个焦点为 F 1、 F 2, 若 P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为A 、 （1,3B 、 （1,3C 、 （3,+ D、 3, +若能利用双曲线的第一定义,

8、则迅速获解 . 解法如下:不妨设 |PF2|=m,则 |PF 1|=2m ,故 a=m, 由 |PF 1|+|PF 2| F 1F 2|可得 , 323, 13cm c e e a=, A 是椭圆 C 的短轴左顶点,过 A 点作斜率为-1的直线交椭圆于 B 点,点 P （1, 0 , 且 BP y 轴,APB 的面积为 9.（1求椭圆 C 的方程; （2在直线 AB 上求一点 M ,使得以椭圆 C 的焦点为 焦点,且过 M 的双曲线 E 的实轴最长,并求此双曲线 E 的方程 .同样 , 此题若采用函数观点 , 问题（2将变得复杂化!若能利用双 曲线的第一定义,则解答就容解易得多了。简解:（1

9、, 2921=PB AP S APB 又PAB=45, AP =PB ,故 AP =BP =3. P（1,0 , A （-2,0 , B （1, -3 b=2,将 B （1,-3代入椭圆得:191b b a =+=得 212a =,所求椭圆方程为 221 124y x +=（2设椭圆 C 的焦点为 F 1, F 2,则易知 F 1（0,- F 2（0, , 直线 AB 的方程为:20x y +=, 因为 M 在双曲线 E 上, 要双曲线 E 的实轴 最大,只须|MF 1|-|MF 2|最大,设 F 1（0,-AB 的对称点 为1 F（-2,-2,则直线 12F F 与直线的交点为所求 M ,

10、因为 12F F 的方程为:（30y x +-=,联立 （3020y x x y +-=+= 得 M （1, 3-又 2a =|MF 1|-|MF 2|=|M 1 F |-|MF 2|21| |F F =,故 2, 6 max=b a , 故所求双曲线方程为:1 62y x -=例 5:点 A （3, 2为定点,点 F 是抛物线 y x 24=的焦点,点 P 在抛物线 y 2=4x 上移动,若 |PA PF +取得最小值,求点 P 的坐标。分析：题设中|PF|是抛物线的焦半径，则|PF|等于点 P 到其准线的距离，所以 | PA|+| PF | 的最小值即可转化为|PA|+d 的最小值. 解

11、： 抛 物 线 y = 4 x 的 准 线 方 程 为 x = -1 ， 设 P 到 线 的 距 离 为 d ， 则 2 | PA|+| PF | = | PA|+ d 。要使 | PA|+| PF | 取得最小值，则过 A 向准线作垂线 y=2 可知此时 | PA|+ | PF | 取得最小值，把 y = 2 代入 y 2 = 4 x ，得 P（1，2）. 例 6 一直线过圆锥曲线的焦点 F1 且倾抖角为 600 ，它与圆锥曲线交于 A 、 B 两点，若 |FA|=2|FB|，求该圆锥曲线的离心率 分析：因AB是焦点弦，故其焦半径可以转化为点A、B到准线的距离，利用平面几何 图形性质，结合统

12、一性定义可得以解决 解：设|FB|x，则|FA|=2x，|AB|=3x,过A、B两点且平行于x轴的直线分别交其相应的 2x x ,| BN |= , （e为圆锥曲线的离心率）.过B点作BKAM, K e e 3x 3x x 2 x + = 为垂足， 由于直线AB与x轴成600， 由此可求得： |AK|= ,又|AM|=|AK|+|BN|,即 , 2 2 e e 2 所以e= . 3 准线于M、N两点，则|AM|= 【数学理卷 2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试 （201411） word 版】 8 设 点 P 是椭圆 x2 y2 右焦点，I 为 DPF1 F2 + = 1（a

13、 b 0 上一点，F1 , F2 分别是椭圆的左、 a2 b2 的内心，若 S DIPF1 + S DIPF2 = 2 S DIF1F2 ，则该椭圆的离心率是（ ） 。 1 A 4 B 2 2 C 1 2 D 3 2 【知识点】椭圆方程，离心率 H5 【答案解析】 C 解析：设 DPF1 F2 的内切圆半径为 r ，则由 S DIPF1 + S DIPF2 = 2 S DIF1F2 得 1 1 1 PF1 + PF2 = 2 F1F2 2a = 2 2c PF1 r + PF2 r = 2 F1 F2 r ， 即 ， 所以 2 2 2 1 e= 即 2 。 【思路点拨】设出内切圆半径，根据面积条件列出相应等式，找到椭圆中量的关系即可求出 离心率。