初中数学竞赛专题讲义第十二讲 平行线问题Word文档下载推荐.docx

1、过C点作直线 l，使 la（或 b）即可通过平行线的性质实现等角转移证 过C点作直线l，使la（图119）因为ab，所以bl，所以1+2=180（同侧内角互补）因为AC平分1，BC平分2，所以又3=CAE，4=CBF（内错角相等），所以3+4=CAE+CBF说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立， 即“两条直线a，b被直线AB所截（如图120所示），CA，CB分别是BAE与ABF的平分线，若C=90，问直线a与直线b是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似（将条件与结论交换位置），因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解例2 如图121所示，AA1BA2求A1-B1+A2分析

2、本题对A1，A2，B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关也就是说，不管A1，A2，B1的大小如何，答案应是确定的我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即A1+A2=B1 猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明式给我们一种启发，能不能将B1一分为二使其每一部分分别等于A1与A2这就引发我们过B1点引AA1（从而也是BA2）的平行线，它将B1一分为二证 过B1引B1EAA1，它将A1B1A2分成两个角：1，2（如图122所示）因为AA1BA2，所以B1EBA2从而1=A1，2=A2（内错角相等），所以B1=1+2=A1+A2，即 A1-B1+A2=0说

3、明（1）从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图123所示连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有A1+A2+A3=B1+B2（即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和）即A1-B1+A2-B2+A3=0进一步可以推广为A1-B1+A2-B2-Bn-1+An=0这时，连结A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，Bn-1An（当然，仍要保持 AA1BAn）推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况（2）这

4、个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题问题1 如图124所示A1+A2=B1，问AA1与BA2是否平行？问题2 如图125所示若A1+A2+An=B1+B2+Bn-1，问AA1与BAn是否平行？这两个问题请同学加以思考例3 如图126所示AEBD，1=32，2=25，求C分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如1=DFC或AFB若能将1，2，C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标解 过F到 FGCB，交 AB于G，则C=AFG（同位角相等），2=BFG（内错角相等）因为 AEBD，所以1=BFA（内错角相等），C=AFG=BFA

5、-BFG=1-2=32-2=22=50说明（1）运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行线）的常用技巧（2）在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：1=DFC=C+2，即C=1-2=22=50例4 求证：三角形内角之和等于180分析 平角为180若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种证 如图127所示，在ABC中，过A引lBC，则B=1，C=2（内错角相等）显然 1+BAC+2=平角，所以 A+B+C=180说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个

6、内角“转移”到任意一点得到平角的结论如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法例5 求证：四边形内角和等于360分析 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程 证 如图128所示，四边形ABCD中，过顶点B引BEAD，BFCD，并延长 AB，CB到 H，G则有A=2（同位角相等），D=1（内错角相等），1=3（同位角相等）C=4（同位角相等），又 ABC（即B）=GBH（对顶角相等）由于2+3+4+GBH=360，

7、所以A+B+C+D=360说明（1）同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变（2）总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180=（3-2）180四边形内角和=360=2=（4-2）人们不禁会猜想：五边形内角和=（5-2）=540n边形内角和=（n-2）这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单（3）在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法例6 如图129所示直线l的同侧有三点A，B，C，且ABl，BCl求证： A，

8、B，C三点在同一条直线上分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处证 过B作直线 BD，交l于D因为ABl，CBl，所以1=ABD，2=CBD（内错角相等）又1+2=180ABD+CBD=180即ABC=180=平角A，B，C三点共线思考 若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，An-1，An，且有AiAi+1l（i=1，2，n-1）是否还有同样的结论？例7 如图130所示1=2，

9、D=90，EFCD求证：3=B分析 如果3=B，则应需EFBC又知1=2，则有BCAD从而，应有EFAD这一点从条件EFCD及D=90不难获得证 因为1=2，所以ADBC（内错角相等，两直线平行）因为D=90及EFCD，所以ADEF（同位角相等，两直线平行）所以 BCEF（平行公理），3=B（两直线平行，同位角相等）练习十二1如图131所示已知ABCD，B=100，EF平分BEC，EGEF求BEG和DEG2如图132所示CD是ACB的平分线，ACB=40，B=70，DEBC求EDC和BDC的度数3如图133所示ABCD，BAE=30，DCE=60，EF，EG三等分AEC问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4证明：五边形内角和等于5405如图134所示已知CD平分ACB，且DEACCDEF求证：EF平分DEB