面向新世纪的数学教育Word格式.docx

1、微分方程被用于生理学，组合方法被用于发生键，扭结理论被用于模拟DNA。与此同时，在神经生理学中要使用图论，蛋白质工程要用数学模型，临床实验要用统计方法，而根率论则被用于流行病学。数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一。它充分显示了数学的威力和多方面的实用性。这些数学工具帮助人们把生物学的研究推到了科学的前沿了解生命和智力，这是我们这个时代的科学挑战，而数学在其中发挥着中心作用。 类似地，数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，还有心理学和认知科学，在这些新领域里，数学提供了理解，数学甚至正在进入艺术领域，例如计算机工具已被画家、电影制片人和音乐家所采用。 新的应用

2、毫无疑问会改变现代数学学科的特征 ，不仅怎样用数学发生了变化，而且连数学家们研究的问题也起了变化。 数学本身在过去的三十年里经历了一场脱胎换骨的变革。其创新性和激动人心的程度丝毫不亚于生物学和计算机革命。这些新发现不论对于理论还是应用都有重大影响，改变了数学原来的面貌。比如：数论：计算的数学特点把数论重新推到了数学舞台的中央，对于经典问题（如椭圆曲线）的新处理在计算理论、数理逻辑以及对数据传输的保密性研究领域中取得了出人意料的成果。统计科学：随着从经济、遥测、实验室等不同渠道产生的大量数据涌入科学，统计方法就成了外部世界的信息同运用数学方法加以分析之间的不断变化的分界线。最优化：以线性规划单形

3、算法为开端，直至最近的卡玛卡（Karmarkar）方法，数学最优化的难题（寻找最优解）和富有成效的应用（提高效益、降低消耗）都使之成为数学的前沿方向之一。直观化：在对感觉过程、计算机图像学和几何学的研究中得出一些共同思想正在产生全新的认知理论，它引起了诸如微分几何、组合算法、数据结构以及工程学等各专业的注意。动力系统：新近关于分形（fractal）的研究已经显示了迭代序是怎样常常导致混沌的。混沌系统模型已经在科学中被普遍应用，并为数学研究开辟了许多新领域，其应用范围则从图像诸存中的数据压缩技术直到不稳定性的理论模型。（不管这种不稳定是发生在证券市场，还是在太阳系里）决策理论：来源于分析的连续模

4、型给自然科学提供了合适的模型，与此相对，转变论：社会选择函数和专家系统中的离散模型为人文科学提供了更为适当的工具，这些科学并不依赖于连续的变化而是靠决策、投票和选举。 在过去三十年里，数学已经变形为一个丰富的数学科学的集合体，其内部的各分支通过相互制约的理论紧密相联，同时通过不断增长的应用网络与科学和商业世界保持联系，所以数学是一门朝气蓬勃、富有生命力的学科，它能够帮助学生用自己的智慧和精力去迎接当代的那些令人振奋的挑战，遗憾的是，学生们更多的是把数学看作是历史的一部分，是一堆早年制造的工具，时时境迁，已经毫无魅力可言了，这不能责备学生。因为我们没能够向学生展示数学的威力，数学课程仍然限于经典

5、数学的内容和经典的应用领域。 美国著名数学家教育家明尼苏达圣奥拉夫学院的数学教授，文集今日数学和明日数学的主编，Lynn Arthur Steen 在 ICMEVI 的 A5上题为面向新世纪的数学的总结报告中一开始就说：“但是，世界在其它方面毕竟起了变化，并且是重大的、带根本性的、不可逆转的变化。在不久以前，中学数学（主要是算术）作为商业的语言还算够用，而高等数学被看成是科学的语言，然而这些都已成为过去！今天的国际商业靠的是贸易的计算机模型，它需要诸如随机微分方程这样精细高深的工具，而对于医学，研究夹说数学模型几乎与临床病例具有同等重要性，事实上，高等数学的语言从控制论到几何学，从微分几何到统

6、计学已经明显地渗透到商业、医学以及现代社会的每个信息系统中去了。在工业化国家中，目前大约有一半的劳动力在从事信息工作，而在许多发展中国家里，信息工业常常是增长最快的经济部门，数学正是这个新的世界秩序的一部分；它象一个智力放大器，使那些拥有它的人具有明显的个人优势，获得经济利益。” 面对新技术的挑战，数学和数学应用的冲击对于中学后数学教育必须做到：“在教授经典题材的同时也要讲现代数学，不光对高年级的优等生，对初学者也要这样做；不仅用逻辑，还要用大量各种各样应用实例来显示数学的威力；要向学生说明计算机是我们进行数学实践的天然伙伴，它是思想的一个来源，直观化的一种设备，同时也是计算工具；发展新的教学

7、策略（方法）以鼓励学生全身心地投入数学学习，成为数学事业的主动参加者；要使数学成为整个教育管道中的泵，而不是过滤器；要保证使怀有各种不同兴趣的学生都能从所学的数学中得到益处。这些变革必将对大学的数学教育产生有益的影响，并且这种影响还会扩展到中学数学、科学以致整个社会，课程设置的更新必定会牵涉到新的讲授方法，新的侧重点和新的例子。这些新的东西不仅仅要反映我们都学过的前几个世纪的数学，它们还应该反映面向新世纪的数学，而这才正是我们的学生所需要的！ 新技术的挑战，使高中数学教育面临以下主要问题：（1）数学应用日益变得多样化，越来越迫使我们去修订数学课程。（2）更大比例的人口需要成为技术觉醒的人，而且

8、这个比例会越来越大，因为在发达国家新技术的使用在增加而出身率在下降。（3）技术革新如些迅速，以致要求个人能更加灵活，更加有能力去解决新产生的问题。（4）对新技能的需求，要求有新的教学和学习方法。（5）这又反过来要求有适当的评价方法。 对新技术和新概念的这些需要，有下面这两点可以得到满足：（6）现在的教育研究正在日益加深对于学生的概念困难和促进学习的策略的理解。（7）计算机改变了对数学的性质的认识，改进了处理概念的方法，使它更能被新的一代学生所理解。 技术革新的气息和对灵活性的新的需要提出要从以纯粹数学为内容的课程向数学内容与数学活动经验相结合的课程转化。数学活动包括搜集、整理和解释数据，数学的

9、调查研究、建立模型、问题解决等等，要更加强调学习者的积极参与，而不是被动地从教师那里接受知识（信息）。八十年代已经在这个方向上进行了转化，发展了理论和实践，但是在高中水平的课堂现实中改变很小。二、计算机和信息对数学及其教学的影响 导致数学教学重大改革的一股最明显的力量就是电子计算机对于数学及其教学的不断增长的冲击，为了研究这个问题。开过多次国际会议，其中最重要的是1985年ICMI Strasbourg会研究了数学和高中、大学的数学教学问题，得到一些结论： 第一，对数学的看法有所改变。 计算机的发展导致对数学和数学活动包括什么的看法有所改变，比如更加突出了数学中的实验方面，把探索和发现看作数学

10、教学过程的重要组成部分，因为探索和发现可以使学生更好地保持和理解数学知识，更加自信；有助于教学生思维；可以提供对数学的最大美感；是使学生看到数学如此有用的最好途径；可以使学生把握数学的威力。计算机这个现代化手段可以用各种方法来辅助数学的探索与发现，比如用计算机的图象使各种二维和三维对象形象化，可以帮助学生自己去探索问题，发现结果：通过探测数据分析、图像和数值探测，用简单函数逼近复杂函数；通过符号数学系统去发现诸如二项式定理等数学公式等，这样可望保证为学生提供准备，去获得技能，经验，去观察、探索，形成顿悟和直觉，作出观测，验证假说，建立实验，控制变量、模拟等等，当我们强调上述活动的时候，需要保证

11、诸如证明，一般化和抽象化等等传统活动不被忽视或取消，我们需要在“实验的”和正规的数学之间找到一种恰当的平衡。 如果我们这样来围绕和加强数学的“过程”，而不是只注意数学活动的结果，那么当然有必要去选择那些能鼓励和促进实验方法的数学课题和领域。 还必须强调两个要点：绝大多数学生不可能成为数学家，他们许多人可能学实验科学：数学中的实验与物理和其它自然科学的实验有所不同，数学中有“证明”这个有益的成分，数学还不是实验科学，必须看到思维训练和思维方式之间的区别。 除了实际使用计算机外，算法在课程中也要起突出的作用，在过去的二三十年中，计算复杂度、动力系统、科学计算和图象数据分析等方面蓬勃兴起，但是在目前

12、的课程中却几乎不为人知，即使不真用计算机，在尽早介绍这个课题方面仍然是大有可为的，但是大多数教师不去做这些努力，而是宁可舒舒服服地靠着几门经典课程过日子，这样一来，好学生们觉得数学不再具有吸引力也就不足为奇了。 第二，计算机改变了师生之间的关系 计算机能够影响学生的行为，而且提出了学生、知识、计算机和教师之间的相互作用和相互关系问题，在这种情况下教师的作用要认真考虑； 1、学生的数学活动如果学生能够主动地学习数学，那么他们能学得更好，而且能发展自主的行为模式，增强数学思维能力，把学生从被动中引出来去主动地思考数学是不容易的，一种方法是利用计算机提供有利而新鲜的经验，以激发这种行为。这种方法要求

13、学生会写程序。当然，写程序不 是使用计算机的唯一途径。他们还能用计算机探索和发现，用计算机提供的机会可以激励学生去实践发现过程。要强调需要把探索和发现看基本的数学活动，传统数学教学只是数学事实的传授与接受，有了计算机可以快速处理事例，可以容易地找到猜想和概括的模式，也容易探究反例，或者由机器辅助证明。 此外，计算机可以帮助扩大学生数学活动的广度和加深深度或者自制软件或者使用现成软件，二者都有很大价值。 2、教师的作用 在课堂上使用计算机有两种方式：一种是作为教师的辅助工具，一块电子墨板，这种使用方法不会打破传统的课堂形式；另一种是允许和希望学生使用计算机，这样情况就大不一样了。必然导致方法的变

14、革，教师不再能控制一切；他们的作用不再限于讲解、布置作业和评分而必须扩充，这种变革会在大多数学课堂中产生革命，要求教师不仅要获得新知识、技能和使用硬件和软件的信心，而且还应当根本改变他们现在的目的和重点并且减少控制程度。 第三，计算机在课堂上的使用。 1、绘制图象。计算机在教学上的许多应用都是利用它的图象显示功能。这个功能正是计算机胜于其它手段之处，现在它能描绘静态和动态的图象。 2、自我评价和个别化训练，计算机能作为学生自我评价，自己管理自己的工具，学生可以利用问题库，并可立刻得到评分，计算机辅助学习可以帮助个别化训练。 3、评价和计分。用计算机测试学生。可以随机产生测验项目，能节省测验时间

15、，可以随时中断或继续测验，能够立刻总结和分析、发现教学粘的不足；计算机辅助计分也有很大潜力。 4、纠正学生错误，学生可以用计算机发现错误和纠正错误，自己去纠正错误往往变成激发学习积极性的因素。 第四，对计算机的威力和局限性要有一个清醒的估计 社会和学生都对计算机的使用寄予很大的期望，这对各级教师有很大压力，不使用就会被人认为是守旧，在社会没有很好了解计算机的威力局限性之前，把计算机有效地用到教育上是困难的。 必须防止不现实的期望，有一个危险，计算机公司与软件开发者的虚假广告和来自社会各方面的压力会导致病态的设计和过于乐观的革新、要吸取六十年代仓促引进“新数”的教训。 所以重要的是要认识到：要在

16、教育中合理使用计算机必须使软件承包的教育目标和质量与硬件的技术条件匹配；必须培训在职教师教育预算必须有给硬件、软件和教师培训的开支；课程不应长期不变。 计算机用于教育有关的问题，并非全部都可预料，许多问题需要研究才能回答，要研究计算机用于教育的可能性、局限性以及可能带来的危害。因为在学习中使用过度可能造成学生的思维和推单一化；软件开发的标准可能导致平庸和照章办事；过分使用计算机可能使师生间的交流断绝；使用计算机的单调工作可能对学生总的智力发展产生不利影响（包括他们的直觉思维、创造性、理解能力等等）。 前面提到过的美国全国研究协会数学科学教育委员会设计实验的一套课程2000年中学数学的框架就是为

17、了适应“2000年的儿童和社会的需要和计算机技术发展的需要”而设计的。这个框架强调了数学课程应遵循的原则，其中最重要的是发展数学能力的重要性和一切课程设计需要从零开始，就是说大纲的所有内容的必要性都要经过谁，不能以现在的大纲上有作为理由，这个框架要求小学阶段大大减少对笔算的强调，而从幼儿园就开始使用计算器和计算机；在中学阶段同样要减少对符号运算的强调，而需要引进下述领域的材料：如数值分析（data analysis）离散数学，把它们增加到传统的中学教学材料中去。 计算机的使用应当分为三个水平： 在原则上的使用（理论上的考虑）；在实验中的使用；在现实中的使用。用这三个水平来衡量；在现实中的使用是

18、很有限的，在英国1986年 Green &Jones有个总结报告：中学50个学生有一台计算机；在现实中有39%教师很少使用，33%教师根本不用，即72%教师实际上不用或很少作用。 三、课程改革 人人有份预示这次改革要实现的七个重大的转变写道：“为了迎接时代的挑战，数学教育，正要处理几个困难的转变，这些转变将支配本世纪剩下这段时间的改革过程”。这七个转变可以概括数学教育的趋向和前景，这七个转变是： 第一，中学数学的目标应从双重使命（为多数人的数学很少，为少数人的数学很多）转变到单一目标；为所有学生提供重要的共同的核心数学，由于工业社会、信息社会对劳动力的需求是要他们有更高文化素养，所以要给大多数

19、学生提供更多的数学教育，所以要发展适合于每个年级所有学生的核心数学，即要面向大多数，甚至是所有学生，要大多数公民都学好数学；对能力强的学生还要用数学去激励他们；在教学上用方法和进度而不是课程目标来区分；选择普遍有趣的课题和有效的教学方法。 第二，数学教学从“传授知识”的传统模型转变到“以激励学习为特征 的，以学生为中心”的实践模型，由学生被动听进的课堂变成学生积极主动参与的像下面这样的学习环境：鼓励学生去探索；帮助学生表达自己的数学思想；让学生看到许多数学问题不只一个正确答案；提供证据，证明数学是生动的、激动人心的；使学生体验到深入理解和严格推理的重要性；使所有学生都建立起能够学好数学的自信。

20、 第三，公众对数学的态度从冷漠和敌意转到承认数学在今日社会中的重要性，通过现代事件传送的信息，使公众认识；期望高的地方，数学学得也多；随着科学技术作用的扩大，数学的重要性也增加；对于有文化的公民发挥作用来说，数学文化和文化同样重要。 第四、数学教学从热衷于无数的常规练习转到发展有广阔基础的数学能力。学生的数学能力应该要求能够辨明关系、逻辑推理，并能运用广阔的各种数学方法去解决广泛的、多种多样的非常规问题，要求今日的学生必须能够：进行心算和有效的估算；能决定什么时候需要精确答案，什么时候宜于估算；知道在某一特定条件下适于使用哪种数学运算；能够正确、自信和恰当地使用计算器；会估计数量级以确认心算或

21、计算器计算的结果；会使用表、图、电子数据表和统计技术去组织、解释和表示数值信息；能判断别人提供的数据的可靠性；会使用计算机软件去完成数学任务；能从模糊的实际课题中去形成一些特别的问题；会选择有效解决问题的策略。 第五，数学教学从强调为学习进一步的课程的需要传到更多地强调学生今日和将来所需要的课题，大多数的数学内容都要在它的运用的情境中来呈现，它的逻辑体系要随着年级的提高慢慢地建立起来，值得更多强调的课题和领域，作为例子，可举出：概率，它可以推进不确定性的推理和对风险的估价；探测数值分析和统计，它可以推进关于数据的推理；模型建立，它可以增进对复杂情形的系统的、结构性的理解；运筹学，它可以推进复杂

22、任务的计划和行为目标的达成；离散数学，它可以增进对大多数计算机应用的理解。这些课题，将会使观察和实验在未来数学大纲中占重要地位，将使数学和其他科目，特别是和自然科学更加靠近。 第六，数学教学从原始的纸笔计算转到使用计算器和计算机，各级数学教师正使他们的教学方法适应于未来的课程、计算器和计算机使新教学模式可行，使用计算器和计算机的目的是扩充学生的数学能力，提高数学学习质量，计算器和计算机不是去代替用功和严格思维，而是用作争取好成绩的武器。 第七，公众对数学的理解从“随心所欲的法则的不变教条”转到“关于模式的严格而生动的科学”。数学是一门生动活泼的科目，它寻求蕴藏于周围世界和我们头脑中的模式。这个

23、转变要求课程内容和教学方式两个方面的变革；寻求解法，不仅是雇步骤；探索模式，不仅是学习公式；形成猜想，不仅是作练习，当数学开始反映这些重点的时候，学生将有机会像这样去学习数学；作为探索性的、动态的、进展的科目，而不是作为僵死的、绝对的、封闭的一组被记住的定律去学习，学生将被鼓励去把数学看作一门科学，而不是看作教规，并且认识到；数学是关于模式的科学而不仅是关于数的科学。 课程改革是普遍的要求，但这个问题是非常复杂的，首先要注意的是数学课程内容可以看作有三种水平：一是计划的课程，即是国家的教学大纲或考试大纲中规定的；二是实施的课程，即教师教的；三是学到的课程，就是学生真正学到的。这三者之间往往有很

24、大差别。最容易调查的是计划的课程；其次，教学内容有很大程度的致性，15岁以后的数学教学内容有很大的不同，如苏联所有17岁的学生学习微积分，在匈牙利是50%而美国仅10%，义务教育后继续上学的百分比从不到20%直到超过90%，在学校里学到“真正的”数学的人的百分比从10%到100%，学习为上大学作准备的数学课程的学生百分比为6%到50%，因此更增加了课程改革的复杂性。所以只能就一些议论最多的问题，综合一些有倾向性的预测，供我们研究参考。 （一）关于教学内容： 60年代“新数”运动后，内容采用了代数、几何、分析、加上一点在力学上的应用、统计和概率，1986年ICMI Kuwoait 会上仍把代数看

25、作仍然“在中学课程占中心的得要地位”，“然而，重要的事情不是让学生掌握操作技能（如多项式运算）而是教学生把代数看作解决问题的自然工具”，有的国家取消了欧氏几何，感到后悔，因为“大量从事科技工作的人需要掌握非常严格的逻辑性或数学性的陈述”，没有取消的仍然坚持，因为几何有利于激发学生的学习动机，为以后撑习和工作作准备，Kuwoait会建议的课程内容的改革以微积分占优势的状况，而引进与计算机科学关联的离散教学的概念，其它内容改革包括了哪些由于有了计算机而变的可能搬上课堂的内容，如数值分析，这些都是计算机发展带来的影响，上面在强调的课题中已经谈到，这里再补充三点：一是算法得到重新强调，并且要比较解决同

26、一问题的不同算法的效率，二是符合操作，三是离散数学，对于程序设置的价值的看法有分歧，一方面看到，在填程序中许多是纯技术性的，另一方面，有一些重要的研究表明，在程序设计中的认知活动可以起到概念化的辅助作用，这个问题需要通过实验研究来解决。 教学内容中的另一个问题是“为大众的数学”的研究，60年代的“新数”主要是加强“中小学数学”与“高等数学”之间的联系，现在大力研究把中小学数学和民族数学联系起来，搞面向大众的“为大众的数学“的运动，这个运动从84年到现在已经七年了，要回答的一个主要问题是”数学是否应该保持在为大众的中小学课程中的核心地位？可能有四种选择：一是否定回答对每个人不能教“纯数学”；二是肯定回答，但必须设计好；三是肯定回