层次分析法及matlab程序Word格式文档下载.docx

1、（景色、费用、居住、饮食、旅途等 5个准则）方案层：（有R， P2， P3三个选择地点）并用直线连接各层次。（52） 互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重.这些权限重在人的思维过 程中常是定性的。例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法.（53） 将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。（54） 最终得出方案层对目标层的权重,从而作出决策.以上步骤和方法即是 AHP的决策分析方法。1、确定各层次互相比较的方法成对比较矩阵和权向量

2、在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受,因而Santy等人提出：-一致矩阵法即：1。不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较2.对此时採用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。因素比较方法成对比较矩阵法：目的是,要比较某一层n个因素C1，C2，Cn对上一层因素O的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。採用的方法是:每次取两个因素Ci和Cj比较其对目标因素O的影响，并用aj表示,全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：A （aj ） nxn ， aij 0，1ajiaij（或 aj aj

3、=1）（1）由于上述成对比较矩阵有特点:A =（aj）， aj 0， aj 1a在旅游决策问题中:故：ai2 = 12（即景色重要性为1,费用重要性为2）?？稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：即存在有各元素的不一致性，例如：既然：a12 = CIC2O C1 4 121 13 31 C3 1 1所以应该有:a23C3a21_ C3C1a3112 心814而不应为矩阵A 中的 a23 =71n个元素比较次数为： Cf=nn I） 次,2!因此，问题是:如何改造成对比较矩阵,使由其能确定诸因素 c1,Cn对上层因素O的权重？G,，Cn对因素（上层对此Saoty提出了：在成对比较出现不一致情况下

4、，计算各因素 因素）O的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围.为此，先看成对比较矩阵的完全一致性成对比较完全一致性四:一致性矩阵Def:设有正互反成对比较矩阵：（4）除满足:（i）正互反性：而且还满足：（ii） 一致性:致性矩阵（一致阵）性质：性质1: A的秩 Rank（A）=1/显然A的唯一非O的特征根为n性质2： A的任一列（行）向量都是对应特征根 n的特征向量:即有（特征向量、特征值）：则向量W =满足:AW =ZWiWiW29WnnW （A nl）W=O我的理解：通过A（变换A与W中的 元素有关）变换将一致 W矩阵变成权向量W（特征向量）,如果正互反矩阵 W接近一致矩 阵，同样的

5、道理变换 A可以将 W 变成权向量（这里的权向量与W肖有不同）启发与思考:既然一致矩阵有以上性质，即Wi n个元素VVWW,VV构成的向量W=WVWny是一致矩阵A的特征向量,则可以把向量 W归一化后的向量 ，看成是诸元素 VVWvV,W 目标的权向量，因此，可以用求 A的特征根和特征向量的办法,求出元素 VVVyW,W相对于 目标O的劝向量。解释:致矩阵即:n件物体Mi, M2/ ,Mn ，它们重量分别为 W, W2 ,，Wn,将他们两两比较WnJrA的特征根为n，W1 AW=；XWi =1，就表示诸因素G,C,，C对上层因素O的权重，即为权向量，此种用特征向 量求权向量的方法 称特征根法，

6、分析：Wi、若重量向量W=：未知时，则可由决策者对物体 Mi， M 2，Mn之间两两相比关系,主观作出比值的判断，或用 DeIPhi （调查法）来确定这些比值，使 A矩阵（不一定有一致性） 为已知的,并记此主观判断作出的矩阵为（主观） 判断矩阵A ,并且此A （不一致）在不一致的容许范围内，再依据： A的特征根或和特征向量W连续地依赖于 矩阵的元素aj，即当aj离一致性的要求不太远时，A的特 征根i和特征值（向量）W与一致矩阵A的特征根，和特征 向量W也相差不大的道理:由特征向量W求权向量W的方 法即为特征向量法,并由此引出一致性检查的方法。Remark以上讨论的用求特征根来求权向量 W的方法

7、和思路，在理论上应解决以下问题： 一致阵的性质1是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件），但用特征根来求特征向量时,应回答充分条件:即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵A的最大特征根max =n时,A是否为一致阵?2用主观判断矩阵 A的特征根和特征向量 W连续逼近一致阵 A的特征根和特征向量 W是否在理论上有依据。3一般情况下，主观判断矩阵 A在逼近于一致阵 A的过程中，用与 A接近的A来代替A ,即有A A ，这种近似的替代一致性矩阵 A的作法，就导致了产生的偏差估计问题， 即一致性检验冋题,即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围

8、内， 主观判断矩阵是可以接受的，否则，要 两两比较构造主观判断矩阵.此问题即一致性检验问题的内容。以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材 P325，定理1、定理2）。第3个问题:Satty给出一致性指标（TH1,TH2介绍如下：）附：Thl ：（教材P326, PerronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵A （ A的所有元素为正数）（1） A的最大特征根是正单根 ；（2） ，对应正特征向量 W （W的所有分量为正数）Ae TATw其中：e= 为半径向量， W是对应X的归一化特征向量证明：（3）可以通过将 A化为标准形证明Th2 ： n阶正互反阵A的最大特征根 n ；当罠=n时，

9、A是一致阵五、一致性检验一一一致性指标:当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵 A ,一般不可直接保证正互反矩阵 A就是一致正互反矩阵 A,因而存在误差（及误差估计问题） 。这种误差，必然导致特征值和特征向量之间的误差 V -）及 W W L此时就导致问题 AW= maxW与问题AW= nW之间的差别.（上述问题中max是主观判断矩阵A的特征值,W是带有偏差的相 对权向量）.这是由判断矩阵不一致性所引起的.因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵 A的一致性。因为：1当主观判断矩阵 A为一致阵A时就有：n n n n二.。;,=二 g = X akk = 1 = n

10、 A 为一致阵时有：aii = 1 （aii为对角线k 1 n 吕 k =1 k 1上的值,按照一致性矩阵的理解，它应该为 1）此时存在唯一的非 = m a x n（由一致阵性质1: Rark（4）=1 , A有唯一非O最大特征根且,max = n）ITlaX Z（1） 当max = n时，有：C I -0 , A为完全一致性（2） C值越大，主观判断矩阵 A的完全一致性越差，即： A偏离A越远（用特征向量作为权向量引起的误差越大）（3） -般C 0 1，认为主观判断矩阵 A的一致性可以接受， 否则应重新进行两两比较,构造主观判断矩阵。2 。随机一致性检验指标- R I实际操作时发现:主观判断

11、矩阵 A的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩阵的一致性要求.于是引入修正值R I来校正一致性检验指标: 即定义R I的修正值表为：A的维数235678R I0.000。00580.961.121.241.32411.45C I并定义新的一致性检验指标为: CR = CL随机一致性检验指标一一R I的解释:为确定A的不一致程度的容许范围，需要确定衡量 A的一致性指示C I的标准。于是 Satty又引入所谓随机一致性指标 R I ，其定义和计算过程为：1对固定的n,随机构造正互反阵 A ,其元素aj （i ： j）从19和119中随机取值， 且满足aj与a;的互反性，即：aj =,且a

12、= 1。2然后再计算A的一致性指标C I ,因此A是非常不一致的，此时， C I值相当大。3如此构造相当多的 A ,再用它们的C I平均值作为随机一致性指标。4Satty对于不同的n（n =111）,用100500个样本A计算出上表所列出的随机一致性指标R I作为修正值表。3。 一致性检验指标的定义一一一致性比率 C R。由随机性检验指标 C R可知：当n =1， 2时，R I =0，这是因为1，2阶正互反阵总是一致阵。对于n 一3的成对比较阵 A ,将它的一致性指标 C I与同阶（指n相同）的随机一致性指 标R I之比称为一致性比率-简称一致性指标，即有:一致性检验指标的定义一一一致性比率定

13、义：CR=CI : CR=CIR I R ICJ 一当：C R 0 1时，认为主观判断矩阵 A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量 。否则,对主观判断矩阵 A重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵A。注：上式C R 0 1的选取是带有一定主观信度的.六、标度比较尺度解：Ci和Cj对于上层因素 O在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素提出:人们区分信息等级的极限解能力为 7戈。可见对n n阶矩阵，只需作出 凹 I）个判断值即可标度aij定义因素i与因素j相冋重要因素i比因素j稍重要因素i比因素j较重要因素i比因素j非常重要因素i比因素j绝对重要2, 4, 6, 8,

14、因素i与因素j的重要性的比较值介于上述两个相邻等级之间倒数 1, 一，一，一,一，一，一,一因素j与因素i比较得到判断值为 aii的互反2 3 4 5 6, T 8 9ij数， aji = aii =1以上比较的标度 Satty曾用过多种标度比较层，得到的结论认为： 19尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度. Satty曾用的比较尺度为：113, 15, 16, ， 111,以及（d 0。1）（d 0.9），其中 d =1， 2, 3， 4 1p 9p ,其中 P =2, 3， 4， 5等共27种比较尺度，对放在不同距离处的光源亮度进行比较判断，并构造出成对比较矩

15、阵，计 算出权向量。同时把计算出来的这些权向量与按照物理学中光强度定律和其他物理知识得到的 实际权向量进行对比。结果也发现 19的比较标度不仅简单,而效果也较好（至少不比其他更复杂的尺度差）因而用19的标度来构造成对比较矩阵的元素较合适。七、组合权向量的计算一一层次总排序的权向量的计算层次分析法的基本思想：（1） 计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量 Wdef ：层次总排序,计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值。 当然要先：构造下一层每个元素对上一次每个元素的成对比较矩阵2计算出成对比较矩阵的特征向量（和法，根法，幕法）3由特征向量求出最大特征根 max （由和法，根法，幕

16、法求得）用最大特征根 max用方式C = m a厂n及C R对成对比较矩n1 R I阵进行一致性检，并通过.（2） 并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下表格形式:例,假定：上层A有m个元素，Al） A？，,Am,且其层次总排序权向量为 aa？,am ， 下层B有n个元素Bd B？,，Bn ,则按Bj对 A个元素的单排序权向量的列向量为bj ,即有：层次A1 A1 ， A1 mB层总是排序权重（权向 量、列向量）ai2, ammBib11b12 b1mW = ajbijj/B2b22 b2m W2 =迟 ajb2jBnbn1bn2 bnmWnL ajbnjj =max计算出最大特根

17、（方法：和法、根法、幕法）一致性检验CI 人max 一 nI n -1一致性检验比率/C R = 3ja jCI 3 / ajRIj检验CRVOi否？/ j =若下层元素 Bk与上层元素Aj无关系时，取bq =O总排序权向量各分量的计算公式： W =V ajbij（i=1,n）j（3）对层次总排序进行一致性检验:从高层到低层逐层进行，如果如果B层次某些元素对 Aj单的排序的一致性指标为 Clj ，相应的平均随机一致性指标为二 ajCI jRIj ，则B层总排序随机一致性比率为：C m ajRIjj m当CR : 0 1时，认为层次总排序里有满意的一致性， 否则应重新调整判断矩阵的元素取值。八、

18、层次分析法的基本步骤:（S1）建立层次结构模型将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次:同一层各因素从属于上一层因素， 或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的影响。最上层为目标层（一般只有一个因素） ，最下层为方案层或对象层 /决策层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则层或指标层.当准则层元素过多（例如多于 9个）时，应进一步分解出子准则层.（52） 构造成对比较矩阵，以层次结构模型的第 2层开始，对于从属于（或影响及）上一 层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和 19比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下 层.（53） 计算（每个成对比较矩阵的）权向量并作一致性检验1对

19、每一个成对比较矩阵计算最大特征根 max及对应的特征向量（和法、根法、幕法等）/W1 AW = F Clr2利用一致性指标 C I ,随机一致性指标 C R和一致性比率作一致性检验 CR = C-I I RI丿广W13若通过检验（即C R 1 ,或C J 0.1）则将上层出权向量 W= F归一化之后g作为（Bj到Aj）的权向量（即单排序权向量）4若C R 。 0.1不成立，则需重新构造成对比较矩阵（S4）计算组合权向量并作组合一致性检验一一即层次总排序W1、*利用单层权向量的权值 Wj= j =1，,m构组合权向量表:并计算出特征根，组合特征向量，一致性上 单 层下层重量量AiAi ,A m计

20、算组合权向量其中Wi = ayW =W jv vijW1、IWnjaa2 ，amW1W2 WlmWZl=送 a j b1 jW22 W2mV2 =送 a j b2 jFS SSj=1WniWn2 WnmWn = ajbnjjT最大特征根）（i） -max和法、根法、幕法-（j）max nClCI ClCo1 ？CI j n 1一致性随机检验 RIRI j对照表 ajCI j /CRCoi ？CI一致性比率CRCR=j /mRIAajR2jW1 若通过一致性检验，则可按照组合权向量 W =的表示结果进行决策 （W =中Wi中最大者的最优），即:W =maxW ： WiE（WI,，Wn若未能通过检

21、验，则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率， CR较大的成对比较矩阵九、特征根的近似求法（实用算法）层次分析法的基本思路是计算上层每个元素对下一层次各元素的权向量（即最大特征根_ W、ax对应的特征向量 W = “ ）,以及组合权向量及一致性检验问题.Wnj计算判断矩阵最大特征根和对应阵向量，并不需要追求较高的精确度,这是因为判断矩阵 本身有相当的误差范围。而且优先排序的数值也是定性概念的表达，故从应用性来考虑也希望 使用较为简单的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法： “和法”、“根法”、“幕法”，具体如下:1 。“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解）（归一化后）的平均值作为近似

22、特征向此方法：实际上是将 A的列向量归一化后取平均值作为打当A为一致矩阵时，它的每一列向量都是特征向量可以在A的不一致性不严重时，取 A的列向量 量是合理的（有依据的）。“根法”求最大特征根特征向量近似值:步骤与“和法”相同，只是在（ S2）时：对归一化后的列向量按行“求和”改为按行“求 n讦积”再取n次方根，即:Wi=II Wij 。j 丿即有具体步骤： n WijN Jn工 Wiji生得到特征向量近似值：伽3 .“幕法”求最大特征根:（S1）任取n维归一化初始向量 W（O）（S2）计算 v（k I）=AW（k）, k =0, 1, 2,量；否则返回（S2）（S1）将矩阵A =（aj ）min的每一列向量归一化得：以上用幕法求最大特征根 max对应特征向量的迭代方法，其收敛性由 TH1 （教材P325）中（证明：可以将 A化为标准形证明）保证。 W（O）任意选取，也可以取由“根法”、“和法”得在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最简单。丄0.53 A=251430.3333330.21 J0312 2.37AWi）= 0.273 =W0.4932511 JWI A利用“和法”求 A的特征向量W=和特征根：max叽（S1）将A = Wj nxn的元素按列归一化得:（S2）将AWj nxn中元素 Wi