考研数学二真题解析Word格式文档下载.docx

1、C.若 lim f（x）5 B. F（3） F（2）5D. F（-3） F（ ）下列命题错误的是 （C）f（x）+f（-x）存在,f （0） =0（5）曲线存在,则 f （0） =0 D. lim f （x） 一 f（-x）存在,x x ）01 xy ln（1 ex）,渐近线的条数为（6）设函数C.2D.3f（0） =0（D）f （x）在（0,上具有二阶导数,且 f（X） 0,令 Un =f（n）=1,2., n,贝忡列结论正确的是A.若比 U2，则g f必收敛B.若 UiU，则山必发散C.若 Ui : U，则 g I 必收敛D.若 Ui：u，则Un必发散（7 ）二元函数f （x, y）在点（

2、0,0）处可微的一个充分条件是A.（x,yi弭0）f（x,y）-f（0,0）=0B. lim f x，0 -f 0,0 .0，且 limf 0，y -f 0,0 .0x m0f x,0 -f 0,0 0,0 22d.四fx（x,0）f；（0,0）卜0,且 lym-fy（-fy（O,O） =0,1 兀七rcsi nyc dy 二 f （x, y）dx0 1 n-arcsin yd dy 二 f （x, y）dx（9）设向量组1,2,3线形无关，则下列向量组线形相关的是： （A）（13）设函数 y ，则 yn 0 = 2 3*2x +3（14）二阶常系数非齐次线性微分方程 y”-4y叶3y = 2

3、e2x的通解y= _Gex +C2e3x - 2e2xf （u,v） 是二元可微 函数 ， z= f（丿，上）x y0 10 00010 口3（16）设矩阵A= ，则A的秩为10 0 0 1 0 0 0 0 ?三、解答题：17-24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。（17）设f （x）是区间0,丄 上单调、可导函数，且满足f（x）f（t）dt= x严t sintdtIL 4 0 0 sin t cost其中f是f的反函数，求f （x）。【详解】：设 y 二 f （t）,则 t = f J（y）。则原式可化为:f 丄（0）yf（y）dyx,

4、 cost -sin t ,t dt0 sint cost、 cosx sin x 等式两边同时求导得： xf （x）二Xsin x +cosx、co - sixnf 乂 戶 sinx ccxs（18）（本题满分11分）设D是位于曲线y=Vxa- a -1,0乞x”：；心！下方、x轴上方的无界区域。（I）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积 V（a）；（n）当a为何值时，V（a）最小？并求此最小值。（I）V（a）=.x a2 0 7yd0 xa2a）dxna）22 2 12a（ln a）2 -a2（2ln a）（II ）V （a） 4 2 = 0 得 In a（l n a-1） =0（ln

5、a）故 ln a =12 即a = e是唯一驻点，也是最小值点，最小值 V（e） =e兀（19）求微分方程y” X y2二y满足初始条件y（1） = y（1） = 1的特解。【详解】:设p叮畔，则y詈代入得:乎（x p2dx）=P罟dpduu p u p =由于y（1）=1dyc2由 y（i） =1 =C2或 C2（20）已知函数f（a）具有二阶导数，且f （0） = 1,函数二y（x）由方程d2z定。设 z = f （ln y -sin x）,求 dzyxey=1 两边对 x求导得 y（ey xey，y） =0ey4故有y1 -4ex=02 -1Idxz二 f （In ysinx）（ yco

6、sx）2 f （lnysinx）（ ysinx） x=0二 f （0）（1 1-1）2 f （0）（学 1 0）=1 （T）=T（21）（本题 11 分）设函数 f （x）,g（x） 在 a,b 上连续，在 （a,b） 内具有二阶导数且存在相等的最大值，f （a）二 g（a）, f （b）二 g（b）证明：存在 （a,b）,使得 f（ ） =g（）证明：设f（x）, g（x）在（a, b）内某点c：=（a,b）同时取得最大值，则 f（c） =g（c），此时的c就是所求点 使得f（ ） =g（）。若两个函数取得最大值的点不同则有设f （c） =max f （x）, g（d） =max g（x）故

7、有 f （c） 一 g（c） 0, g（d） - f （d） ： 0，由介值定理,在（c,d）内肯定存在 使得f（）=g（）由罗尔定理在区间（a, ）,（ ,b）内分别存在一点1, 2,使得f （ l）= f （ 2） = 0在区间12）内再用罗尔定理，即 存在：（a,b），使得f（ J 二 g）（22）（本题满分11分）设二元函数f （x, y） = （2 x .1兰 x +|y 兰 2.2 2计算二重积分 JJf （x, y）d6 其中 D =（x, y）|x| +|y| M2）DD如图（1）所示，它关于x,y轴对称，f （x, y）对x,y均为偶函数，得H f （x,y）d；= 4 h

8、f （x, y）d 二D D1其中D1是D的第一象限部分。由于被积函数分块表示，将 D1分成（如图（2）： Dj-DUd,且D“ ： x +|y 兰 1,x 3 0,y KOD12 :1 x +|y 兰2,xK0,y 3 0是 f （x, y）d f （x, y）d一亠 11 f （x,y）d二而D1 D12D121 1_xf（x,y）d；= 0dx 0 x dy-D111x* 2（1-x）dx J0 3丄12!.!. f（x, y）d；： 11 D12 【12. 2：d =D12 .x y丑0、cos 1于呼1 rdr （极坐标变换）J -sin 二 rd8cos J sin2 de2d（K

9、0 2 二tan 2 2tan2F1曇=；U （悬 + 是）dt 畀2一；10=：2一1=2ln（212du1 2du 11 21-u 2u 2-（u-1）所以1 2.f （x,y）d12 2 ln（ 2 1）=4（石 D 12（23）（本题满分11分）捲 +x2 +x3 =0设线性方程组捲+2x2 +ax3 =0 （1）凶 +4x2 +a x3 =0与方程为 2x2怡=a-1 （2）有公共解，求a的值及所有公共解因为方程组（1）、（2）有公共解，即由方程组（1）、（2）组成的方程组2x2x14x2的解。0、0aTa -12 a-111a j1 = （1 -1,1）T是A的属于1的一个特征向量

10、，记B =A5 -4A3 E其中E为3阶单位矩阵 （I）验证：1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量 （II ）求矩阵B（I）可以很容易验证 A- = 1-1（n =1,2,3），于是Ba （ A5 4 A + E） 4； +1妬 =-2.1于是是矩阵B的特征向量.B的特征值可以由 A的特征值以及B与A的关系得到，即（B） = （A）5 -4 （A）3 1，所以B的全部特征值为一2, 1, 1.前面已经求得为B的属于一2的特征值，而 A为实对称矩阵，于是根据B与A的关系可以知道 B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征 向量正交，设B的属于1的特征向量为 匕必2必）丁，所以有方程如下：片 - x2 x3 = 0于是求得B的属于1的特征向量为口2 =（ 1,0,1几口3 =（1,1,0）T1 -1 1（n）令矩阵 P = （1,0（2,口3 = -1 0 1 ，则 PBP = diag（2,1,1），所以1 1 0I1B = P，d i ag2, 1 , 1 广P1 d 卜a g（-11L=2 ）1）11H31 - 31 312 50 r r ?cos sin 2sin cos