数学与程序设计.ppt

1、数学与程序设计,王静,引例,问题描述有一个自然数n，在他的首尾两端添上一个1，由于1是自然数之首，便形成一个“两头蛇数”1N1。如果“两头蛇”数1N1正好是原自然数N的k倍，问n是多少？现在请你编程解决。,两头蛇数,程序设计中的数学,数论 组合数学 母函数 计算几何,程序设计中的数学,基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数,初等数论,整除同余素数,指数取余,输入整数m,n,k，求mn mod k的值。其中m,n,k为自然数（m,n在长整形范围内，k=46340）。,次数压缩？,同余,穷举(m mod k)n,389 mod 7,89=64+16+8+1 313(mod 7)3232(m

2、od 7)2(mod 7)34(32)2(mod 7)22(mod 7)4 38(34)2(mod 7)42(mod 7)2 316(38)2(mod 7)22(mod 7)4 332(316)2(mod 7)42(mod 7)2 364(332)2(mod 7)22(mod 7)4 389(364)(316)(38)(31)(mod 7)5(mod 7),质多项式,给定多项式f(x)=an*xnan-1*xn-1.a0*x0，如果an0,我们称f(x)是一个n次多项式。类似自然数里质数的概念，也可以给出“质多项式”概念。给定多项式f(x)，如果找不到次数至少为1的多项式g(x)和h(x)满足

3、f(x)=g(x)*h(x)，我们称f(x)为质多项式。为了简化起见，我们规定多项式的系数只能取两个数：0或1。并且重新定义在0,1上的加法和乘法如下：0+000+111+011+10 0*000*101*001*11如：(x2+x1)(x1+1)=x3+x2+x2+x1=x3+x1 对于给定的正整数k，求出次数为k的质多项式。如：输入 1 输出 x+1 输入 5 输出 x5+x2+1,质多项式解题思路,寻找质数+穷举穷举k次的多项式，检验能否被已经找到的质多项式整除，若不能则本身也是质多项式。多项式除法*0+000+111+011+10 0*000*101*001*11加法：XOR 乘法：正

4、常减法：XOR 除法：正常,x3+x、x+1、x2+x,程序设计中的数学,基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数,平行四边形的个数,把三角形ABC的三边各n等分，过各等分点作各边的平行线，将三角形ABC分割成一些小平行四边形，计算这些小平行四边形的个数。,就一类平行四边形进行讨论,方程的解,已知方程 x1+x2+x3+xm=n 其中x1=a1,x2=a2,xm=am 且,求方程的非负整数解的组数,令x1=x1-a1,x2=x2-a2,xm=xm-am,x1+x2+xm=P,程序设计中的数学,基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数,蜂族的旅行,和其他昆虫不同，为了不至于迷路，蜜蜂

5、在蜂巢（紧密连接的正六边形）中行走必须遵守一定的路线。把一个正方形的中心看作原点。如果一只蜜蜂要从A(x1,y1)点飞到B(x2,y2)点，且AB不在同一六边形的话，那么它必须按照蜂族的飞行规则，首先飞到包含A点的正六边形的中心，然后每次都只能从一个正六边形的中心飞到和它相邻的六边形中心，直到它飞到包含B点的正六边形的中心为止，然后再飞往B点。知道正六边形的边长d与A、B点的坐标，算出蜜蜂的飞行距离。（A、B都不会刚好落在某个六边形的边上）。样例1.0-3.2 2.2 3.3 07.737,蜂族的旅行,A、B在同一六边形，直接计算直线距离如何判断两点在同一正六边形？,确定所在的六边形并计算到顶

6、点的距离,从AB经过的六边形个数,程序设计中的数学,基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数,小虫问题,在一个7*7的方格中，每个小方格内都有一条小虫，约定在同一个时刻方格中的小虫必须向周围（上下左右4个方向）爬一格。证明：在爬了一格之后，至少有一个小方格是空的。,被绘坏的玉米地,“哈姆，外星人又在那了！”。埃塞和哈姆他们的玉米地是长方形的。每年在丰收之前，他们的玉米地都会很奇怪的遭到毁坏(据埃塞说是外星人干的)。所有破坏的地方都是以 1 米为半径的圆。哈姆发现，如果玉米地上建立一个适当的直角坐标系的话，那些圆心的坐标将都为整数。万幸的是，埃塞和哈姆有玉米保险，但必须把损坏的面积统计出来

7、。,程序设计中的数学,基本数论 组合数学 计算几何 容斥原理 母函数,质数分解问题,任何大于1的自然数n，都可以写成若干个大于等于2，且小于等于n的质数之和表达式(包括只有一个数构成的和表达式的情况)，并且可能有不止一种质数和的形式。例如9的质数和表达式就有四种本质不同的形式：9=2+2+5=2+2+2+3=3+3+3=2+7。自然数n(2n200)可以写成多少种本质不同的质数和表达式。,母函数,给定数列a0,a1,an,构造一函数 F(x)=a0f0(x)+a1f1(x)+anfn(x)+称F(x)为数列a0,a1,an,的母函数，序列f0(x),f1(x),fn(x),称为标志函数。F(x)=a0 x0+a1x1+anxn+,普通型母函数,设从n元集合S=a0,a1,an中取个元素的组合为bk，若限定元素ai出现的次数不超过mi，则该组合数系列的母函数为：,砝码称重,有重量为1，3，5克的砝码各两个，问（1）可以称出多少种不同重量的物品？（2）若要称出重量为7克的物品，所使用的砝码有多少种本质不同的情况？,G(x)=(1+x+x2)(1+x3+x6)(1+x5+x10)=1+x+x2+x3+x4+2x5+2x6+2x7+2x8+x9+2x10+2x11+2x12+2x13+x14+x15+x16+x17+x18,（1）19（2）2,