初中数学竞赛辅导讲座19讲全套Word文档格式.docx

1、例6、 计算 1232000200120021、逆序相加法。2、求和公式：S=（首项+末项）项数2。例7、 计算 1+234+5+678+9+2000+2001+2002仿例5，造零。结论：2003。例8、 计算 凑整法，并运用技巧：1999=10n+999，999=10n 1。例9、 计算字母代数，整体化：令，则例10、 计算（1）；（2）裂项相消。常用裂项关系式： （2）（3） （4）。例11 计算 （n为自然数）例12、计算 1+2+22+23+220001、裂项相消：2n=2n+12n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+22000，则S=2SS=220011。例13、比较与2的大

2、小。错项相减：计算第二讲 绝 对 值一、 知识要点1、 绝对值的代数意义；2、 绝对值的几何意义： （1）|a|、（2）|a-b|；3、 绝对值的性质：（1）|-a|=|a|, |a|0 , |a|a； （2）|a|2=|a2|=a2；（3）|ab|=|a|b|；（b0）；4、绝对值方程：（1） 最简单的绝对值方程|x|=a的解：（2）解题方法：换元法，分类讨论法。二、绝对值问题解题关键：（1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。例1 已知a0，化简|2a-|a|。多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b= ，满足

3、条件的a有几个？例3 已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。例4 已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc0，求的值。对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。例5 已知：例6 已知，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。1、根轴法；2、几何法。例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|7。例9 m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。最小值为8。例10（北京市1989年高一数

4、学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于_6_.例11 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0p15.对于满足px15的x的来说，T的最小值是多少？解 由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.当px15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.例12若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证 设两数为a、b，则|a|+|b|=|a|b|.|b|=|a|

5、b|-|a|=|a|（|b|-1）.ab0，|a|0，|b|0. |b|-1=0，|b|1. 同理可证|a|1. a、b都不在-1与1之间.例13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？例14 解方程（1）|3x-1|=8 （2） |x-2|-1|=（3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.例15（1973年加拿大中学生竞赛

6、题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x-3或-3x1或x1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，x=-5，x=-5满足x-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.第三讲 一次方程（组）一、基础知识1、方程的定义：含有未知数的等式。2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次

7、数为一次的整式方程。3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。4、 字母系数的一元一次方程：ax=b。其解的情况：5、 一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。6、 方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。二、例题示范例1、 解方程例2、 关于x的方程中，a,b为定值，无论k为何值时，方程的解总是1，求a、b的值。用赋值法，对k赋以某一值后求之。例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a，ab，b是实数，且a和a不为零，如果方程ax+b=0的解小于a/x+b

8、=0的解，求a，ab，b应满足的条件。例4 解关于x的方程.整理成字母系数方程的一般形式，再就a进行讨论例5 k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解。整理成字母系数方程的一般形式，再就k进行讨论。例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程（a-1）x+（a+2）y+52a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方

9、程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，本例的另一典型解法例7（1989年上海初一试题），方程 并且abc0，那么x_1、去分母求解；2、将3改写为例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组：确定3x4+2x5的值.说明：整体代换方法是一种重要的解题策略.例9 解方程组仿例8，注意就m讨论。例10 如果方程组（1）的解是方程2x-y=4（2）的解，求m的值。1、从（1）中解出x,y用m表示，再代入（2）求m ； 2、在（1）中用消元法消去m再与（2）联立求出x,y，再代入（1）求m。例11 如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z

10、都成立，求a,b,c,d的值。赋值法。例12 解方程组引进新未知数第四讲 列方程（组）解应用题一、知识要点1、 列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.2、 列方程解应用题要领：（1） 善于将生活语言代数化；（2） 掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；（3） 善于寻找数量间的等量关系。1、合理设立未知元例1一群男女学生若干人，如果女生走了15人，则余下的男女生比例为2:1，在此之后，男生又走了45 人，于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人？（1）直接设元 （2）列方程组：例2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？例3甲、乙、丙

11、、丁四个孩子共有45本书，如果甲减2本，乙加2本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？（1）设四个孩子的书一样多时每人有x本书，列方程；（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书，列方程组： 例4 （1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？用列表法分析数量关系。例5 如果某一年的5月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的5月4日是星期几？间

12、接设元.设第一个星期五的日期为x，例6 甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进，第一次相遇在距A点700米处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400米处，求A、B两地间的距离是多少米？直接设元。例7 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为： 商品利润率=（商品售价商品进价）商品进价100%。例8 （1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千

13、米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时，求A、B两地相距多少千米？1 （选间接元）设坡路长x千米2 选直接元辅以间接元）设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米3 （选间接元）设下坡需x小时，上坡需y小时， 2、设立辅助未知数例9 （1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到（x+10）%，x等于多少？引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式。例10（1985年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合

14、金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？ 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2。例 11有一片牧场，草每天都在匀速生长 （草每天增长量相等）如果放牧24头牛，则6 天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16头牛，几天可以吃完牧草.提示设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a.布列含参方程组。例 12甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用 40秒钟就能

15、跑完一圈，乙反向跑，每15秒钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间?要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/秒，因此可以选择V 作参数3、方程与不等式结合例13 数学测验中共有20道选择题。评分方法是：每答对一题给6分，答错一题扣2分，不答不给分。有一个学生只有一道题没答，并且他的成绩在60分以上，那么他至少答对多少题？利用方程、不等式组成的混合组求解。第五讲 整数指数1、定义： （n2,n为自然数）2、整数指数幂的运算法则：，3、规定：a0=1（a0） ap= （a0,p是自然数）。4、当a，m为正整数时，am的末位数字的规律： 记m=4p+q，q=1,2,3之一，则的末位数字

16、与的末位数字相同。例1、计算 （1） 5523 （2） （3a2b3c）（5a3bc2） （3） （3a2b3c）3 （4） （15a2b3c）（5a3bc2）例2、求的末位数字。先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。例3、是目前世界上找到的最大的素数，试求其末位数字。运用规律2。例4、 求证：考虑能被5整除的数的特征，并结合规律2。例5、已知n是正整数，且x2n=2，求（3x3n）24（x2）2n的值。将所求表达式用x2n表示出来。例6、求方程（y+x）1949+（z+x）1999+（x+y）2002=2的整数解。|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过1，分情况讨论。例7、若n为自

17、然数，求证：10|（n1985n1949）。n的末位数字对乘方的次数呈现以4为周期的循环。例8、 若，求x和y。x=5,y=2。例9、对任意自然数n和k，试证：n4+24k+2是合数。n4+24k+2=（n2+22k+1）2（2n2k）2。例10、对任意有理数x，等式ax4x+b+5=0成立，求（a+b）2003.第六讲 整式的运算1、整式的概念：单项式，多项式，一元多项式；2、整式的加减：合并同类项；3、整式的乘除：（1） 记号f（x），f（a）；（2） 多项式长除法；（3） 余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数r等于f（a）；（4） 因数定理：（x-a）|f（x）f（a）=0。

18、1、整式的加减例1、 已知单项式0.25xbyc与单项式0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym，求abc的值。只有同类项才能合并为一个单项式。例2、 已知A=3x2n8xn+axn+1bxn-1，B=2xn+1axn3x2n+2bxn-1，AB中xn+1项的系数为3，xn-1项的系数为12，求3A2B。例3、 已知ab=5，ab=1，求（2a+3b2ab） （a+4b+ab） （3ab+2b2a）的值。先化简，再求值。例4、 化简： x2x+3x4x+5x+2001x2002x。例5、 已知x=2002，化简|4x25x+9|4|x2+2x+2|+3x+7。先去掉绝对值，再化简

19、求值。例6、5个数1, 2, 3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。例7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼m千克，预计第二年产鱼量增长率为200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。（1） 写出第五年的预计产鱼量；（2） 由于环境污染，实际每年要损失产鱼量的10%，第五年的实际产鱼量为多少？比预计产鱼量少多少？2、整式的乘除例1、已知f（x）=2x+3，求f（2）,f（-1）,f（a）,f（x2）,f（f（x）。例2、计算：（2x+1）（3x2）（6x4）（4

20、x+2）长除法与综合除法： 一个一元多项式f（x）除以另一个多项式g（x），存在下列关系： f（x）=g（x）q（x）+r（x） 其中余式r（x）的次数小于除式g（x）的次数。当r（x）=0时，称f（x）能被g（x）整除。例3、（1）用竖式计算（x33x+4x+5）（x2）。 （2）用综合除法计算上例。 （3）记f（x）= x33x+4x+5,计算f（2），并考察f（2）与上面所计算得出的余数之间的关系。例4、证明余数定理和因数定理。证：设多项式f（x）除以所得的商式为q（x），余数为r，则有 f（x）=（xb）q（x）+r，将x=b代入等式的两边，得 f（b）=（bb）q（b）+r，故r=f

21、（b）。特别地，当r=0时，f（x）= （xb）q（x），即f（x）有因式（xb），或称f（x）能被 （xb）整除。例5、证明多项式f（x）=x45x37x2+15x4能被x1整除。例6、多项式2x43x3+ax2+7x+b能被x2+x2整除，求a,b的值。（1）用长除法，（2）用综合除法，（3）用因数定理。例7、若3x3x=1，求f（x）=9x4+12x33x27x+2001的值。用长除法，从f（x）中化出3x3x1。例8、多项式f（x）除以（x1）和（x2）所得的余数分别为3和5，求f（x）除以（x1）（x2）所得的余式。设f（x）= （x1）（x2）q（x）+（ax+b），由f（1）和f

22、（2）的值推出。例9、试确定a,b的值，使f（x）= 2x43x3+ax2+5x+b能被（x+1）（ x2）整除。第七讲 乘法公式1、乘法公式平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2立方和公式：（a+b）（a2ab+b2）=a3+b3立方差公式：（ab）（ a2+ab+b2）=a3b32、乘法公式的推广（1）（a+b）（ab）=a2b2的推广由（a+b）（ab）=a2b2, （ab）（ a2+ab+b2）=a3b3，猜想： （ab）（ ）=a4b4 （ab）（ ）=a5b5 （ab）（ ）=anbn特别地，当a=1,b=q时，（1q）（ ）=1qn从而

23、导出等比数列的求和公式。（2）多项式的平方由（ab）2=a22ab+b2，推出 （a+b+c）2=（ ） , （a+b+c+d）2=（ ）猜想：（a1+a2+an）=（ ）。当其中出现负号时如何处理？（3）二项式（a+b）n的展开式一个二项式的n次方展开有n+1项；字母a按降幂排列，字母b按升幂排列，每项的次数都是n；各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。二、乘法公式的应用例1、运用公式计算（1） （3a+4b）（3a4b） （2） （3a+4b）2 例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。（1）（2xy）2（2x+y）2 （2）0.01a249b2 （3）25（a2b） 64（b+2a）

24、例3、填空（1） x2+y22xy=（ ）2 （2） x42x2y2+y4=（ ）2（3） 49m2+14m+1=（ ）2 （4） 64a216a（x+y）+（x+y）2（5） 若m2n2+A+4=（mn+2）2,则A= ;（6） 已知ax26x+1=（ax+b）2，则a= ,b= ;（7） 已知x2+2（m3）x+16是完全平方式，则m= .例4、计算（1） 2000021999920001 （2） 372+2637+132 （3） 31.52331.5+1.52100。（1）19999=200001例5、计算（1） （1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216）（1+232）

25、+1。（2） （1+3）（1+32）（1+34）（1+38）（1+32n）。例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。（1）由x3+y3=（x+y）33xy（x+y），x2+y2=（x+y）22xy导出； （2）将x+y=10，平方，立方可解。例7、已知，求例8、已知a+b=1,a2+b2=2，求a3+b3， a4+b4， a7+b7的值。由（a3+b3）（a4+b4）= a7+b7+a3b4+a4b3= a7+b7+a3b3（a+b）导出a7+b7的值。例9、已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1求下列各式的值：（1）bc+ca+ab （2）a4+b4+c4例10、已知a,

26、b,c,d为正有理数，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd，求证a=b=c=d。用配方法。例11、已知x,y,z是有理数，且满足x=63y,x+3y2z2=0,求x2y+z的值。例12、计算1949219502+1951219522+2001220022。 第八讲 不等式1、不等式的主要性质：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原不等式同向；（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向；（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向.（4）若AB，BC，则AC；（5）若AB，CD，则A+BC+D；（6）若AB，CD，则ACB

27、D。2、比较两个数的大小的常用方法：（1） 比差法：若AB0，则AB；（2） 比商法：若1，当A、B同正时， AB；A、B同负时，AB；（3） 倒数法：若A、B同号，且，则AB。3、一元一次不等式：（1） 基本形式：axb （a0）;（2） 一元一次不等式的解：当a0时，x,当a0时，x例1、已知a0,1b0,则a,ab,ab2之间的大小关系如何？例2、满足的x中，绝对值不超过11的那些整数之和为多少？例3、一个一元一次不等式组的解是2x3，试写出两个这样的不等式组。例4、若x+y+z=30,3+yz=50,x,y,z均为非负数，求M=5x+4y+2z的最大值和最小值。将y,z用x表示，利用x,y,z非负，转化为解关于x的不等式组。例5、设a,b,c是不全相等的实数，那么a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小关系如何？例6、已知a,b为常数，若ax+b0的解集是