根式的运算技巧.docx

1、根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。2、立方根：、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和1。2、每一个正数都有

2、两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，即0；有意义的条件是a0。4、公式：()2=a（a0）；=（a取任何数）。5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1） ；（2）； （3）； 例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.（5），（6），（7）（8）例3、求下列各数的立方根： 343； ； 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a0时，a的平方根是，即a是非负数.例4、若求yx的立方

3、根.练习：已知求的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a0时，a的平方根是，而例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.例4、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（ ）A2 B2 C4 D4 2、144的算术平方根是 ，的平方根是 ； 3、若的平方根

4、是和，则= 4、= ， 的立方根是 ；5、7的平方根为 ，= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，有意义；当x= 时，有意义；9、若，则x= ；若，则n= ；10、若，则x= ；若，则x ；11、的整数部分为a,小数部分为b,则a=_, b=_ 12、解方程： （2）（3 ） （4） 13、已知，求xyz的值。14、若，求的值15、已知：2的平方根是2,2+7的立方根是3，求2+2的平方根16、若，求xy的值。二次根式一、知识点1.二次根式：式子（0）叫做二次根式。2.最简二次根式：必须

5、同时满足下列条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质：（0）（0）0 （=0）；（1）（）2= （0）； （2）5.二次根式的运算：二次根式的加减运算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。二次根式的乘除运算： =（0,b0）； 【例题讲解】一、利用二次根式的双重非负性来解题（a0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）例1 ：x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。（1） （2） （3） (4).例2：若，则=_

6、； 若，则 【基础训练】1、 下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A、； B、； C、； D、2、 若，则x的取值范围是 3、 若，则x的取值范围是 。4、 若是一个正整数，则正整数m的最小值是_5、设m、n满足，则= 。6、若三角形的三边a、b、c满足=0，则第三边c的取值范围是 7、若，且时，则（ ） A、 B、C、D、 二、利用二次根式的性质=|a|=(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题【例题讲解】例1 ：已知x，则（） A.x0B.x3.x3D.3x0例2 ：化简的结果为（ ） A、； B、；C、 D、【基础训练】1、 已知ab，化简二次根式的正确结果是（ ） A

7、B C D2、 若化简|1-x|-的结果为2x-5则（ ） A、x为任意实数 B、1x4 C、x1 D、x4 3、已知a，b，c为三角形的三边，则= 4、化简的结果是（ ） A B C D5、 已知：=1，则的取值范围是（ ）。 A、； B、； C、或1； D、 三、 二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（）2=a（a0），即以及混合运算法则）【例题讲解】（一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1） （2） （3） （4） 例二：计算：2【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1），； （2） ，a2、计算下列各题：（1）6 （2）；（3） （4） （5） 3、 已知

8、，则x等于（ ） A4 B2 C2 D44、 （二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知 求(1) (2) 2.变形代入法：（1）变条件：已知：，求的值。 .已知:x=，求3x25xy+3y2的值（2）变结论：1、设=a，=b，则= 。2、已知，求 。 3、已知，（1）求的值 （2）求的值 四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算2的值在哪两个数之间（）A12 B.23 C. 34 D.452若的整数部分是a，小数部分是b，则 3.已知9+的小数部分分别是a和b，求ab3a+4b+8的值4.若a，b为有理数，且+=a+b，则b= .五、二次根式的比较大小（1） （2）5 （3）

9、（4） 设a=, , 则（ ） A. B. C. D. 六、实数范围内因式分解： 9x25y2 4x44x21 x4+x26练习：1、若，则xy的值为（ ）A B C D2、若，则 3、计算：（1） （2 （3） （4）4、先将化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。5、如图，实数、在数轴上的位置，化简 ：6、若，则的取值范围是ABCD7、如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是ABCD8、已知：，求的值。9、已知：为实数，且，化简：。10、已知11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，则可变为，即变成

10、开方，从而使得化简。例如： =，请仿照上例解下列问题：（1） ； （2）二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧：一、 巧移因式法例1、 计算分析：将根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把化简，然后利用平方差公式计算解：原式= = =18-48 =-30二、 巧提公因数法例2、计算分析：2= 中有公因数，提出公因数后，可用平方差公式计算解：原式= = = =（25-6） =19三、 公式法例3、计算分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式

11、的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式= = = =四、 因式分解法例4、计算分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便解：原式= = =五、 拆项法例5、化简分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式= = = =六、 配方法例6、计算分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式= = =-5七、整体代入，别开生面例5. 已知，求下列各式的值。（1）（2）分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。解：因为所以（1）（2）（也可以将变为来求）八、巧换元，干净利索例6. 计算分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，则原式而原式解：设则所以原式例7. 计算分析：有两种方法，一种换元，一种配方。解法1：设两边平方因为所以即解法2：原式所