活用圆锥曲线定义巧解题概要文档格式.docx

1、+b a b y a x 和双曲线 0, （2222-n m ny m x 有公共的焦点 0, （1c F -、 0, （2c F , P为这两曲线的交点,求 21PF PF 的值.解 :设 v PF u PF =21, , 则 +=-=-=+222222n m b a m v u av u , 由 得 +=-=ma v ma u , 结 合 得 2221m a u v PF PF -=或 22n b +.说明:做这道题时,如果我们从 P 为这两曲线的交点出发,想通过联立方程组解点 P 的坐标,再利用 两点间距离公式去求 21, PF PF ,其过程十分繁琐,但如果从椭圆与双曲线的定义出发,就

2、比较容易解决 问题. 三.利用圆锥曲线的定义求最值例 3. 如图, F F 12、 是双曲线 x y 223-=1的左、右焦点, M （6, 6为双曲线内部的一点, P 为双曲线右支上的一点,求: （1 |PM PF +2的最小值;（2 |PM PF +12的最小值. 简解:（1 |PM PF MF PF PF +-+=21128; （2 |PM PF PM PF e PM PH +=+=+121122. （其中 |PH|为 P 到右准线 l 的距离（1和式“ |PM PF +2”与双曲线第一定义有质的区别,能否转化为“差”是解题的关键; （2关键在于处理 122|PF 的系数,于是联想到 e

3、 =2,可用第二定义转化.四.利用定义判定某些位置关系例 4. 设 l 是经过双曲线 x a y b22221-=的右焦点 F 2的直线,且和双曲线右支交于 A 、 B 两点,则以 AB为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点?如图,分别过 A 、 B 及圆心 M 作双曲线右准线 l 1的垂线垂足分别为 A B M *、 、则 |（|（|*MM AA BB e AF BF e AB ReR =+=+=, 故点 M 在以 , B C 为焦点的椭圆上 . 如图 , 建立平面直角 坐标系 0x y ,则 （2,0, （2,0,（B C A -. 所以点 M 的轨迹方程为2211612x y +=. 又

4、1c e a =, 右准线 2:8a l x c =. 过 M 作 MN l 于 N,则由椭圆的第二定义可知 |2|MN MC =. 依题意知求 |2|MA MC +的最小值 , 即求 |MA MN +的最小值 , 由平面几何知识可知 , 当 , , M A N 共线时 , |MA MN +最小 .所以 M N , 即变电房应 建在 A 村的正东方向且距 A村 2km 处 .说明 :本解法综合考查了椭圆的第一定义以及标准方程,并利用椭圆的第二定义求最小值问题,特别 是第二定义的应用,并借助了数形结合使问题得以解决 .从上面我们可以看出:运用圆锥曲线的定义解题,通过数形结合,不仅能抓住问题的本质

5、,还能避开 复杂的运算,使问题巧妙获解.链接练习 1. 椭圆 0（122=+b a by a x 中如果 PF 1F 2=, PF 2F 1=,求离心率.链接练习 2. 已知双曲线 1322=-y x 的右焦点 F ,右准线 l ,直线 3+=kx y 通过以 F 、 l 为对应焦 点和准线的椭圆的中心,求 k 的取值范围.链接练习 3. 如图 , 某村在 P 处有一堆化肥 , 今要把这堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到庄稼地 ABCD 中去 , 已知 100PA m =, 150PB m =, 60APB =, 能否在田地 ABCD 中确定一条界线 , 使位于界线一侧的点沿道路 PA 送肥较

6、近 ; 而另一侧 沿道路 PB 送肥较近 ? 如果能 , 请说出这条界线是一条什么曲线 , 并求出其方程 .链接练习 4. F 1、 F 2为椭圆 12=+b y a 的两焦点, 若椭圆上存在一点P ,使F 1PF 2=90,求椭圆的离心率的取值范围.链接练习 5. 已知 P 为椭圆192522=+y x 上一点, 1F 、 2F 是椭圆的两个焦点, 02160=PF F ,求 21PF F 的面积.链接练习 6. 已知点 A （-2, ,设 F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点, M 为 椭圆上的一动点,求 MF AM 2+的最小值,并求出此时点 M 的坐标.链接练习 7. 如图,已

7、知三点 A （-7, 0 , B （7, 0 , C （2,-12 。若椭圆过 A 、 B 两点,且 C为其一焦点,求另一焦点 P 的轨迹方程;若双曲线的两支分别过 A 、 B 两点,且 C 为其一焦点,求另一焦 点 Q 的轨迹方程.链接练习 8. 已知两圆 C 1:169 4（2=+-y x , C 2:9 4（2=+y x , 动圆在圆 C 1内部且和圆 C 1 相 内切,和圆 C 2相外切,求动圆圆心的轨迹方程.链接练习 9. 舰 A 在舰 B 的正东 6千米处,舰 C 在舰 B 的北偏西 30且与 B 相距 4千米,它们准备捕 海洋动物,某时刻 A 发现动物信号, 4秒后 B 、 C

8、同时发现这种信号, A 发射麻醉炮弹 . 设舰与动物均为静 止的,动物信号的传播速度为 1千米 /秒,炮弹的速度是20g千米 /秒,其中 g 为重力加速度,若不计 空气阻力与舰高,问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?答案与提示:链接练习 1.由椭圆定义知:|PF1|+|PF2|=2a, |F1F 2|=2c, |22221PF PF c a c a c e +=,由正弦定理得 |PF1|=2Rsin, |PF2|=2Rsin, |F1F 2|=2Rsin（+ ,cos2cos 2sin 2cossin2 sin sin sin（ sin （sin2 sin（2|221-+=-+=+=+=

9、+=R R PF PF c e曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形, 与焦点三角形有关的问题常常借助正 （余 弦定理,借助比例性质进行处理.链接练习 2.双曲线 1322=-y x 的焦点 F （2, 0,准线 2:=x l ,设 , （y x P 为椭圆上任意一点,（ x - 2 2 + y 2 = e, （0 e 1 ，化简得 由定义得 3 x- 2 4 - 3e 2 9 2 （ ,0 ， 可得椭圆中心为 O 由直线 y = kx + 3 过 （1 - e x + y - （4 - 3e x - e + 4 = 0 ， 2（1 - e 2 4 2 2 2 2 4 - 3e 2 4k

10、 + 6 4k + 6 + 3 = 0 ，求出 e 2 = 椭圆的中心，有 k ，而 0 1 ， 0 1 ，从而求出 k 的 2 2（1 - e 3k + 6 3k + 6 3 范围为： - k 0 2 链接练习 3若存在满足条件的界线,则界线上的点应经 PA 或 PB 走一样的路程.通过建立直角坐标 系,即可求出其方程. 如图以 AB 所在的直线为 x 轴, AB 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系.设 M 为 所求的界线上的一点,则点 M 满足 | MA | + | PA |=| MB | + | PB |,即 | MA | - | MB |= 50 .故所求界线是以 A, B 为 焦

11、点 , 实 轴 长 为 50 的 双 曲 线 的 一 支 （ 靠 近 B 点 的 一 支 的 一 部 分 . 由 于 2a = 5 0 ,= a , 2 2 5 c =| AB |= 1002 + 1502 - 2 100 150 cos 60 = 50 7 , 所 以 c = 2 5 7, 因 此 b2 = c 2- a 2 3750 .故所求界线的方程为 = x2 y2 - = 1 （其右支位于四边形 ABCD 内的部分. 625 3750 链接练习 4由椭圆定义知：|PF1|+|PF2|=2a，两边平方得： 4a =|PF1| +|PF2| +2|PF1|PF2|2（|PF1| +|PF

12、2| ） ，F1PF2=90，|PF1| +|PF2| =|F1F2| ，4a 2 （2c ，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e1 说明：涉及到角度时，利用勾股定理或余弦定理，再利用不等式放缩，往往简单明了，注意放缩时等 号条件是否成立 链接练习 5本题集中了椭圆方程、三角形的面积、三角形的边角关系等条件，在这些条件中，都离 不开 PF1 、 PF2 两条线段，由此可由椭圆的定义和三角形中的余弦定理出发，求得三角形的面积在椭 圆 x2 y2 + = 1 中， a =5， b = 3 ， c =4， P 点在椭圆上， PF1 + PF2 =10 25 9 由余弦定理得 PF1

13、 2 + PF2 - 2 PF1 PF2 cos 60 0 = 64 2 2 -得： PF1 PF2 =12， S = 1 3 1 PF1 PF2 sin 60 0 = 12 =3 3 2 2 2 链接练习 6过 A 点作右准线的垂线，垂足为 N，与椭圆交与 M，Q离心率 e = 6 1 ， 2 2 MF = MN ， AM + 2 MF 的最小值即为 AN 的长， AN = 2 + 8 = 10 ， AM + 2 MF 的最小 值为 10此时点 M（2 3 ， 3 ） 说明：若利用建立目标函数来求 AM + 2 MF 的最小值，其函数表达式复杂，用常规方法求解较繁， 但若能对 AM + 2

14、MF 中的数值“2”进行分析，不难求出“2”就是 就是 M 点到右准线的距离，问题就可解出 链接练习 7由椭圆定义知，|AP|AC|BP|BC|，即 | PB|-| PA| =| AC|-| BC| = 2 | AB| = 14 ， 故 P 的轨迹为 A（7，0） 、B（7，0）为焦点实轴长为 2 的双曲线的一支：其方程为 x - 2 1 ，则根据椭圆的第二定义，2 MF e y2 = 1（ x 0 ； 48 经讨论知，无论 A 在双曲线的哪一支上总有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14，故点 Q 的轨 迹为以 A（7，0） 、B（7，0）为焦点长轴长为 28 的椭圆，其方程为 x2 y

15、2 + = 1 196 147 链接练习 8动圆满足的条件为：与圆 C1 相内切；与圆 C2 相外切依据两圆相切的充要条件建立 关系式设动圆圆心（ x ， y ），半径为 r ，如图所示，由题意动圆内切于圆 C1， MC1 = 13 - r ， 圆外切于圆 C2 ， MC2 = 3 + r ， MC1 + MC2 = 16 ， 动圆圆心的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆， 且 2a = 16,2c = 8 ， C2 y b = a - c = 64 - 16 = 48 ， 2 2 2 C1 x 故所求轨迹方程为： x2 y2 + = 1 64 48 链接练习 9取 AB 所在直线为 x 轴，

16、以 AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知， A、B、C 舰的坐标为（3，0、（3，0、（5，2 3 7 由于 B、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为 P，则|PB|=|PC|于是 P 在线段 BC 的中垂线上，易 求得其方程为 3 x3y+7 3 =0又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒，知|PB|PA|=4，故知 P 在双曲线 x2 y2 =1 的右支上 - 4 5 直线与双曲线的交点为（8，5 3 ，此即为动物 P 的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10据已 知两点的斜率公式， kPA= 3 ， 得 所以直线 PA 的倾斜角为 60， 于是舰 A 发射炮弹的方位角应是北偏东 30 设发射炮弹的仰角是 ，初速度 v0= 2v sinq 20 3g 10 ，则 0 , = 3 g v0 cosq sin2 = 10 g v0 2 = 3 ,仰角 =30 2 8