初高中全国数学竞赛试卷及答案.doc

1、初高中全国数学竞赛试卷及答案一、选择题(满分30分)1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；将AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则GFC的面积为( )A.2B.3 C.4 D.52.若M=3x28xy9y24x6y13(x，y是实数)，则M的值一定是( )A.正数 B.负数 C.零 D.整数12已知反比例函数的图象如下右图所示，则二次函数的图象大致为【】3.已知点I是锐角ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在A1B1C1的外接圆上，

2、则ABC等于( )A.30B.45 C.60 D.904.设，则与A最接近的正整数是( )A.18 B.20 C.24 D.255.设a、b都是正数，且满足56ab59，0.9a/b0.91，则b2a2等于( )A.171 B.177 C.180 D.182二、填空题(满分30分)6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_秒后，OAB的面积第一次达到最大。7.在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B的两点。若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m=_.8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王

3、，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_9.已知D，E分别是ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。过P分别作PQCA，PRCB，它们分别与边AB交于点Q，R，则PQR的面积与ABC的面积的比是_10.已知x1,x2,x3,x40都是正整数，且x1+x2+x3+x40=58，x12+x22+x32+x402的最

4、大值为A，最小值为B，则A+B的值等于_。三、解答题、(满分60分)11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是BC和BD的中点

5、。求证：13. .已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2(8p10q)x5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).14.从1，2.，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (abc),都有abcBC),都有ABC.一、填空题 1、某班50名学生在适应性考试中，分数段在90100分的频率为0.1，则该班在这个分数段的学生有_人 。 2、正n边形的内角和等于1080，那么这个正n边形的边数n=_。 3、已知梯形两底角之和为90，上底长为5，下底长11，则连结两底中点的线段长为。 4、有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作

6、步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶位数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止。不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的。最后这个相同的数就叫它为“黑洞数”。请你以2004为例尝试一下（可自选另一个自然数作检验，不必写出检验过程）：2004，一步之后变为 ，再变为 ，再变为 ，“黑洞数”是 。 5、据中新社报道：2010年我国粮食产量将达到540000000000千克，用科学记数法表示这个粮食产量为_千克

7、。 6、给出一个正方形，请你动手画一画，将它剖分为n个小正方形。那么，通过实验与思考，你认为这样的自然数n可以取的所有值应该是_ 。 7、分解因式：x21=_ 。 8、口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别.随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是_ 。 9、扑克牌游戏 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆. 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为

8、中间一堆牌现有的张数是 。 10、一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图4），则这串珠子被盒子遮住的部分有_颗 。 二、选择题 11、下列调查，比较容易用普查方式的是（ ） A、了解九龙山居民年人均收入 B、了解九龙山初中生体育中考的成绩 C、了解九龙山中小学生的近视率 D、了解某一天离开九龙山的人口流量 12、在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（） A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影长比小强的影子短 C、小明的影子和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长 13、下列计算中，正确的是（） A、2a+3b=5ab B、aa3=a3 C、

9、a6a2=a3 D、(-ab)2=a2b2 14、小敏用10元钱购买两种邮票：“羊城地铁”每张0.80元，“珠江新桥”每张1.50元，每种至少购1张，多购不限，不同的购买方法种数有（） A、33B、34C、32D、30 15、某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个。若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是 （） A、1/100 B、1/1000 C、1/1000 D、111/10000 16、已知一次函数y=kx+b的图象（如图6），当x0时，y的取值范围是（ ） A、y0 B、y0 C、2y0 D、y2 17

10、、数学老师对小明在参加高考前的5次数学模拟考试进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ） A、平均数或中位数 B、方差或极差 C、众数或频率 D、频数或众数 18、下列四个命题：（1）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形。（2）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。（3）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为75。（4）三点确定一个圆。其中不正确的命题有（）个 A、1 B、2 C、3 D、4 19、已知两圆的半径分别是5cm和4cm，圆心距为7cm，那么这两圆的位置关系是（ ）A、相交 B、内切 C、外切 D、外离 20

11、、为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价。若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式是（） A、y2m(1x) B、y2m(1x) C、ym(1x)2 D、ym(1x)2 21、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（） A、10 B、12 C、15 D、20 22、计算(2)(3)的结果是（） A、6 B、 5 C、5 D、6 一 选择题1. 已知实数ab且满足(a+1)2=3-3(a+1).3（b+1）=3-(b+1)2,则的值是( )A 23 B -23 C -2 D - 132.若直角三角形的 两条

12、直角边为a,b，斜边为c，斜边上 的 高 为h,则有( ) A ab=h2 B a2+b2=2h2 C D 3.一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为 （4，-11），且x与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a,b,c中为正数的（ ）A 只有a B 只有 b C只有 c D只有a和b4在ABC中，DEABFG，且FG到DE，AB的距离之比为1：2，若ABC的面积为32，CDE的面积为2，则CFG的面积为 （ ）A 6 B 8 C 10 D 125 如果x和y是非零实数，使得和，那么x+y等于 ( )A 3 B C D 二 填空题6 在ABC中，AB=AC，AD=AE， BAD=600，则EDC

13、= 0 7 据有关资料统计，两个 城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m,n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）。现测得A，B，C三个城市的人口及它们之间的 距离如图所示，且已知A，B 两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B，C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t表示）8已知实数a,b,x,y满足a+b=x+y=2,ax+by=5,则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)= 9 如图所示，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD)D=900,BC=CD=12, ABE=450, 若AE=10，则CE的长为 10实数x,y,z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3,则得最大值是 一、选择题（每小题6分，共48分）1、已知等腰直角三角形ABC中，C=90，点D在CB的延长线上，且BD=AB，则ADB的余切值是-（ ）A、+1 B、-1 C、 D、2、已知三个关于x的方程x2-x+m=0, (m-1)x2+2x+1=0和(m-2)x2+2x-1=0. 若其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围为-（ ）A、m2 B、m或1m2 C、m1 D、m1 3、夏季T恤衫的售价比春季的售价上浮a%，年终又比夏季下降a%，若年终售价是春季售价的x倍，则x等于-