1、二次函数图象与性质(1)【学习目标】 1理解二次函数的定义及解析式的三种形式;2了解二次函数图像与字母系数的关系.并巩固二次函数的性质.3了解二次函数的平移,能够根据条件确定二次函数的解析式.【知识梳理】1 二次函数的定义:形如的函数叫做二次函数。2 二次函数解析式的几种形式(1)一般式:,其中 a、b、c为常数,(2)顶点式:,其中a、h、k为常数,(3)两根式(交点式):,其中a0,且x1、x2是 3二次函数的性质函数对称轴顶点坐标开口方向增减性y=ax1a0时,二次函数开口向_ ;函数有最_值 2a0时,二次函数开口向_;函数有最_值 1a0时:当x_时,y随x的增大而_;当x_时,y随
2、x的增大而_;2a0时:当x_时,y随x的增大而_;当x_时,y随x的增大而_;y=ax+cy=a(x-h)y=a(x-h)+ky=ax+bx+c4抛物线的图象与a、b、c之间的关系aa0a0开口 ,开口 . bab0b=0ab0对称轴在 ; 对称轴为 ;对称轴在 .简单地说:“左同右异”cc0 c=0c0与y轴_ 半轴相交;经过原点;与y轴_ 半轴相交5二次函数与一元二次方程的关系0抛物线与x轴 ;0抛物线与x轴 ;0物线与x轴 6二次函数图像的平移规律从到,抓住顶点从(0,0)到(h,k).【考点解析】考点一:二次函数的性质例1(长沙)如图,关于抛物线,下列说法错误的是() A顶点坐标为(
3、1,);B对称轴是直线x=1;C开口方向向上; D当x1时,y随x的增大而减小。 跟踪练习:1.(2014新疆)对于二次函数y=(x1)2+2的图象,下列说法正确的是()A. 开口向下 B. 对称轴是x=1 C. 顶点坐标是(1,2) D. 与x轴有两个交点。2.(2014毕节地区)抛物线y=2x2,y=2x2,共有的性质是( )A. 开口向下 B.对称轴是y轴 C.都有最低点 D. y随x的增大而减小 3.(2014青岛)函数y=与y=kx2+k(k0)在同一直角坐标系中的图象可能是()ABCD考点二:抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系.例2(2014莱芜)已知二次函数y
4、=ax2+bx+c的图象如下图所示下列结论:abc0;2ab0;4a2b+c0;(a+c)2b2。其中正确的个数有()A1B2C3D4跟踪练习:1.(2014孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(1,2),与x轴的一个交点A在点(3,0)和(2,0)之间,其部分图象如图, 则以下结论:b24ac0;a+b+c0;ca=2;方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根其中正确结论的个数为()A1个B第1题图2个CO31xy例3题图3个D4个例2题图考点三:根据条件确定二次函数的解析式.例3(广东)已知二次函数的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
5、(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式;(2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.跟踪练习:1.(2014温州)如图,抛物线y=x2+2x+c与x轴交于A,B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作MEy轴于点E,连结BE交MN于点F,已知点A的坐标为(1,0)(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标(2)求EFM与BFN的面积之比。2.(2014毕节地区)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点为A(1,1),与x轴交点M(1,0)C为x轴上一点,且CAO=90,线段AC的延长线交抛物线于B点,另有点F(1,0)(1)求抛物线的解析式;(2)求直线Ac的解析式及
6、B点坐标;3.(2014浙江宁波)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,1)和C(4,5)三点(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值考点四:二次函数图像的平移例4(广元)在平面直角坐标系中,如果抛物线y3x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位,那么在新坐标系中此抛物线的解析式是( )Ay3(x3)23 By3(x3)23Cy3(x3)23 Dy3(x3)23跟踪练习:1.(2014哈尔滨)将抛物线y=2x2+1向
7、右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为()Ay=2(x+1)21By2(x+1)2+3Cy=2(x1)2+1Dy=2(x1)2+32.(2014湖北荆门)将抛物线y=x26x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是()Ay=(x4)26By=(x4)22 Cy=(x2)22Dy=(x1)233.(2014丽水)在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是()A(3,6)B(1,4)C(1,6)D(3,4)【基础演练】 一.选择题:1. ( 2014广东)二次函数y=ax2+bx+c(
8、a0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是()A函数有最小值; B.对称轴是直线x=;C.当x,y随x的增大而减小;D. 当1x2时,y0.2. (2014广西贺州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a0)的图象如图所示,则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是()ABCD3(2014年四川资阳)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,给出下列四个结论:4acb20;4a+c2b;3b+2c0;m(am+b)+ba(m1),其中正确结论的个数是()A4个B3个C2个D1个4(2014年天津市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)
9、的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根,有下列结论:b24ac0;abc0;m2其中,正确结论的个数是()A 0B1C2D35(2014舟山)当2x1时,二次函数y=(xm)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()AB或C2或D2或或6(14金华)如图是二次函数的图象,使成立的x的取值范围是()A B C D或7(2014浙江宁波)已知点A(a2b,24ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )A(3,7)B(1,7)C(4,10)D(0,10)8.(2014菏泽)如图,RtABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F
10、分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )ABCD9.(2014济宁)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(mn)是关于x的方程1(xa)(xb)=0的两根,且ab,则a、b、m、n的大小关系是()AmabnBamnbCambnDmanb10(2014年山东泰安)已知函数y=(xm)(xn)(其中mn)的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可
11、能是()A B C 二.填空题:11. ( 2014安徽省)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= 12(2014云南)抛物线y=x22x+3的顶点坐标是 13(2014浙江湖州)已知当x1=a,x2=b,x3=c时,二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1,y2,y3,若正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且当abc时,都有y1y2y3,则实数m的取值范围是14.(2014株洲)如果函数y=(a1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是 15.
12、 (2014年江苏南京)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x10123y105212则当y5时,x的取值范围是16. (2014扬州)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a2b+c的值为0第16题图第18题图第17题图 17(2014菏泽)如图,平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x0)与y2=(x0)于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1于点D,直线DEAC,交y2于点E,则= _18. ( 2014珠海)如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为 三解答题:
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