1、八年级数学全等三角形能力培优一解答题(共8小题)1如图所示,一个四边形纸片ABCD,B=D=90,把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B点,AE是折痕(1)试判断BE与DC的位置关系;(2)如果C=130,求AEB的度数2已知:点A(4,0),点B是y轴正半轴上一点,如图1,以AB为直角边作等腰直角三角形ABC(1)当点B坐标为(0,1)时,求点C的坐标;(2)如图2,以OB为直角边作等腰直角OBD,点D在第一象限,连接CD交y轴于点E在点B运动的过程中,BE的长是否发生变化?若不变,求出BE的长;若变化,请说明理由3如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB
2、边上一点,连接CF,交BE于点D且ACF=CBE,CG平分ACB交BD于点G,(1)求证:CF=BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CPAG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;4如图(1),AB=CD,AD=BC,O为AC中点,过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么1与2有什么关系?请说明理由;若过O点的直线旋转至图(2)、(3)的情况,其余条件不变,那么图(1)中的1与2的关系成立吗?请说明理由5如图,把ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,(1)写出图中一对全等的三角形,并写出它们的所有对应角;(2)设AED的度数为x,ADE的度数为y,那
3、么1,2的度数分别是多少?(用含有x或y的代数式表示)(3)A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变,请找出这个规律6在ABC中,AD是ABC的角平分线(1)如图1,过C作CEAD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连接AF,求证:AFAD;(2)如图2,M为BC的中点,过M作MNAD交AC于点N,若AB=4,AC=7,求NC的长7如图,在RtABC中,ABC=90,CD平分ACB交AB于点D,DEAC于点E,BFDE交CD于点F求证:DE=BF8已知:ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC求证:AB=AC八年级数学全等三角形能力培优参考答案与试题解析一解答题(共8
4、小题)1如图所示,一个四边形纸片ABCD,B=D=90,把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B点,AE是折痕(1)试判断BE与DC的位置关系;(2)如果C=130,求AEB的度数【分析】(1)由于AB是AB的折叠后形成的,所以ABE=B=D=90,BEDC;(2)利用平行线的性质和全等三角形求解【解答】解:(1)由于AB是AB的折叠后形成的,ABE=B=D=90,BEDC;(2)折叠,ABEABE,AEB=AEB,即AEB=BEB,BEDC,BEB=C=130,AEB=BEB=65【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质;把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B点,则ABEABE,利
5、用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解2已知:点A(4,0),点B是y轴正半轴上一点,如图1,以AB为直角边作等腰直角三角形ABC(1)当点B坐标为(0,1)时,求点C的坐标;(2)如图2,以OB为直角边作等腰直角OBD,点D在第一象限,连接CD交y轴于点E在点B运动的过程中,BE的长是否发生变化?若不变,求出BE的长;若变化,请说明理由【分析】(1)过C作CMy轴于M,通过判定BCMABO(AAS),得出CM=BO=1,BM=AO=4,进而得到OM=3,据此可得C(1,3);(2)过C作CMy轴于M,根据BCMABO,可得CM=BO,BM=OA=4,再判定DBECME(AAS),可得BE
6、=EM,进而得到BE=BM=2【解答】解:(1)如图1,过C作CMy轴于MCMy轴,BMC=AOB=90,ABO+BAO=90ABC=90,CBM+ABO=90,CBM=BAO,在BCM与ABO中,BCMABO(AAS),CM=BO=1,BM=AO=4,OM=3,C(1,3);(2)在B点运动过程中,BE长保持不变,BE的长为2,理由:如图2,过C作CMy轴于M,由(1)可知:BCMABO,CM=BO,BM=OA=4BDO是等腰直角三角形,BO=BD,DBO=90,CM=BD,DBE=CME=90,在DBE与CME中,DBECME(AAS),BE=EM,BE=BM=2【点评】本题考查了全等三角
7、形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质,熟练掌握三角形全等的判定方法,判定DBECME是解第(2)题的关键3如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D且ACF=CBE,CG平分ACB交BD于点G,(1)求证:CF=BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CPAG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;(3)在(2)问的条件下,当GAC=2FCH时,若SAEG=3,BG=6,求AC的长【分析】(1)根据ASA证明BCGCAF,则CF=BG;(2)先证明ACGBCG,得CAG=CBE,再证明PCG=PGC,即可得出
8、结论;(3)作AEG的高线EM,根据角的大小关系得出CAG=30,根据面积求出EM的长,利用30角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长,所以CE=3+,根据线段的和得出AC的长【解答】证明:(1)如图1,ACB=90,AC=BC,A=45,CG平分ACB,ACG=BCG=45,A=BCG,在BCG和CAF中,BCGCAF(ASA),CF=BG;(2)如图2,PCAG,PCA=CAG,AC=BC,ACG=BCG,CG=CG,ACGBCG,CAG=CBE,PCG=PCA+ACG=CAG+45=CBE+45,PGC=GCB+CBE=CBE+45,PCG=PGC,PC=PG,PB=BG+PG,BG=
9、CF,PB=CF+CP;(3)如图3,过E作EMAG,交AG于M,SAEG=AGEM=3,由(2)得:ACGBCG,BG=AG=6,6EM=3,EM=,设FCH=x,则GAC=2x,ACF=EBC=GAC=2x,ACH=45,2x+x=45,x=15,ACF=GAC=30,在RtAEM中,AE=2EM=2,AM=3,M是AG的中点,AE=EG=2,BE=BG+EG=6+2,在RtECB中,EBC=30,CE=BE=3+,AC=AE+EC=2+3+=3+3【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质,证明两线段相等时,一般都是证明两线段所在的三角形全等,因此第一问只需要证明BC
10、GCAF即可;第3问,如何得出30角和作辅助线,利用到SAEG=3列式是突破口4如图(1),AB=CD,AD=BC,O为AC中点,过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么1与2有什么关系?请说明理由;若过O点的直线旋转至图(2)、(3)的情况,其余条件不变,那么图(1)中的1与2的关系成立吗?请说明理由【分析】(1)证明三角形ACD和CAB全等根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等,那么就能证出ADBC,也就得出1=2了(2)(3)和(1)的证法完全一样【解答】解:1与2相等证明:在ADC与CBA中,ADCCBA(SSS)DAC=BCADABC1=2图形同理可证,ADCCBA得
11、到DAC=BCA,则DABC,1=2【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定,根据全等三角形得出角相等是解题的关键5如图,把ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,(1)写出图中一对全等的三角形,并写出它们的所有对应角;(2)设AED的度数为x,ADE的度数为y,那么1,2的度数分别是多少?(用含有x或y的代数式表示)(3)A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变,请找出这个规律【分析】(1)根据折叠就可写出一对全等三角形,根据折叠,则重合的顶点是对应点,重合的角是对应角;(2)根据全等三角形的对应角相等,以及平角的定义进行表示;(3)根据(2)中的表示方法,可以求得
12、1+2,再找到A和x、y之间的关系,就可建立它们之间的联系【解答】解:(1)EADEAD,其中EAD=EAD,AED=AED,ADE=ADE;(2)1=1802x,2=1802y;(3)1+2=3602(x+y)=3602(180A)=2A规律为:1+2=2A【点评】在研究折叠问题时,有全等形出现,要充分利用全等的性质6在ABC中,AD是ABC的角平分线(1)如图1,过C作CEAD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连接AF,求证:AFAD;(2)如图2,M为BC的中点,过M作MNAD交AC于点N,若AB=4,AC=7,求NC的长【分析】(1)推出3=E,推出AC=AE,根据等腰三角形性质得
13、出AFCE,根据平行线性质推出即可;(2)延长BA与MN延长线于点E,过B作BFAC交NM延长线于点F,求出BF=CN,AE=AN,BE=BF设CN=x,则BF=x,AE=AN=ACCN=7x,BE=AB+AE=4+7x得出方程4+7x=x求出即可【解答】(1证明:AD为ABC的角平分线,1=2CEAD,1=E,2=3E=3AC=AEF为EC的中点,AFEC,ADEC,AFE=FAD=90AFAD(2)解:延长BA与MN延长线于点E,过B作BFAC交NM延长线于点F,3=C,F=4M为BC的中点BM=CM在BFM和CNM中,BFMCNM(AAS),BF=CN,MNAD,1=E,2=4=5E=5=FAE=AN,BE=BF设CN=x,则BF=x,AE=AN=ACCN=7x,BE=AB+AE=4+7x4+7x=x解得 x=5.5CN=5.5【
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