1、【思路点拨】函数零点转化为方程的根.【答案】-1,6.(2)函数y=x2-5x-6在(0,2)上零点个数是( )A.1 B.2 C.0 D.不确定【解题过程】令y=x2-5x-6=0解得故在(0,2)上无零点.【思路点拨】由(1)可得方程两根,但要考虑跟根所在区间.【答案】C.(3)函数y=-x3-3x+5的的零点所在区间为( )A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)【数学思想】数形结合思想【解题过程】令y=-x3-3x+5=0即x3=-3x+5,由图像可得其交点在(1,2)之间.【思路点拨】分解为y=x3与y=-3x+5图像的交点所在区间.【答案】C(二)课堂设计知
2、识回顾1.一元二次方程根的判断:0时有两个实根,=0时有一个实根,0时无实根.2.函数零点定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.3.函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点.2.问题探究探究一 从具体函数中归纳零点定理活动 从实际问题初步体会零点存在定理.新疆位于我国最北部,它的昼夜温差比较大.若已知新疆某地白天最高气温是零上,夜晚时最低气温零下.请问这一天是否有某个时刻的温度为?试用已知画出本地这天温度的大致变化趋势.【设计意图】从实际问题出发,学生很容易理解。通过这个活动,让学生初
3、步体会了零点存在定理.活动 将实际问题抽象为数学问题,体会零点存在定理.由活动中的问题,试探究(小组讨论):如何画函数图像能使得其必穿过x轴?反之,若函数图像穿过x轴即与x轴有交点,函数值有什么特点?【设计意图】将实际问题转化为数学问题,同时从画函数图像入手研究零点存在定理,更容易被学生接受和理解.活动 从二次函数中探索零点存在定理观察函数y= x2-2x-3的图像,回答下列问题:(1)函数在R上的零点有几个?如何判断?(2)函数在-2,1上的零点有几个?如何求得?(3)函数零点左边、右边的函数符号有什么特点?【设计意图】通过求一元二次函数在R和某个区间上零点的比较,体会零点存在定理的必要性.
4、观察零点左、右两侧函数值符号特点初步猜想零点存在与其左右函数符号有关系.活动 观察其他函数图形,归纳零点存在定理.观察下面函数图像,回答问题:函数有哪几个零点?在区间-2,0上呢?在0,2上呢?在2,4上呢?零点x=-1左右函数符号有什么特点?零点x=1呢?x=3呢?你能说出若该函数在-2,0上有零点应满足什么条件吗?在区间0,2上呢?若函数y=f(x)在区间a,b上有零点,应满足什么条件?一般地,若函数y=f(x)在区间a,b上有f(a) f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.【设计意图】在学生熟悉
5、的二次函数基础上,观察非二次函数零点存在的特点,在此基础上归纳得出函数零点存在的条件即零点存在定理。但因为学生没有函数图像连续的概念故在此没列出该条件,这个将在下一活动中理解补充.探究二 零点存在定理的理解. 活动 举出反例,理解、补充图像连续的条件.观察函数图像,试回答下列问题:1.比较:f(-1)_0(填“”或“=”), f(1)_0(填“0则函数y=f(x)在区间a,b上一定没有零点吗?;(2)若f(a) 0则函数y=f(x)在区间a,b上只有一个零点吗?(3)当f(a) 0时,增加什么条件可确定函数y=f(x )在区间a,b上只有一个零点?【设计意图】通过学生小组探究,画函数图像理解定
6、理.理解定理中有一个零点的意义,即至少有一个的意思,同时探究什么时候只有一个.理解定理只是函数存在零点的一个充分条件.探究三 零点定理的应用.活动 巩固基础,检查反馈.例1.已知函数f(x)的图像试练习不断的,有如下的x,f(x)对应值表:x123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064函数f(x)含有零点的区间是_.【知识点】函数的零点.【解题过程】由零点定理可得.【思路点拨】根据零点左右两侧符号正负区别找出满足的区间.【答案】(2,3),(3,4),(4,5).【设计意图】用零点定理确定零点所在区间.同类训练 二次函数y=ax2+bx+c的
7、部分对应值如下表:-3-2-1m-4-6n不求a、b、c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )A.(-3,-1),(2,4)B.(-3,-1),(-1,1)C.(-1,1),(1,2)D. 【知识点】函数的零点与方程根的关系【数学思想】【解题过程】零点定理可得.【思路点拨】根据零点左右两侧函数值异号找出零点存在区间.【答案】A【设计意图】用零点定理判断零点所在区间.例2 求函数y=lnx+2x-6的零点个数.【知识点】函数零点的判定.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由,f(1)0,f(2)0,故f(2) f(3)0,所以f(x)在(2,3)上有零点,又y=f(x)在区
8、间上单调递增,所以它仅有一个零点. 【思路点拨】用零点定理判断.【答案】一个.利用零点定理判断根所在区间,同时结合函数图像说明当函数单调时可以确定只有一个根.同类训练 方程0.9x-x=0的实数解的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3【知识点】元素与集合关系的判断.【解题过程】令f(x )= 0.9x-x,f(0 )= 1,f(1 )= -0.1,且函数单调递减.【答案】B【设计意图】利用零点定理判断根所在区间,同时结合函数图像说明当函数单调时可以确定只有一个根.活动 强化提升、灵活应用例3 方程x2-2ax+4=0的两个根均大于1,求实数a的取值范围.【知识点】根的存在性及根的个数判断
9、.【数学思想】数形结合、函数与方程的思想.【解题过程】设方程的两个根1x1x2,那么由二次函数图像知:所以解得,.【思路点拨】用零点定理去找在指定区间上根的条件.【设计意图】巩固零点定理,用零点定理解决二次方程根的分布问题.同类训练 关于x的方程x2-2x+a=0的一个根在区间(-1,1),另一个根在区间(2,3)内,求实数a的取值范围. 【数学思想】数形结合、函数与方程思想.【解题过程】由二次函数图像特点和零点定理可得,解得,-3a0. 【思路点拨】用零点定理解决.【设计意图】巩固零点定理,用零点定理解决二次方程根的分布问题. 3.课堂总结知识梳理一般地,若函数y=f(x)在区间 上的图像是
10、连续不断的一条曲线,并且有f(a) (a, b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.重难点归纳(1)零点定理:上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a) (a, b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. (2)用零点定理判断方程根所在区间,特别是解决一元二次方程根的分布问题.(三)课后作业基础型 自主突破1.函数f(x)= -8+2x的零点一定位于区间( )A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)【知识点】函数零点的判断.【解题过程】f(3)0故选B.【思路点拨】用零点定理.2.函数f(x)= a x2+b x+ c, 若f(1)0,
11、 f(2)0,则f(x)在(1,2)上零点个数为( )A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有【解题过程】用零点定理结合二次函数图像可判断出在(1,2)上有且只有一个零点.【思路点拨】零点定理.3.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在内的零点有1006个,则f(x)的零点个数为( )A.1006 B.1007 C.2012 D.2013【解题过程】由奇函数图像关于原点对称.【思路点拨】奇函数图像特点.【答案】D4.若函数f(x)=3x25xa的两个零点分别是x1, x2,且有-2 x1 0,1x23,则实数a的取值范围是_.【解题过程】解得-12【答案】-120.5
12、.对于方程x3+x2-2x-1=0有下列判断:在(-2,-1)内有实根;在(-1,0)内有实根;在(1,2)内有实根;在R上没有实根.其中正确的是_.【解题过程】将方程有实根转化为函数y=x3+x2-2x-1有零点,再逐一判断.【答案】.6.若函数y=f(x)在区间0,4上的图像是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数解,则f(0)f(4)的值( )A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断【数学思想】数形结合、方程与函数思想.【解题过程】满足题中要求的函数y=f(x)图像可以有以下两种情况:可知f(0). f(4)0,f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)内(
13、 )A.一定有零点 B.一定没有零点 C.可能有两个零点 D.至多有一个零点【思路点拨】零点定理和二次函数图像结合.8.已知函数仅有一个零点,求实数m的取值范围,并求出零点. 【数学思想】函数与方程、数形结合、分类讨论思想.【解题过程】令2x=t(t0),则t 2+mt+1=0有一个正根.当即m2-4=0,解得m=.则t=1或-1(舍去)解得x=0,所以m2.当即m2或m-2时,方程有一个正根,一个负根,则t1t20,故此情况不成立.综上所述,m2.【思路点拨】方程根个数的判断,复合函数拆分,换元,将范围转换.【答案】m2,0.探究型 多维突破9.已知函数f(x)= a x2+, 讨论关于x的
14、方程f(x)= x3的解的个数. 【数学思想】函数与方程、分类讨论思想.= x 3- a x2= x2(x- a)0可得,所以x- a = x2(x- a)即(x-1)(x+1)(x-a)=0.【思路点拨】绝对值的非负性当时,方程有2个解;当a时,方程有1个解;当a5.【思路点拨】用零点定理和二次函数图像.【答案】m5.若函数f(x)=区间(2,3)上有零点,则k=_. 【解题过程】因为函数f(x)=区间(2,3)上单调递增,又函数在(2,3)上有零点,所以f(2)0,解得3k,又因为,所以k=4. 【思路点拨】零点定理判断根的个数时要结合函数的单调性.【答案】46.已知函数函数g(x)=f(x)-2x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) B.(-3,-1) C. D. 【知识点】根的存在及根的个数判断.【数学思想】函数与方程、数形结合思想.【解题过程】方程g(x)=f(x)-2x恰有3个不同的零点即函数图像与x轴有3个不同的交点.由函数图像可知,【思路点拨】根据函数图像判断零点个数.
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