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1、另外，类似于有限元的网格，NURBS单元也可以细分，基函数的次数也可提高，计算结果更加精确，但几何形状不改变。于是，Hughes将其命名为等几何分析。2 等几何分析简介2.1 B样条基函数由于NURBS基函数是B样条基函数的线性组合5，这里先讨论B样条基函数的构造。B样条基函数由节点矢量构建，如 ，式中ui为节点，n和p分别是B样条基函数的个数和阶数。基函数由Cox-de Boor递推公式定义为6：当p=0时，当p0时，由基函数Ni,p（u）和控制点Pi可表示出B样条曲线：由于B样条曲线具有局部性质，因而，可将上面的p次B样条曲线方程改写为分段表示形式：若给定（m+1）（n+1）个控制点Pi,

2、j（i=1, 2, , m，j=1, 2, , n）的阵列，构成一张控制网格。又分别给定参数u和v的阶数p和q，以及两个节点矢量 和V= ，这样，就定义了一张pq次张量积B样条曲面，方程为：由于B样条曲面也具有局部性质，可将其分段表示为：2.2 NURBS曲线和曲面2.2.1 NURBS曲线1条p次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数：式中， 被称作权或全因子，分别与控制点 相联系。2.2.2 NURBS曲面类似于B样条曲面，NURBS曲面也可分段表示为：同样的，一个三变量NURBS实体也可表示为：2.3 计算流程基于NURBS的等几何分析法的分析思路如下3：1）由节点向量积确定NU

3、RBS片；2）通过节点插值将计算域细分为单元；3）每个基函数的支撑域包含少量单元；4）由基函数的控制点定义几何模型；5）采用等参概念，即场变量与几何模型采用相同的基函数表示，而基函数的系数即为自由度或控制变量；6）通过节点插值或基函数阶数可进一步细化单元，有h型细化、p型细化和k型细化；7）采用类似于有限元的方法，可将等参NURBS片构建的数组组装成全局数组；8）施加Dirichlet边界条件有几种方法。最粗糙的方法是加在控制变量上，这种近似法会导致比较大的误差。然而，对于一些特殊情况，如齐次边界条件，该方法能满足精确度要求。此外，Dirichlet边界条件常常通过变分近似法或几何近似法施加。

4、3 等几何分析的发展3.1 基础理论体系Hughes等提出了等几何分析的概念后，Bazilevs等7用数学的知识对其进行分析和误差估计，证明了等几何分析的收敛性和稳定性等特征，这个结论为之后等几何分析的发展奠定了扎实的理论基础。Cottrell和Hughes8研究了等几何分析中网格的细化和近似连续性。Gomez等9通过等几何分析研究了Cahn-Hilliard相域建模问题。Lipton等10研究了等几何离散化的鲁棒性。Sevilla等11提出了增强的NURBS有限元方法。Shaw和Roy12创立了基于NURBS的参数无网格法。Hughes等13人发现对B样条使用高斯积分计算效率并不理想，因而基

5、于Half-Point-rule提出了一种宏单元积分法，该方法比高斯积分成本减少一半.3.2 网格细化等几何分析中主要有3种细化方法14：基于节点插入的h型细化方法，基于基函数升阶的p型细化方法以及升阶和节点插入相结合的k型细化方法。之后，为了提高计算精度，Xu等15提出了可优化计算域内部控制点的位置的r型细化方法。徐岗等16在r型细化方法的基础上提出了r-p型细化方法，并应用于二维热传导问题上。没多久，徐岗、朱亚光等17提出了基于局部误差估计的自适应r细化方法，大大提高计算域参数化的优化效率。Pilgerstorfer等18进一步从理论层面挖掘了计算域参数化以及节点分布对等几何分析求解的影响

6、，发现对一般问题而言，求解误差与计算域的等参数线网格（或等参数面网格）的均匀性及正交性有关，这也为构造适合分析的计算域参数化提供了重要的理论依据。3.3 新型样条最初的等几何分析采用的基函数是CAD中最广泛应用的B样条和NURBS基函数，后来许多学者陆续采用T样条等新兴样条19。T样条是由Sederberg等20在2003年提出的，可以实现局部加密，使单个样条表示复杂模型的能力大大提升。Bazilevs等7率先将T样条用于等几何分析，并用于简单地二维和三维结构问题。Wang等21提出一种将任意非结构化二次网格转化为标准T样条表面的方法。不过，T样条的局部细分结果依赖于控制网的拓扑结构，其复杂性

7、也是不确定的，另外T样条的混合函数不一定总是线性无关的22。于是，Nguyen-Thanh等23提出了PHT样条（多项式分层T样条），PHT样条是定义在层次T网格上双三次C1连续的样条空间，其继承了NURBS和T样条的所有优点，解决了NURBS和T样条相互转化的困难的问题。PHT样条具有很好的局部加细性质，这使其在拟合、缝合、简化、自适应曲面重构和等几何分析中得到了广泛的应用22。Bernard Mourrai等24研究了一般T网格上的维数计算公式，为将PHT样条向一般情形推广奠定了基础。3.4 计算效率由于等几何分析法采用了高阶基函数，使得刚度矩阵相比于有限元法要稠密的多，大大地增加了计算时

8、间，为此，许多学者展开了相关的研究。郭利财等25提出了一种基于矩阵分解的并行算法，从刚度矩阵的装配上节省计算时间。而后他们26还提出了直接使用粗网格的精确解作为细网格的初始解，大大提高了迭代速度。Veiga等27提出一种基于重叠加法型施瓦茨预条件算子的重叠计算域分解方法，证明等几OAS算子关于子区域数是可扩展的。Gahalant等28分析了网间迁移算子的逼近性质和松弛算子的光顺性质，以此为基础证明了等几何分析多重网格方法的单元尺寸无关的最优收敛速度。Collier等29研究了基函数个数n，基函数次数p和光滑阶k对串行多波直接求解器性能的影响。3.5 边界条件的施加由于基函数不同于有限元中的多项

9、式基函数，它一般不具有插值的特征，若直接在控制点处施加边界条件而不釆取任何处理方式就会由于收敛速率的恶化导致结果出现明显误差。于是，王东东等30通过一种变换将控制变量与边界上的配置节点联系起来，并提出一种对边界条件增强处理的方法。之后，他们提出了基于罚函数位移边界条件施加方式的几何精确NURBS有限元方法31。张勇等32提出了比例边界等几何分析方法，并将之应用于波导本征问题的求解，求解结果比传统等几何分析精度更高。陈涛等33提出一种基于样条拟合的Dirichlet边界条件施加方法，可通过最小二乘拟合引入更多的边界配点以获得精度更高的近似值。后来，他们又提出采用Nitshe法施加位移边界条件的新

10、方法34。3.6 结构优化用传统有限元法进行优化时，网格内部几何近似会在响应分析时导致精度问题，在设计灵敏度分析时会更不利。为此，Hughes等3提出将等几何分析用于结构优化设计。之后，Wall等35给出了一种基于等几何分析的结构形状优化设计框架，并将其应用到二维线弹性结构的最优化问题。Ha等36在等几何结构优化中采用了T样条，在产生相同优化设计形状的情况下，可获得更高效的求解过程。Nagy等37将等几何分析用于曲梁的尺寸和形状优化，提出了多级设计方法。Seo等38采用样条表面和修剪曲线表示设计模型的外部和内部边界，提出了新的控制点灵敏度分析公式和内前面合并算法。Qian和Sigmund提39

11、出了一种将等几何形状优化的类矩形NURBS面片扩展到布局复杂的几何的优化设计方法。Hassani等40使用了基于控制点的SIMP法和类似于SIMP法的惩罚技术，推导应用了优化准则。3.7 接触分析有限元法采用非光滑边界逼近光滑边界，人为导致接触边界的不光滑性，在某些情况下导致较大的误差。另外，由于单元边界处法线方向不唯一而导致搜索困难，搜索成本高。引入等几何分析将大大减小以上原因带来的计算误差。Lu 41首先提出了接触问题的等几何分析框架，在几何描述和分析中统一采用NURBS基函数。Temizer等42提出了等几何分析的点-面接触算法，定性研究了各种有限变形无摩擦热弹接触问题，得到了令人满意的

12、结果。De Lorenzis43将等几何分析用于二维大变形Coulomb摩擦接触问题。Stadler等44在有限元框架下采用NURBS接触面，得到Cn连续的有限变形弹性接触模型，并用于分析二维问题。De Lorenzis等45将等几何分析用于三维无摩擦大变形光滑接触问题和有摩擦接触问题。Kim46提出一种新的接触匹配算法用于精确确定等几何分析框架下的接触面。4 展望1）等几何分析目前应用在简单外形的问题较多，而对于外形复杂的几何模型，构造适合分析的的体参数化以及可能出现的样条不连续问题目前仍是一个不易解决的难题。2）目前的研究主要集中在基于节点插人的局部加细样条上，如T样条、PHT样条等。若能

13、找到基于升阶的局部加细样条，对以后的研究工作有很大的帮助。3）等几何分析的高阶性使得其计算效率低，如何提高计算效率，使得等几何分析能真正应用于实际中是今后的研究重点之一。4）等几何分析采用样条基函数作为形函数，由于基函数不满足正交条件，其网格存在重叠或错误，引起求解错误，该方面有待研究。5 结论10年的发展，使等几何分析得等到逐步完善，诸多问题（如网格细化、边界条件的施加、计算效率等）得到了解决和提高。越来越多的学者将其运用到各个领域中（如板壳问题、结构优化、流固耦合等）。等几何分析方法的提出不仅为CAD/CAE的无缝融合提供新思路，还为成熟的几何设计和计算领域提出了新的课题。虽仅有10年的发

14、展，但等几何分析仍是一种创新优秀的数值计算方法。参考文献01 Bazilevs Y, Calo V M, Cottrell J A, et al. Isogeometric analysis using T-splinesJ. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010, 199（5-8）: 229-26302 葛建立, 杨国来. 同几何分析研究进展J. 力学进展, 2012,46（2）:771-78403 Hughes T J R, Cottrell J A, Bazilevs Y. Isogeometric ana

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