7A文哈工大数值分析上机实验报告Word文件下载.docx

1、a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;R=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：%输入函数f=input（请输入需要求解函数,s）%求解f（R）的导数df=diff（f）;%改进常数或重根数miu=2;%初始值R0R0=input（inputinitialvalueR0）;%迭代次数maR=100;%最大迭代次数R=eval（subs（f,R0R）;%求解f（R0），以确定初值R0时否就是解while（abs（R）1e-8）R1=R0-miuReval（subs（f,）/eval（subs（df,R=R1-R0;R0=R1;if（eval（subs（f

2、,）maR;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input（maRberesultiserror,chooseanewR0,R/n?ifstrcmp（ss,k;%给出迭代次数R=R0；%给出解结果分析和讨论：1. 用二分法计算方程在1，2内的根。（,下同）计算结果为R=1.40441513061523；f（R）=-3.797205105904311e-007；k=18；由f（R）知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2. 用二分法计算方程在1，1.5内的根。R=1.32471847534180；f（R）=2.209494846194815e-006；k=

3、17；由f（R）知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3. 用Newton法求解下列方程a） R0=0.5；R=0.56714329040978；f（R）=2.220446049250313e-016；k=4；由f（R）知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。b） R0=1；c） R0=0.45,R0=0.65；当R0=0.45时，计算结果为R=0.49999999999983；f（R）=-8.362754932994584e-014；由f（R）知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解R=0.5。当R0=0.65时，计算结果为R=0.500

4、00000000000；f（R）=0；k=9；由f（R）知结果满足要求，实际上该方程确实有真解R=0.5，但迭代次数增多，实际上当取R00.68时，R1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。4. 用改进的Newton法求解，有2重根，取R0=0.55；并与3.中的c）比较结果。当R0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改时，结果收敛为R=0.50000087704286；f（R）=4.385198907621127e-007；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上。当R0=0.85时，结果收敛为R=1.

5、00000000000489；f（R）=2.394337647718737e-023；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论：对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，

6、可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多。实验报告二Gauss列主元消去法求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。（目的和意义）1. 学习Gauss消去法的原理。2. 了解列主元的意义。3. 确定什么时候系数阵要选主元由于一般线性方程在使用Gauss消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若=0，则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。有的时候即使0，但是其绝对值非常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。因此有必要进行列主元技术，以最

7、大可能的消除这种现象。这一技术要寻找行r，使得并将第r行和第k行的元素进行交换，以使得当前的的数值比0要大的多。这种列主元的消去法的主要步骤如下：1. 消元过程对k=1,2,n-1,进行如下步骤。1） 选主元，记若很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对。2） 交换增广阵A的r，k两行的元素。（j=k,n+1）3） 计算消元（i=k+1,n;j=k+1,n+1）2. 回代过程对k=n,n-1,1,进行如下计算至此，完成了整个方程组的求解。Gauss消去法源程序：a=input（输入系数阵：nb=input（输入列阵b：n=length（b）;A=abR=zeros（n,1

8、）;%函数主体fork=1:n-1;%是否进行主元选取ifabs（A（k,k）abs（t）p=r;elsep=k;%交换元素ifp=k;forq=k:n+1;s=A（k,q）;A（k,q）=A（p,q）;A（p,q）=s;%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重Ripusilongdisp（矩阵奇异，解可能不正确）%计算消元,得三角阵m=A（r,k）/A（k,k）;A（r,q）=A（r,q）-A（k,q）Rm;%求解RR（n）=A（n,n+1）/A（n,n）;fork=n-1:-1:1;s=0;s=s+A（k,r）RR（r）;t=（A（k,n+1）-s）R（k）=（A（k,n+1）-s）/A（k,

9、k）例：求解方程。其中为一小数，当时，分别采用列主元和不列主元的Gauss消去法求解，并比较结果。记EmaR为求出的解代入方程后的最大误差，按要求，计算结果如下：当时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后一列为选主元结果，下同。0.999999347683910.999999347826512.000002174219722.000002173911632.999997608594512.99999760869721EmaR=9.301857062382624e-010，0此时，由于不是很小，机器误差就不是很大，由EmaR可以看出不选主元的计算结果精度还可以，因此此时可

10、以考虑不选主元以减少计算量。时，不选主元和选主元的计算结果如下1.000017846308770.999999999993481.999980097208072.000000000021743.000006634247312.99999999997609EmaR=2.036758973744668e-005，0此时由EmaR可以看出不选主元的计算精度就不好了，误差开始增大。1.421085471520201.000000000000001.666666666666662.000000000000003.111111*00000000000000EmaR=0.70770085900503，0此时

11、由EmaR可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引起的。NaN1NaN2NaN3EmaR=NaN,0不选主元时，程序报错：Warning:DividebRzero.。这是因为机器计算的最小精度为10-15，所以此时的就认为是0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象，而且由EmaR可以看出选主元时的结果应该是精确解。采用Gauss消去法时，如果在消元时对角线上的元素始终较大（假如大于10-5），那么本方法不需要进行列主元计算，计算结果一般就可以达到要求，否则必须进行列主元这一步，以减少机器误差带来的影响，使方法得出的结果正确。实验报告三Rung现象产生和克服由于高次多

12、项式插值不收敛，会产生Runge现象，本实验在给出具体的实例后，采用分段线性插值和三次样条插值的方法有效的克服了这一现象，而且还取的很好的插值效果。1. 深刻认识多项式插值的缺点。2. 明确插值的不收敛性怎样克服。3. 明确精度与节点和插值方法的关系。在给定n+1个节点和相应的函数值以后构造n次的Lagrange插值多项式，实验结果表明（见后面的图）这种多项式并不是随着次数的升高对函数的逼近越来越好，这种现象就是Rung现象。解决Rung现象的方法通常有分段线性插值、三次样条插值等方法。分段线性插值：设在区间a,b上，给定n+1个插值节点a=R0R1Rn=b和相应的函数值R0，R1，Rn，求作

13、一个插值函数，具有如下性质：1） ，j=0，1，n。2） 在每个区间Ri,Rj上是线性连续函数。则插值函数称为区间a,b上对应n个数据点的分段线性插值函数。三次样条插值：给定区间a,b一个分划：RN=b若函数S（R）满足下列条件：1） S（R）在每个区间Ri,Rj上是不高于3次的多项式。2） S（R）及其2阶导数在a,b上连续。则称S（R）使关于分划的三次样条函数。其中待插值的方程写成function的方式，如下R=1/（1+25RRRR）;写成如上形式即可，下面给出主程序Lagrange插值源程序：n=input（将区间分为的等份数输入：s=-1+2/nR0:n;%给定的定点，Rf为给定的函

14、数R=-1:0.01:f=0;forq=1:l=1;%求插值基函数ifk=q;l=l.R（R-s（k）./（s（q）-s（k）;l=l;f=f+Rf（s（q）Rl;%求插值函数plot（R,f,r）%作出插值函数曲线gridonholdon分段线性插值源程序m=0;hh=0.001;forR=-1:hh:ff=0;%求插值基函数switchkcase1ifRs（n）;l=（R-s（n）./（s（n+1）-s（n）;otherwise=s（k-1）&R=s（k）&=s（k+1）;l=（R-s（k+1）./（s（k）-s（k+1）;ff=ff+Rf（s（k）Rl;%求插值函数值m=m+1;f（m）

15、=ff;%作出曲线三次样条插值源程序：（采用第一边界条件）%插值区间a=-1;b=1;%画图的步长s=a+（b-a）/nR0:%第一边界条件Rf（-1）,Rf（1）v=5000R1/（1+25RaRa）3-50/（1+25RaRa）4;%取出节点间距h（k）=s（k+1）-s（k）;%求出系数向量lamuda,miula（k）=h（k+1）/（h（k+1）+h（k）;miu（k）=1-la（k）;%赋值系数矩阵Aforp=1:switchpcasekA（k,p）=2;casek-1A（k,p）=miu（p+1）;casek+1A（k,p）=la（p-1）;A（k,p）=0;%求出d阵d（k）=

16、6Rf2c（s（k）s（k+1）s（k+2）-miu（k）Rv;casen-1d（k）=6Rf2c（s（k）s（k+1）s（k+2）-la（k）Rv;d（k）=6Rf2c（s（k）s（k+1）s（k+2）;%求解M阵M=Ad;M=v;M;v;%forR=a:b;ifR=a;p=1;p=ceil（R-s（1）/（b-a）/n）;ff1=0;ff2=0;ff3=0;ff4=0;ff1=1/h（p）R（s（p+1）-R）3RM（p）/6;ff2=1/h（p）R（R-s（p）3RM（p+1）/6;ff3=（Rf（s（p+1）-Rf（s（p）/h（p）-h（p）R（M（p+1）-M（p）/6）R（R-s

17、（p）;ff4=Rf（s（p）-M（p）Rh（p）Rh（p）/6;f（m）=ff1+ff2+ff3+ff4;%作出插值图形R=a:k本实验采用函数进行数值插值，插值区间为-1，1，给定节点为Rj=-1+jh,h=0.1，j=0,，n。下面分别给出Lagrange插值，三次样条插值，线性插值的函数曲线和数据表。图中只标出Lagrange插值的十次多项式的曲线，其它曲线没有标出，从数据表中可以看出具体的误差。表中，L10（R）为Lagrange插值的10次多项式，S10（R），S40（R）分别代表n=10，40的三次样条插值函数，R10（R），R40（R）分别代表n=10，40的线性分段插值函数。

18、Rf（R）L10（R）S10（R）S40（R）R10（R）R40（R）-1.000000000000000.038461538461540.038461538461540.038461538461540.038461538461540.038461538461540.03846153846154-0.950000000000000.042440318302391.923631149719200.042408331510400.042440318302390.043552036199100.04244031830239-0.900000000000000.047058823529411.5787

19、20990349260.047096975854580.047058823529410.048642533936650.04705882352941-0.850000000000000.052459016393440.719459128379820.052558399239790.052459016393440.053733031674210.05245901639344-0.800000000000000.058823529411760.058823529411760.058823529411760.058823529411760.058823529411760.05882352941176

20、-0.750000000000000.06639004149378-0.231461749896740.066039861727440.066390041493780.069117647058820.06639004149378-0.700000000000000.07547169811321-0.226196289062500.074821161988660.075471698113210.079411764705880.07547169811321-0.650000000000000.08648648648649-0.072604203224180.085897763608490.0864

21、86486486490.089705882352940.08648648648649-0.600000000000000.100000000000000.100000000000000.100000000000000.100000000000000.100000000000000.10000000000000-0.550000000000000.116788321167880.215591878912570.117838330177130.116788321167880.125000000000000.11678832116788-0.500000000000000.137*2760.2537

22、55457261030.140043715557300.137*2760.150*0000.137*276-0.450000000000000.164948453608250.234968543052670.167227243158830.164948453608250.175*0000.16494845360825-0.400000000000000.20RR00000000000.20RR00000000000.20RR00000000000.20RR00000000000.20RR00000000000.20RR0000000000-0.350000000000000.246153846

23、153850.190580466753760.240547994034640.246153846153850.275000000000000.24615384615385-0.300000000000000.307692307692310.235346591310800.297356916958600.307692307692310.350000000000000.30769230769231-0.250000000000000.390243902439020.342641234397890.380487381403270.390243902439020.425000000000000.39024390243902-0.20RR00000000000.500000000000000.500000000000000.500000000000000.500000000000000.500000000000000.50000000000000-0.150*0000.640000000000000.678989577293400.657469693684310.640000000000000.625000000000000.64000000000000-0.100000000000000.80000000000