1、(2)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,证明你的结论6已知:在ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DEAB,DFBC,垂足分别为点E,F,且DE=DF求证:ABC是等边三角形7已知,在ABC中,A=90,AB=AC,点D为BC的中点(1)如图,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DEDF,求证:BE=AF;(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DEDF,那么BE=AF吗请利用图说明理由8如图,在 RtABC,ACB=90,AC=BC,分别过A、B作直线l的垂线,垂足分别为M、
2、NAMCCNB;(2)若AM=3,BN=5,求AB的长9已知,如图,在等腰直角三角形中,C=90,D是AB的中点,DEDF,点E、F在AC、BC上,求证:DE=DF10如图,OC是MON内的一条射线,P为OC上一点,PAOM,PBON,垂足分别为A,B,PA=PB,连接AB,AB与OP交于点EOPAOPB;(2)若AB=6,求AE的长11如图,ABC和ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF(1)CD与BE相等若相等,请证明;若不相等,请说明理由;(2)若BAC=90,求证:BF2+CD2=FD212如图,OC是AOB的角
3、平分线,P是OC上一点,PDOA,PEOB,垂足分别为D,EF是OC上另一点,连接DF,EF求证:DF=EF13如图,OP平分AOB,PEOA于E,PFOB于F,点M在OA上,点N在OB上,且PM=PN求证:EM=FN14如图,ABC中,D为BC边上一点,BEAD的延长线于E,CFAD于F,BE=CF求证:D为BC的中点答案【解答】解:E=F=90,B=C,AE=AFABEACFBE=CFBAE=CAFBAEBAC=CAFBAC1=2ABEACFB=C,AB=AC又BAC=CABACNABMCD=DN不能证明成立,3个结论对故选:BABC是等边三角形,AB=ACBAC=C在ABD和CAE中,A
4、BDCAE(SAS)ABD=CAEAPD=ABP+PAB=BAC=60BPF=APD=60BFP=90,BPF=60PBF=30PF=AOAOB,OCOD,AOB=COD=90AOB+AOC=COD+AOC,即COB=AOD在AOB和COD中,AOBCOD(SAS),AB=CD,ABO=CDO在AOD和COB中AODCOB(SAS)CBO=ADO,ABOCBO=CDOADO,即ABC=CDA综上所述,都是正确的【解答】证明:(1)BAC=EADBACEAC=EADEAC即:BAE=CAD在ABE和ACD中ABEACD ABD=ACD (2)BOC是ABO和DCO的外角BOC=ABD+BAC,B
5、OC=ACD+BDCABD+BAC=ACD+BDCABD=ACDBAC=BDC ACB=65,AB=ACABC=ACB=65 BAC=180ABCACB=18065=50BDC=BAC=50(1)证明:延长AE交DC的延长线于点F,E是BC的中点,CE=BE,ABDC,BAE=F,在AEB和FEC中,AEBFEC,AB=FC,AE是BAD的平分线,BAE=EAD,ABCD,EAD=F,AD=DF,AD=DF=DC+CF=DC+AB,(2)如图,延长AE交DF的延长线于点G,BAE=G,在AEB和GEC中,AEBGEC,AB=GC,AE是BAF的平分线,BAG=FAG,BAG=G,FAG=G,F
6、A=FG,AB=CG=AF+CF,DEAB,DFBC,垂足分别为点E,F,AED=CFD=90D为AC的中点,AD=DC,在RtADE和RtCDF中,RtADERtCDF,A=C,BA=BC,AB=AC,AB=BC=AC,ABC是等边三角形【解答】连接AD,如图所示A=90,AB=AC,ABC为等腰直角三角形,EBD=45点D为BC的中点,AD=BC=BD,FAD=45BDE+EDA=90,EDA+ADF=90BDE=ADF在BDE和ADF中,BDEADF(ASA),BE=AF;(2)BE=AF,证明如下:连接AD,如图所示ABD=BAD=45EBD=FAD=135EDB+BDF=90,BDF
7、+FDA=90EDB=FDA在EDB和FDA中,EDBFDA(ASA),BE=AF(1)AMl,BNl,ACB=90AMC=ACB=BNC=90MAC+MCA=90,MCA+NCB=18090=90MAC=NCB,在AMC和CNB中,AMCCNB(AAS);(2)AMCCNB,CM=BN=5,RtACM中,AC=RtABC,ACB=90,AC=BC=AB=2连接CD在等腰直角三角形ABC中,D是AB的中点CD为 等腰直角三角形ABC 斜边BC上的中线CDAB,ACD=BCD=45,CD=BD=AD又DEDFEDC=FDB 在ECD和FBD中ECDFDB(ASA)DE=DF(1)PAOM,PBO
8、N,PAO=PBO=90又PA=PB,PO=PO,RtAOPRtBOP;(2)OPAOPB,APE=BPE,又PA=PB,AE=BE,AE=AB=3(1)CD=BE,理由如下:ABC和ADE为等腰三角形,AB=AC,AD=AE,EAD=BAC,EADBAD=BACBAD,即EAB=CAD,在EAB与CAD中EABCAD,BE=CD,(2)BAC=90ABC和ADE都是等腰直角三角形,ABF=C=45EABCAD,EBA=C,EBA=45EBF=90在RtBFE中,BF2+BE2=EF2,AF平分DE,AF垂直平分DE,EF=FD,由(1)可知,BE=CD,BF2+CD2=FD2OC是AOB的角平分线,P是OC上一点,PDOA,PEOB,DOP=EOP,PD=PE在RtPOD和RtPOE中,RtPODRtPOE(HL),OD=OE在ODF和OEF中,ODFOEF(SAS),DF=EF点P在AOB的平分线上,PE丄0A于E,PF丄OB于F,PF=PE,在RtPEM和RtPEN中RtPEMRtPEN(HL),EM=FNBEAD的延长线于E,CFAD于F,CFD=BED=90在BED和CFD中,CDFBDE(AAS)CD=BDD为BC的中点
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