完整版定积分的应用习题与答案文档格式.docx

1、的体积、计算底面是半径为 R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的全部截面都是等边三角形的立体体积、计算曲线y3x 上对应于3的一段弧的长度、计算星形线 x a cos3 t ， y a sin3 t 的全长、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 F （单位： N）与伸长量 S （单位： cm）2/10成正比，即： F kS （ k 是比率常数），假如把弹簧内原长拉伸 6cm， 计算所作的功、一物体按规律 x ct 3 作直线运动， 介质的阻力与速度的平方成正比， 计算物体由 x 0移到 x a 时，战胜介质阻力所作的功、 设一锥形储水池，深 15m ，口径 20m，盛满水，将水吸尽，问要作多

2、少功？、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10cm 和 6cm，高为 20cm，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力、 设有一长度为 ，线密度为 u 的平均的直棒，在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有一质量为 m 的质点 M ，试求这细棒对证点 M 的引力（B）1、设由抛物线 y 22 px p 0 与直线 xp 所围成的平面图形为 D1） 求 D 的面积 S ;2）将 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积3/102、求由抛物线 yx2 及 y2x 所围成图形的面积， 并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由 y sin x ， y cos x ， x 0， x 所围成

3、的图形的面积，并求该图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线 y 2 2px 及其在点 p , p 处的法线所围成的图形的面积5、求曲线 yx22 x 4 在点 M0,4 处的切线MT 与曲线 y22 x 1 所围成图形的面6、求由抛物线 y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由以下曲线所围成图形的公共部分的面积1） 3 cos ， 1 cos4/102） a sin ， a cos sin ， a 08、由曲线 x2 y 5 2 16 所围成图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在 0,b 半径为 a ， b a 0 的圆，绕 x 轴旋转而成的环状体的体积10

4、、计算半立方抛物线 y 2x 1 3被抛物线 y 2x 截得的一段弧的长度5/10（C）1、用积分方法证明半径为 R 的球的高为 H 的球缺的的体积为V H2R H2 、分别议论函数 y sin x 0 x 在取何值时，暗影部分的面积 S1 ， S2 的和SS1 S2 取最大值和最小值3 、求曲线 y x 0 x 4 上的一条切线，使此切线与直线 x 0 ， x 4 以及曲线yx 所围成的平面图形的面积最小4、半径为 r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水同样，现将球从水中拿出，需作多少功？第六章 定积分应用习 题 答 案1、1） 24 ， 642） 3ln 23） e 1e4）

5、a25）3 a22、 3 a23、 a2e2e 24、1，5、128， 64756、4 3R37、 28、 6a9、 、为比率常数）1027 kc 3 a 3 （此中k57697 .5 kJ1214373 kN1113、取 y 轴经过细直棒 F yGmuFxt 2aa2a 2p1、1） S3 p16p ydy2 p或 S2px2 px dx9 p3 p x 2 px dx 16 p22 36/102） V272p3y dy152、 Ax x dxVdx3、 A4 cos x sin x dx2 sin x cos x dx 2 2 2V4cosxsin x dxsin xcosx dx4、抛物

6、线在点p , p处的法线方程为：x y3 p ，以下解法同第一题A16 p25 、 MT ： y4 2x ， 切 线 MT 与 曲 线 y22 x 1 的 交 点 坐 标 为3,1，3,24 yy 291 dy6、提示：设过焦点 a,0 的弦的倾角为则弦所在直线的方程为 y tan x a由 ytanx a， y 24ax 得两交点纵坐标为y12a ctgcscyctg因此4a4a2 csc4a2ctg2 csc4 a2 csc4a 2 csc8 a2 csc由于当时获得最小值为 1所 以过 焦 点 的 弦 与 抛 物 线 y24ax 所 围 成 的 图 形 面 积8 a23 最小7/107、

7、1） Acosd3cos3 22） A2 1a sin16 x 216 x28、 Vx 21609、解法同题 810、提示： y2联立得交点2,6， 2,所求弧长 sy 2由 y 22 x1 3得 yx 1 21 21 4于是于是得 S1、证明：此处球缺可看作由如图暗影（图R2的一部分）绕y 轴旋转而成Ry R因此 VR HR2RRHR3R H 3H 2 RH2、解： S1tS2sin t dxsin t8/10S tsin x dx + 2= 2 cost2t0 tS t2tcost 0 ，得驻点 t1易知 S t1 0 t2 0SmaxS1 ， Smin S3、解：设 x0 , y0 为曲

8、线 y x 0 x 4 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：y y0x0即 yy0得其与 x0 ， x4 的交点分别为0, y0， 4, y0于是由此切线与直线0 ，以及曲线 yx 所围的平面图形面积为：2 y0问题即求 S4 的最小值令 S2x 20 得独一驻点 x且为独一极小值因此 当 x2时，S最小即所求切线即为：2 2 24、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴成立坐标系易知随意 x, x dx 段薄片在提高过程中在水中行程为 rx，而在水上的行程为 2r（ r x）r x由于求的密度与水同样， 因此在水中提高过程中浮力与重力的协力为零， 不做功， 而在水面9/10上提高时，做功微元为dWg r 2x2 r x dxWrr 4 gdW g10/10