数学建模案例分析线性代数建模案例20例Word文件下载.docx

1、X4 100X3300X4 300其增广矩阵1 1 01100（A b）= 1 0 0初等行变换 0600（A, b）0 1 10 0 1由此可得XX4即X4 600 .为了唯一确定未知流量，只要增添X4统计的值即可.当 X4 = 350 时，确定 X1 = 250, X2 ；=250, X3=50.若 X4 = 200,贝U X1 = 100, X2 =:400, X3 =100 -59（x + y）因而有如下线性方程组4 “x-y（xy）,7 /yx5 /y）.【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组（）,则各等式都成立.可见模型假设中 的第三个假设不影响解的正确性Matla

2、b实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养，但过量的脂肪摄入不 利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪.设三种食物（脱脂牛奶、大 豆面粉、乳清）每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗 蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表表2三种食物的营养成分和慢跑的消耗情况营养每100克食物所含营养（克）慢跑5分钟每日需要的营牛奶大豆面粉乳清消耗量（克）养量（克）蛋白质3651131033碳水化合物5234742045脂肪15问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求？案例三.投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时,W. Leontief提出了投入产出模

3、型. 这为经济学研究提供了强有力的手段 W. Leontief因此获得了 1973年的Nobel经济 学奖【模型准备】某地有一座煤矿，一个发电厂和一条铁路经成本核算，每生产价值1 元钱的煤需消耗0.3元的电；为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费；每生 产1元的电需0.6元的煤作燃料；为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费；作为铁路局，每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤,辅 助设备要消耗0.1元的电.现煤矿接到外地6万元煤的订货，电厂有10万元电的外地 需求，问：煤矿和电厂各生产多少才能满足需求？【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】

4、设煤矿，电厂,铁路分别产出x元,y元,z元刚好满足需求.则有下表表3消耗与产出情况产出（1元）产出消耗订单煤电运消 耗0.60.50.6y + 0.5z600000.30.10.3x + 0.1y + 0.1z1000000.2z0.2x + 0.1y根据需求，应该有（0.6 y0.5z）（0.3x0.1y0.1z） 100000,（0.2x0.1y）x 0.6yr 0.5z0.3x0.9y0.1z 1000000.2xz 0【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令A = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;100000;0;

5、x = AbMatlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966 105元的煤,电厂要生产1.8415 105元的电恰好满足需求.x 0 0.6 0.5 60000【模型分析】令x = y , A = 0.3 0.1 0.1 , b = 100000 ,其中x称为总产值列向 z 0.2 0.1 0 0量,A称为消耗系数矩阵,b称为最终产品向量，则0 0.6 0.5 x 0.6y 0.5zAx = 0.3 0.1 0.1 y = 0.3x 0.1y 0.1z0.2 0.1 0 z 0.2x 0.1y根据需求,应该有x Ax = b,即（E

6、A）x = b.故x = （E A） 1b.某乡镇有甲、乙、丙三个企业.甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业 的产品和0.25元丙企业的产品.乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的 产品,0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品.丙企业每生产1元的产品要消耗 0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品.在一个生产周期内，甲、乙、丙三个企 业生产的产品价值分别为100万元，120万元,60万元,同时各自的固定资产折旧分 别为20万元,5万元和5万元.（1） 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.如果这三个企业接到外来订单分别为50万元，60万元，40万元，那么

7、他们各生产多少才能满足需求？案例四.平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中，一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布根据 定律，只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度*115 30图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面已知四周8个节点处的温 度（单位C）,求中间4个点处的温度Ti, T2, T3, T4.80 T 90 Tl* T2 *60to. Jh80 T360 -T4 5r II50 图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导，并且每个节点的温度等于与 它相邻的四个节点温度的平均值【模型建立】根据已知条

8、件和上述假设,有如下线性方程组T1 （90T3）T2 （80T1T4）T3 （80T4 （50【模型求解】将上述线性方程组整理得4T1T2 T31904T2T4 1404T34T4 100在Matlab命令窗口输入以下命令A = 4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4; b = 190;140;100; x = Ab; x ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见 T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167.参考文献陈怀琛,高淑萍,杨威,工程线性代数,北

9、京：电子工业出版社,2007.页码：15-16.假定下图中的平板代表一条金属梁的截面，并忽略垂直于该截面方向上的热 传导.已知平板内部有30个节点，每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点 温度的平均值.设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍,例如 学号为16308209的同学计算本题时,选择Ti= 40, Tu = 10,Tr = 0,Td = 45. 1Tu| b 4 , 和 1Ti T10 T6 f T26TrTiIT27iT7T5T10Td 4图 10 一块平板的温度分布图（1） 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组 .（2） 用Matlab软件求解该线性方程组.（3）

10、 用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图.案例五.CT图像的代数重建问题X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影,CT则通过不同角度的X 射线得到3维对象的多个2维投影，并以此重建对象内部的3维图像代数重建方 法就是从这些2维投影出发，通过求解超定线性方程组，获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT图12 CT图像这里我们考虑一个更简单的模型，从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖,每个网格对应一个像 素，它是该网格上各点像素的均值这样一个图像就可以用一个矩阵表示，其元素就 是图像在一点的灰度值（黑白图像）.下面我

11、们以3 3图像为例来说明.表4消耗与产出情况3 3图像各点的灰度值水平方向上 的叠加值X1 = 1X2 = 0X3 = 0X1 + X2 + X3 = 1X4 = 0X5 = 0.5X6 = 0.5X4 + X5 + X6 = 1X7 = 0.5X8 = 0X9 = 1X7 + X8 + X9 = 1.5竖直方向上 的叠加值X1 + X4 + X7=1.5X2 + X5 + X8=0.5X3 + X6 + X9每个网格中的数字Xi代表其灰度值，范围在0,1内.0表示白色,1表示黑色，0.5表示 灰色.如果我们不知道网格中的数值，只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值，为了 确定网格中的灰度值，可以

12、建立线性方程组（含有6个方程,9个未知数）X5X6LXg显然该方程组的解是不唯一的，为了重建图像，必须增加叠加值.如我们增加从右上 方到左下方的叠加值，则方程组将增加5个方程X1 = 1,X2 + X4 = 0,X3 + X5 + X7 = 1,X6 + X8 = 0.5,X9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程,9个未知数的线性方程组.【模型准备】设3 3图像中第一行3个点的灰度值依次为xi, x2, X3,第二行3个点的灰度值依次为X4, X5, X6,第三行3个点的灰度值依次为X7, X8, X9.沿竖直方向的叠加 值依次为1.5, 0.5, 1.5,沿水平方向的叠加

13、值依次为1, 1, 1.5,沿右上方到左下方的叠 加值依次为1,0, 1,0.5, 1.确定X1, X2,，X9的值.【模型建立】由已知条件可得（含有11个方程,9个未知数的）线性方程组X2 X3 1X5 X6 1X9 1A = 1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0; 0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,

14、0,0,0,0,0,0,1;b = 1;1;1.5;0.5;0;1;x = Ab;Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一.其中的一个特解为X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0,X4 = 0, X5 = 0.5,X6 = 0.5,X7 = 0.5,X8 = 0, X9 = 1.【模型分析】上述结果表明，仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方 到右下方的叠加值.在实际情况下，

15、由于测量误差，上述线性方程组可能是超定的 这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.给定一个3 3图像的2个方向上的灰度叠加值：沿左上方到右下方的灰度叠 加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3;沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6.（1）建立可以确定网格数据的线性方程组，并用Matlab求解.将网格数据乘以256,再取整，用Matlab绘制该灰度图像.案例六.平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中，涉及到各种各样的梁对这些梁进行受力分 析是设计师、工程师经常做的事情.图14埃菲尔铁塔局部F面以双杆系统的受力分析为例

16、，说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况.【模型准备】在图15所示的双杆系统中,已知杆1重Gi = 200牛顿,长Li = 2米 与 水平方向的夹角为 i = /6,杆2重G2 = 100牛顿,长L2 = . 2米 与水平方向的 夹角为 2 = /4.三个铰接点A B, C所在平面垂直于水平面.求杆1,杆2在铰接点处所受到的力【模型假设】假设两杆都是均匀的在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零,故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零,故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零,故（L1sin 1）N3 + （L1cos 1）N4 = （ L1c

17、os 1）G1.N5图16两杆受力情况对于杆2类似地有1 N5 = N7, N6 = N8 + G2, （L2Si n 2）N7 = （L2C0S 2）N8 + （ L2C0S 2）G2.此外还有N3 = N7, N4 = N8.于是将上述8个等式联立起来得到关于N1, N2,N8 的线性方程组：N1N3 0N2 N4 G1N4 N8 0G1=200; L 1=2; theta仁pi/6; G2=100; L2=sqrt（2）; theta2=pi/4; A = 1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0 ,L 1*si n（theta1） ,L 1*cos（th

18、eta1）,0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0, L2*si n（theta2）,-L2*cos（theta2）;0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1; b = 0;G1;0.5*L1*cos（theta1）*G1;G2;0.5*L2*cos（theta2）*G2;Matlab执行后得 ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值，说明图16中假设的各个力的方向与事实一 致.如果结果中出现负值，则说明该力的方向与假设的方向相反.陈怀琛,高淑萍,杨威，工