1、大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每道小题 3 分),请将合适的答案填在空中。1、已知球面的一条直径的两个端点为532,和314,则该球面的方程为_2、函数22ln()uxyz在点(1,0,1)A处沿点A指向点(3,2,2)B方向的方向导数为 3、曲面22zxy与平面240 xyz平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1 cos()sinlim()exyx yxyxyxy 5、设二元函数yxxyz32,则yxz2_二、选择填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每道小题 3 分)。以下每道题有四个答案,其中只有一个答案是正
2、确的,请选出合适的答案填在空中,多选无效。1、旋转曲面1222zyx是()(A)xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成;(B)xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成;(C)xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成;(D)xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成2、微分方程23cos2xxxyy 的一个特解应具有形式()其中3212211,dddbaba都是待定常数.(A).212211sin)(cos)(xdxbxaxxbxax;(B).32212211sin)(cos)(dxdxdxbxaxxbxax;(C).32212211)sincos)(dxdxdxbxabxax;(D).322111)sin
3、)(cos(dxdxdxxbxax 3、已知直线22122:zyxL与平面42:zyx,则()(A).L在内;(B).L与不相交;(C).L与正交;(D).L与斜交.4、下列说法正确的是()(A)两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数,使得ba;(B)二元函数yxfz,的两个二阶偏导数22xz,22yz在区域 D 内连续,则在该区域内两个二阶混合偏导必相等;(C)二元函数yxfz,的两个偏导数在点00,yx处连续是函数在该点可微的充分条件;(D)二元函数yxfz,的两个偏导数在点00,yx处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(yxyxfz且2Cf(即函数具有连续的二阶连续偏
4、导数),则yxz2()(A)122211322fff;(B)12221132fff;(C)12221152fff;(D)12221122fff.三、计算题(本大题共 29 分)1、(本题13分)计算下列微分方程的通解。(1)(6 分)221xyyxy(2)(7 分)xxeyyy223 2、(本题8分)设utuvzcos2,teu,tvln,求全导数dtdz。3、(本题8分)求函数yyxeyxfx2,22的极值。四、应用题(本题8分)1、某工厂生产两种型号的机床,其产量分别为x台和y台,成本函数为xyyxyxc222),((万元),若市场调查分析,共需两种机床 8 台,求如何安排生产使其总成本最
5、少?最小成本为多少?五、综合题(本大题共 21 分)1、(本题10分)已知直线011xczbyl:,012yczaxl:,求过1l且平行于2l的平面方程2、(本 题11分)设 函 数(,)lnln3lnf x y zxyz 在 球 面22225(0,0,0)xyzRxyz上求一点,使函数(,)f x y z取到最大值六、证明题(本题共 12 分)1、设函数xyxzFxuk,,其中k是常数,函数F具有连续的一阶偏导数试证明:zuzyuyxuxxyxzFkxk,第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每道小题 3 分)1.、21113222zyx2、123
6、、2450 xyz4、05、232xy;二、选择填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每道小题 3 分)1(A)2(B)3(C)4(C)5(A)三、计算题(本大题共 29 分)1、(1)解:将原微分方程进行分离变量,得:xxyyd)1(1d2 上式两端积分得cxxxxyyy2)d1(arctan1d22 即:cxxy2arctan2 其中c为任意常数(2)解:题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232 rr特征根为,11r,22r于是,该齐次方程的通解为,221xeCxCY因2是特征方程的单根,故可设题设方程的特解:.)(210*xebxbxy代入题设方程,得,22010 xbbxb
7、比较等式两端同次幂的系数,得,210b,11b 于是,求得题没方程的一个特解*y.)121(2xexx 从而,所求题设方程的通解为.)121(2221xxxexxeCeCy2、解:utvutuvuuzsincos22,uvutuvvvz2cos2,utzcos 依复合函数求导法则,全导数为 dtdttzdtdvvzdtduuzdtdz 1cos12sin2utuveutvt tttteteteettcosln2sinln23、解:解方程组022,01422,222yeyxfyyxeyxfxyxx,得驻点1,21。由于124,22yyxeyxfAxxx,142yexyfBxxy,xyyeyxfC
8、22,在点1,21处,02 eA,0B,eC2,224eBAC,所以函数在点1,21处取得极小值,极小值为21,21ef。四、应用题(本题8分)1、解:即求成本函数yxc,在条件8 yx下的最小值 构造辅助函数 )8(2,22yxxyyxyxF解方程组 080402yxFyxFyxFyx 解得 3,5,7yx这唯一的一组解,即为所求,当这两种型号的机床分别生产5台和3台时,总成本最小,最小成本为:2835325)3,5(22c(万)五、综合题(本大题共 21 分)1、解:直线1l与2l的方向向量分别为bccb1100011101,s,acca1010101012,s,作 221111cbcca
9、,ssn,取直线1l上的一点cP,001,则过点1P且以2111cbcca,n为法向量的平面01czbyax,就是过1l且平行于2l的平面方程2、解:设球面上点为(,)x y z令 2222(,)lnln3ln(5)L x y zxyzxyzR,222211120,20,20,503xyzLxLyLzLxyzRxyz由前三个式子得2223zxy,代入最后式子得,3xyR zR由题意得(,)f x y z在球面上的最大值一定存在,因此唯一的稳定点(,3)R RR就是最大值点,最大值为5(,3)ln(3 3)f R RRR六、证明题(本题共 12 分)1、证明:22211,xyxyxzFxxzxyxzFxxyxzFkxxukkkxyxzFyxxyxzFzxxyxzFkxkkk,22121 xyxzFxxxyxzFxyukk,1,212 xyxzFxxxyxzFxzukk,1,111所以,zuzyuyxux xyxzFyxxyxzFzxxyxzFkxxkkk,22121 xyxzFxzxyxzFxykk,1121xyxzFkxk,http:/
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