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1、第四章线性代数实验网络教学平台第4章 线性代数【教学目的】使学生学会使用MATLAB计算行列式、求逆矩阵、求矩阵的特征值和特征向量；会用MATLAB进行矩阵的初等变换、求线性方程组的解，会求几个特殊矩阵方程的解。【教学重点、难点】矩阵运算、线性方程组求解4.1矩阵的生成4.1.1通过元素列表榆入4.1.2通过外部数据加载4.1.3在M文件中创建矩阵4.1.4通过函数产生矩阵线性代数中有若干特殊意义的矩阵，在Matlab中可以很容易的通过函数的方式创建它们，见表4.1。其中：matlab函数名必须小写。表4.1 特殊矩阵函数表特殊矩阵名称函数命令格式功能简介全零矩阵zeros(m,n)zeros

2、(n)zeros(size(A)创建m行n列的全零矩阵；创建n行n列的全零矩阵；产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵全1矩阵ones(m,n)创建m行n列的全1矩阵单位矩阵eye(m,n)创建m行n列的对角线为1的矩阵随机矩阵rand(m,n)创建m行n列的(0,1)均匀分布的随机矩阵正态分布随机矩阵randn(m,n)产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵魔方矩阵magic(n)生成一个n阶方阵（其元素由1,2,n2整数组成，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等）Vandermonde 矩阵vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵（矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的

3、向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积）Hilbert矩阵hilb(n)生成希尔伯特矩阵（第(i,j)个元素为1/(i+j-1)）Hilbert逆矩阵invhilb(n)求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵Toeplitz矩阵toeplitz(x,y)生成一个以向量x为第一列，向量y为第一行的托普利兹矩阵（除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同）Hankel 矩阵hankel(c)hankel(c,r)生成一个以向量c为第一列，其它元素是0；生成一个以向量c为第一列，最后一行是r向量，其中第一个元素以c的为准，r向量是从第二个元素开始的（汉克尔矩阵是反对角线上元素相等矩阵）伴随矩阵co

4、mpan(p)p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后帕斯卡矩阵pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵（由杨辉三角形表组成的矩阵）Hadamard矩阵hadamard(n)n，n/12或，n/20必须是2的乘方。（哈达玛矩阵是由+1和-1元素构成的正交方阵）空矩阵创建一个空矩阵示例4.1 求特殊矩阵(1) 在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。x=20+(50-20)*rand(5)(2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)(3) 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。format rat %以有理形式输出H=hil

5、b(4)H=invhilb(4)(4) 已知c = 1:3; r = 7:10;求其Hankel 矩阵。c = 1:3; r = 7:10;hankel(c,r)(5) 求(x+y)5的展开式。pascal(6)矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。4.1.5符号矩阵的生成表4.2 符号矩阵生成生成方法命令格式功能简介直接创建sym( , , , )矩阵元素可以是任何的符号变量、符号表达式及方程，且元素的长度可以不同。间接创建syms在创建符号矩阵之前，先把符号矩阵的所有变量定义为符号变量，然后按创建普通矩阵的格式输入矩阵由数值矩阵转化为符号矩阵B=sym(A)将一个

6、数值矩阵A转化为符号矩阵B注：数值矩阵A转换成符号矩阵B，可以通过whos命令来详细查看这两类矩阵的区别。4.2矩阵操作4.2.1元素变换操作有已知矩阵A，由A的元素构成的各种矩阵分别如表4.3所示。表4.3 矩阵元素变换操作表元素操作名称操作命令格式功能简介对角阵diag(A);diag(A,k);diag(V);diag(V,k)提取矩阵A主对角线元素产生一个具有min(m,n)个元素的列向量；提取第k条对角线的元素，主对角线为0，向上为第1，2条，向下为-1，-2条；产生一个mm对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素；产生一个nn(n=m+|k|)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V

7、的元素（只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。）上三角阵triu(A);triu(A,k)求矩阵A的上三角阵；求矩阵A的第k条对角线以上的元素（对角线以下的元素全为0的一种矩阵）下三角阵tril(A);tril(A,k)求矩阵A的下三角阵；求矩阵A的第k条对角线以下的元素（对角线以上的元素全为0的一种矩阵）转置矩阵Atranspose(S)求矩阵A的转置（行列互换）符号矩阵S的转置矩阵旋转矩阵rot90(A,k)矩阵A旋转90的k倍，当k为1时可省略左右翻转矩阵fliplr(A)对矩阵A实施左右翻转（将原

8、矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。）上下翻转矩阵flipud(A)对矩阵A实施上下翻转改变矩阵大小reshape(A,m,n)在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成mn的二维矩阵提取子阵A(:);A(k,:);A(:,k);A(k l m,r s)取出矩阵A成一列向量取出矩阵A第k行成一行向量取出矩阵A第k列成一列向量取出矩阵A第k、l、m行及第r、s列成一新矩阵示例4.2 矩阵扩展(1) 矩阵的数值扩展A=1 47 8A(3,3)=5(2) 合成扩展C=1 52 42 7d=A C(3) 提取子阵d1=d(1 3,:)d2=d(1 2,3 5)(4) 提取

9、矩阵中的某元素d3=d(2,4)示例4.3 矩阵重构已知矩阵，做如下元素操作：将矩阵的每一个元素取绝对值构成矩阵Y1；取矩阵元素的绝对值大于2的逻辑值构成矩阵Y2；取矩阵元素的绝对值大于2的元素构成向量Y3；取逻辑值为1按序对应的元素构成向量Y4；取矩阵的2、1、3、l列元素构成子矩阵Y5；矩阵中绝对值大于等于3的元素赋值为0A=-1 3 -4 5;-3 4 -2 0;4 -2 1 6;Y1=abs(A)Y2=abs(A)Y3=A(abs(A)2)Y4=A(find(1 0 1 1 0 1 0 1)Y5=A(:,2 1 3 1)Y6=A(abs(A)=3)=0数据矩阵的变换操作函数对符号矩阵大

10、部分都适用，可直接应用于符号矩阵。示例4.4 符号矩阵元素变换操作A=sym(sinx(x),cos(x);acos(x),asin(x);B=transpose(A)C=diag(A,1)D=triu(A)E=flipud(A)4.2.2数据操作表4.4 矩阵数据操作表数据操作名称操作命令格式功能简介最大元素max(X);y,k=max(X);max(A);Y,U=max(A);max(A,dim);max(A,B);max(A,n)求向量X的最大元素；y记录X最大元素，k记录序号；求矩阵A每列的最大元素；Y记录A的每列的最大元素，U记录每列的最大元素的行号；dim=1同max(A)，按列求

11、dim=2，返回列向量，第i个元素是A上第i行上的最大元素；两向量或矩阵比较，取对应元素较大者；同标题n比较，取对应元素较大者最小元素min(A)求矩阵A每列的最小元素和sum(X)sum(A,dim)求向量X或矩阵A各列元素的和，A可为向量或矩阵，dim用法同上积prod(X)prod(A,dim)求向量X或矩阵A各列元素的积；dim=1按列求，dim=1按行求累计和cumsum(X)cumsum(A,dim)求向量X或矩阵A各列元素的累计和；dim=1按列求，dim=1按行求累计积cumprod(X)cumprod(A,dim)求向量X或矩阵A各列元素的累计积；dim=1按列求，dim=1

12、按行求平均值mean(X);mean(A,dim)求向量X或矩阵A各列元素的平均值；dim=1按列求，dim=1按行求中值median(A)median(A,dim)求向量X或矩阵A各列元素的中值；dim=1按列求，dim=1按行求标准差std(X)std(A,flag,dim)求向量X或矩阵A各列元素的标准差；flag=0，无偏差方差，1为有偏差方差；dim=1按列求，dim=1按行求相关系数corrcoef(A)corrcoef(X,Y)由矩阵A形成的一个相关系数矩阵，把每列作为一个向量；X,Y是向量元素排序sort(X)Y,I=sort(A,dim)按升序对向量X中元素进行排序；按升序对

13、向量X中元素进行排序；Y是排序后的矩阵，I记录Y中的元素在A中位置行升序排列sortrows(A)按升序排列矩阵各行数值积分cumtrapz(A,dim)梯形法求累积数值积分示例4.6 矩阵数据操作已知矩阵，做如下计算：(1)求矩阵A每列的最大元素赋给max(2)求矩阵A每列的最小元素赋给min；(3)求矩阵A列元素的平均值赋给me；(4)求矩阵A列元素的中值赋给ded(5)求矩阵A元素的标准差赋给ndl(6)求矩阵A各列元素的和赋给summax=max(A) min=min(A) me=mean(A) med=median(A) std=std(A) sum=sum(A)4.3多项式运算4.

14、3.1多项式运算Matlab有专门的函数进行多项式计算。用赋值语句将多项式计算结果赋给变量是处理多项式计算的通常方式。多项式运算中常用命令如表4.5所示，其中字母a,b表示多项式对应的系数向量，按未知量次数由高向低排列，空的补零。表4.5 多项式运算多项式运算名称命令格式功能简介计算多项式的值polyval(a,x)x可以为向量或矩阵多项式的加法(减法)a+b(a-b)如果两个多项式的阶数相同，则可直接进行加减，如果两个多项式阶数不同，则需用旨零填补，使之具有和高阶的多项式一样的阶数。多项式的乘法conv(a,b)矩阵A中每个元素加数k多项式除法q,rdeconv(c,a)c(x)多项式除以a(x)多项式q是商多项式的系数向量,r是余数多项式的系数向量多项式求根roots(c)多项式的系数向量构成的方程的根多项式的微分polyder(a)多项式的导函数多项式的乘积进行求