函数项级数的一致收敛性与其应用Word文件下载.docx

1、83.3.2狄利克雷判别法 ,3.4类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法 ,103.4.1比式判别法 ,3.4.2根式判别法 ,113.4.3对数判别法 ,123.5Dini 判别法 ,134 幂级数的应用 ,144.1幂级数的定义 ,4.2幂级数的应用 ,4.2.1幂级数在近似计算中的应用 ,4.2.2幂级数在计算积分中的应用 ,154.2.3幂级数在求极限中的应用 ,4.2.4幂级数在数列求和中的应用 ,164.2.5幂级数在欧拉公式推导中的应用 ,4.2.6幂级数在求导中的应用 ,174.2.7幂级数在概率组合中的应用 ,4.2.8幂级数在证明不等式中的应用 ,184.2.9用幂

2、级数形式表示某些非初等函数 ,5 总结 ,19致谢 ,20参考文献 ,211引言随着科学技术的发展， 人们对自然界的认识逐步深化， 发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要， 因此要求人们去构造新的函数 . 自 19 世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展 . 有了无穷级数，函数项级数应运而生 . 首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如， 1872 年魏尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子 . 其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法， 特别是利用级数的理论进行函数的 Taylor

3、 展开和 Fourier 展开 . 实际上， 函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响 （ 朱正佑 ,2001） 1 . 函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用 , 函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用 , 因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节 . 本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、 归纳，并举例说明， 并且以一类最简单的函数项级数幂级数为例， 对其在计算方面的应用进行举例说明 .2函数项级数的相关概念介绍2.1 函数列及其一致收敛性定

4、义1 设f1 , f 2 , ，f n ,是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在 E 上的函数列，也可简单的写作： fn 或 fn ， n 1,2, .设 x0 E ，以 x0 代入 f n 可得数列f 1 （ x0 ）, f 2 （ x0 ）, ，f n （ x0 ）,若数列 f n （x0 ） 收敛，则称函数列 f n 在点 x0 收敛， x0 称为函数列 f n 的收敛点 . 若数列 f n （x0 ） 发散，则称函数列 f n 在点 x0 发散 . 若函数列 f n 在数集 D E 上每一点都收敛，则称 f n 在数集 D 上收敛 . 这时 D 上每一点 x，都有数列 f n

5、（ x） 的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列 f n 的极限函数 . 若极限函数记作f ，则有limf n （ x）f （ x） ， x Dn或f n （x）f （ x） （n） ， xD .使函数列 fn 收敛的全体收敛点集合，称为函数列 fn 的收敛域 .定义 2 设函数列 f n 与函数 f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数，总存在某一正整数 N ，使得当 nN 时，对一切 xD ，都有f （ x），则称函数列 f n 在 D 上一致收敛于 f ，记作fn （ x）f （ x）（n） ,x D .注：本文用“”表示一致收敛 .由定义看到，如果函数列

6、 f n 在 D 上一致收敛，那么对于所给的，不管 D 上哪一点 x ，总存在公共的 N （ ） （即 N 的选取仅与有关，与 x 的取值无关），只要 nN ，都有f n （ x） f （x）.由此可以看到函数列 f n 在 D 上一致收敛，必在 D 上每一点都收敛 . 反之，在 D 上每一点都收敛的函数列 fn ，在 D 上不一定一致收敛 .2.2 函数项级数及其一致收敛性定义 3 设 un （x） 是定义在数集 E 上的一个函数列，表达式u1 （ x） + u2 （ x） +,+ un （x） +,， x E（ ）称为定义在 E 上的函数项级数，简记为n 1un （x） 或un （ x）

7、。称Sn （x）uk （x） ， xE ， n 1,2,k为函数项级数的部分和函数列。若 x0E ，数项级数u1 （ x0 ）u2 （ x0 ）un （x0 ）（ 2）收敛，即部分和 Sn （ x0 ）uk （ x0 ） 当 n时极限存在，则称级数（1）在点 x0 收敛， x0 称为k 1级数（ 1）的收敛点若级数（2）发散，则称级数（1）在点 x0 发散 . 若级数（ 1）在 E 的某个子集D 上每点都收敛，则称级数（1）在 D 上收敛若 D 为级数（ 1）全体收敛点的集合，这时则称D为级数（ 1）的收敛域级数（1）在 D 上每一点 x 与其所对应的数项级数（2）的和 S（ x） 构成一个定

8、义在 D 上的函数，称为级数（ 1）的和函数，并写作u1 （x） u2 （ x） un （x） S（x） ， x D ,即lim Sn （x） S（ x） ， x D 也就是说，函数项级数（ 1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性定义 4 设 Sn （x） 是函数项级数 un （x） 的部分和函数列若 Sn （x） 在数集 D 上一致收敛于函数 S（x） , 则称函数项级数 un （x） 在 D 上一致收敛于函数 S（ x） ，或称 un （ x） 在 D 上一致收敛 （ 华东师范大学数学系， 2001） 2 .一致收敛函数项级数的性质定理（连续性）若函数项级数un （ x） 在区间 a,

9、b 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在a,b 上也连续 .它指出：（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即（ lim un （ x）lim （un （ x） .x x0定理2（逐项求积 ） 若函数项级数un （x） 在 a, b 上一致收敛，且每一项un （x） 都连续，则bx dxxdx .un （an （ ）此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序 .定理 3 （ 逐项求导 ） 若函数项级数un （x） 在 a, b 上每一项都有连续的导函数，x a,b 为un （x） 的收敛点，且un （ x） 在 a, b 上一致收敛，则（ dun（）d

10、（ ）.dxu n x此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序 （ 陶桂秀，2005） 3 .3函数项级数的一致收敛性判别法3.1 一般方法判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点 , 又是一个难点 . 一般的情况下 , 证明一致收敛会利用一致收敛的定义，即定义 4来证明.定义 4 的条件太强， 函数项级数固定一点 x D , un （x） 实际上是一个特殊数列 . 受此启发 ,利用数列的性质得到以下定理：定理 4 （一致收敛的柯西准则）函数项级数 un （x） 在数集 D 上一致收敛的充要条件为：对任给的正数 ，总存在某正整数 N ，使得当 n N 时，

11、对一切 x D 和一切正整数 p ，都有Sn p （x） Sn （ x）或 un 1 （ x） un 2 （ x） un p （x） .此定理中当 p 1时，得到函数项级数一致收敛的必要条件 .推论 函数项级数 un （x） 在数集 D 上一致收敛的必要条件为：函数列 un （ x） 在 D 上一致收敛于零 .设函数项级数在 D 上的和函数为 S（x） ，称rn （ x）S（ x）Sn （ x）为函数项级数un （ x） 的余项 .定理 5函数项级数u n （x） 在数集 D 上一致收敛于S（x） 的充要条件是：lim sup rn（x）lim sup S（x）0 .x D证明必要性 因为u

12、n （x） 在区间 D 上一致收敛 ,所以0 ， N0 ，使得当 n N时 ， 对 一 切 xD , 都 有 Sn （ x）， 即 rn （ x， 所 以 sup r n （x）， 所 以lim su prn （ x） 0 .充分性设u n （x） 在 D 上不一致收敛 , 即N0, n0 N ,x0D ，使得Sn0 （ x0 ）S（ x0 ）0 ，即 suprn0 （ x）0 ，所以 lim sup rn （ x）0 . 与已知矛盾 （ 李岚， 2003） 4 .例 1若 f n （x） 在 a, b 上 可 积 ， n1,2,且 f （ x）与 g（ x） 在 a, b 上 都 可 积 ，

13、f （ x） dx0 ，设 h（x）f （t ）g （t）dt ， hn （ x）f n （t） g（t ）dt ，则在a, b 上hn （ x） 一致收敛于 h （x） .h（x） hn （x）f （t） g （t）dtf n （t ）g（t ）dt（ f （t ）f n （t ）g（t ）dtf （t ）f n （t） g （t ） dtf n （t） dt ） 2 （g（t） dt ） 2dt ） 2 （0 （） ，f n （t ）g（t）dt ）所以利用定理1, 当 n时，hn （x） 一致收敛于 h （x） .例 2设 un （x）0 ，在 a, b 上连续， n 1,2,，又un

14、（ x） 在 a, b 收敛于连续函数f （ x） ，则 un （ x） 在 a, b 一致收敛于 f （x） .已知 rn （ x）f （x）Sn （ x） （其中 Snuk （x） ）是单调递减且趋于0，所以N ，a,b有 rn （x）0 ， 且a,b ，N （ x0 ,0,）时，有rn （ x0 ）. 将 n 固定，令 nN0N （x0 , ） ，因为 rn （x）f（ x）Sn （x） 在 a,b 上连续 , 既然rn （x），所以0 ，当 x （ x00 , x00 ） 时 rn （x）. 从而 nN0 时更有 rn （x）仅当 x（ x00 ） .如上所述 , 对每个点 xa,b

15、，可找到相应的邻域（x, x） 及相应的 N, 使得时，对 x（ x） 恒有 rn （x）.如此 （x） : xa,b 构成 a,b 的一个开覆盖 , 从而必存在有限子覆盖. 不妨记为 （ x11 , x11 ）,（ xrr , xrr ） ， 于 是， 总i1,2, , r ， 使 得 当（ xii , xii ） 时，取 Nmax N1 , N2 , Nr，那么当 nN 时，恒有 rn （x）由定理 2 得，un （ x） 在 a, b 一致收敛于 f （ x） .63.2 魏尔斯特拉斯判别法判别函数项级数的一致收敛性除了定义及定理 4 外，有些级数还可以根据级数各项的特性来判别.定理 6 （ 魏尔斯特拉斯判别法 ） 设函数项级数 un （x） 定义在数集 D 上， M n 为收敛的正项级数，若对一切 x D ，有u n （x）M n ， n（ 3）则函数项级数un （ x） 在 D 上一致收敛 .证明 由假设正项级数M n 收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数N ，使得当 nN 及任何正整数p ，有M n 1M n pM n p.又由（ 3）式对一切 x D 有un 1 （x） u n p （ x） un 1 （x） un p （ x）