1、.模型实例例1 已知,正方形ABCD中,MAN=45,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N(1)求证:BM+DN=MN(2)作AHMN于点H,求证:AH=AB证明:(1)延长ND到E,使DE=BM, 四边形ABCD是正方形,AD=AB 在ADE和ABM中, ADEABM AE=AM,DAE=BAM MAN=45,BAM+NAD=45 MAN=EAN=45 在AMN和AEN中, AMNAEN MN=EN BM+DN=DE+DN=EN=MN (2)由(1)知,AMNAEN SAMN=SAEN 即 又MN=EN, AH=AD 即AH=AB例2 在等边ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为A
2、BC外一点,且MDN=60,BDC=120,BD=DC探究:当M、N分别在线段AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系(1)如图,当DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是_;(2)如图,当DMDN时,猜想(1)问的结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明 图 图解答(1)BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN(2)猜想:BM+NC=MN如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE BD=CD,且BDC=120, DBC=DCB=30 又ABC是等边三角形, ABC=ACB=60 MBD=NCD=90 在MBD与ECD中, DB=DC,DBM=DCE=90,BM=CE, M
3、BDECD(SAS) DM=DE,BDM=CDE EDN=BDC-MDN=60 在MDN和EDN中, MD=ED,MDN=EDN=60,DN=DN, MDNEDN(SAS) MN=NE=NC+CE=NC+BM 图 例3 如图,在四边形ABCD中,B+ADC=180,AB=AD,E、F分别是BC、CD延长线上的点,且EAF=BAD求证:EF=BE-FD在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG B+ADC=180,ADF+ADC=180 B=ADF 在ABG和ADF中, ABG ADF(SAS) BAG=DAF,AG=AF GAF=BAD EAF=BAD=GAF GAE=EAF 在AEG和AEF中
4、, AEG AEF(SAS) EG=EF EG=BE-BG, EF=BE-FD跟踪练习:1已知,正方形ABCD,M在CB延长线上,N在DC延长线上,MAN=45 求证:MN=DN-BM【答案】如图,在DN上截取DE=MB,连接AE, 四边形ABCD是正方形, AD=AB,D=ABC=90 在ABM和ADE中, ABMADE AM=AE, MAB=EAD =MAB+BAN, DAE+BAN=45 EAN=90-45=45=MAN DN-DE=EN DN-BM=MN2已知,如图在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动 点,若DAE=45,探究线段BD、DE、EC三条线
5、段之间的数量关系 小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连接ED使问题得到解 决请你参考小明的思路探究并解决以下问题: (1)猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式,并对你的猜想给予证明; (2)当动点E在线段BC上,动点D运动到线段CB延长线上时,如图,其他条件不 变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明 图 图解答:(1)猜想:DE2=BD2+EC2将AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE,如图 ACEABE BE=EC,AE=AE,C=ABE,EAC=EAB 在RtABC中, AB=AC, ABC=ACB=45 ABC+ABE=90,即EBD=9
6、0 EB2+BD2=ED2 又DAE=45 BAD+EAC=45 EAB+BAD=45,即EAD=45 AEDAED DE=DE DE2=BD2+EC2 图 (2)结论:关系式DE2=BD2+EC2仍然成立作FAD=BAD,且截取AF=AB,连接DF,连接FE,如图 AFDABD FD=DB,AFD=ABD 又AB=AC, AF=AC FAE=FAD+DAE=FAD+45 EAC=BAC-BAE=90-(DAE-DAB )=90-(45-DAB)=45+DAB, FAE=CAE 又AE=AE, AFEACE FE=EC,AFE=ACE=45 AFD=ABD=180-ABC=135 DFE=AF
7、D-AFE=135=90 在RtDFE中,DF2+FE2=DE2 即DE2=BD2+EC2 图3已知,在等边ABC中,点O是边AC、BC的垂直平分线的交点,M、N分别在直线 AC、BC上,且MON=60 (1)如图,当CM=CN时,M、N分别在边AC、BC上时,请写出AM、CN、MN三 者之间的数量关系; (2)如图,当CMCN时,M、N分别在边AC、BC上时,(1)中的结论是否仍然 成立?若成立,请你加以证明;若不成立,请说明理由; (3)如图,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,请直接写出线段AM、CN、 MN三者之间的数量关系 图 图 图 结论:(1)AM=CN+MN;如图(2)成
8、立;如图,在AC上截取AE=CN,连接OE、OA、OCO是边AC、BC垂直平分线的交点,且ABC为等边三角形,OA=OC,OAE=OCN=30,AOC=120又AE=CN,OAEOCNOE=ON,AOE=CONEON=AOC=120MON=60MOE=MON=60MOEMONME=MNAM=AE+ME=CN+MN(3)如图,AM=MN-CN 图4如图,在四边形ABCD中,B+D=180,AB=AD,E、F分别是线段BC、CD上的 点,且BE+FD=EF求证:EAF=BAD如图,把ADF绕点A顺时针旋转DAB的度数得到ABG,AD旋转到AB,AF旋转到AG,AG=AF,BG=DF,ABG=D,B
9、AG=DAFABC+D=180ABC+ABG=180点G、B、C共线BE+FD=EF,BE+BG=GE=EF在AEG和AEF中,AEGAEFEAG=EAFEAB+BAG=EAF又BAG=DAF,EAB+DAF=EAFEAF=5如图,已知四边形ABCD,EAF的两边分别与DC的延长线交于点F,与CB的延长线交于点E,连接EF(1)若四边形ABCD为正方形,当EAF45时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?(只需直接写出结论)(2)如图,如果四边形ABCD中,ABAD,ABC与ADC互补,当EAFBAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出结论并证明(3)在(2)中,若BC4,DC7,CF2,求CEF的周长(直接写出结论)(1)EF=DF-BE(2)EF=DF-BE如图,在DF上截取DM=BE,连接AM,D+ABC=ABE+ABC=180D=ABEAD=AB在ADM和ABE中,ADMABEAM=AE,DAM=BAEEAF=BAE+BAF=BAD,DAM+BAF=BADMAF=EAF=MAF在EAF和MAF中EAFMAFEF=MFMF=DF-DM=DF-BE,EF=DF-BE(3)EF=DF-BECEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15
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